Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

--- marathon:about [2018/05/04 08:19]
letsko
+++ marathon:about [2021/06/17 17:02] (текущий)
letsko [Текущие задачи]
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
- ====== Математический марафон ======
+====== Математический марафон ======
 {{ :marathon:konkurs.gif}}
@@ Строка 8: / Строка 8: @@
 ----
+**Завершен XXVII конкурс вамках Математического марафона**
-Стартовал **24-й конкурс в рамках Математического марафона**
+**Мои поздравления победителю конкурса, Мерабу Левиашвили, призерам, Анатолию Казмерчуку и Олегу Полубасову, а также всем тем, кто составил им достойную конкуренцию**
-Вслед за 23-м 24-й конкурс не посвящен какой-то единой тематике.
-Наоборот, я стремился сделать задачи максимально разнообразными. Ну или почти максимально разнообразными: любимая комбинаторная геометрия представлена таки несколькими задачами. Впрочем, и в рамках этой тематики тоже наблюдается разнообразие.
 Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания, выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными, а другие - не очень. На вкус и на цвет...
-Но если любите поломать голову над нестандартными задачами, участвуйте, не стесняйтесь.
+Но если вы любите поломать голову над нестандартными задачами, участвуйте, не стесняйтесь.
 Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас.
 Не забывайте, пожалуйста, присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале.
-----
  Ведущий Марафона
 --- //[[val-etc@yandex.ru|Vladimir letsko]]//
+[[Afterword XXVII |Послесловие к XXVII конкурсу]]
+----
 ====== Текущие задачи ======
+----
+**На данный момент отсутствуют.**
+----
-===== ММ231 =====
-**Конкурсная задача ММ231** (4 балла)
-Решения принимаются до __08.09.2018__
+====== Разбор задач ======
+----
+=====
+Вектором граней выпуклого многогранника P назовем набор [f<sub>3</sub>, f<sub>4</sub>, …, f<sub>s</sub>], где f<sub>i</sub> – количество i-угольных граней P, а s - наибольшее число сторон грани. Будем говорить, что P относится к классу m, если max(f<sub>i</sub>) = m.
-На сторонах AB, BC и AC египетского треугольника ABC выбрали точки C<sub>1</sub>, A<sub>1</sub> и B<sub>1</sub> соответственно. Оказалось, что треугольники AB<sub>1</sub>C<sub>1</sub>, BC<sub>1</sub>A<sub>1</sub> и CA<sub>1</sub>B<sub>1</sub> равновелики. Какую часть площади ABC составляет площадь треугольника A<sub>1</sub>B<sub>1</sub>C<sub>1</sub> при условии, что последний - прямоугольный?
+----
-===== ММ232 =====
-**Конкурсная задача ММ232** (6 баллов)
-Решения принимаются до __15.09.2018__
+**Конкурсная задача ММ270** (16 баллов)
-Сколько решений в натуральных числах,  имеет уравнение x<sup>3</sup> + y<sup>3</sup> = z<sup>3</sup> - i для каждого  i ∈ {1, 2, 4}?
+Найти наибольшее возможное количество граней многогранника класса m.
-//Я нашел воистину замечательные ответы на эти вопросы, но поля…//\\
+**Решение**
-//Надеюсь, у конкурсантов с полями все хорошо.//
-===== ММ233 =====
+Привожу решения призеров конкурса, {{:marathon:mm_270_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}} и {{:marathon:kazmerchuk_mm_270.pdf|Анатолия Казмерчука}}, а также обобщение задачи победителя конкурса {{:marathon:обобщение-мм270.docx|Мераба Левиашвили}} .
-**Конкурсная задача ММ233** (5 баллов)
-//Очередной отголосок ЕГЭ в Марафоне//
+**Обсуждение**
-Решения принимаются до __22.09.2018__
+В отличие от ММ269, где вопрос задачи был сформулирован для частных значений m, а обобщали его сами конкурсанты, в ММ270 сразу же был сформулирован общий вопрос. Объясняется это просто. В ММ269 ответа на общий вопрос ведущий на момент опубликования задачи не знал (и даже склонялся, но, к счастью не "доказал" неверный ответ). А для ММ270 у меня был верный обоснованный ответ.
-При каких значениях параметра a множество точек плоскости, задаваемых системой \\
+Эта ситуация выбила почву из под ног большинства любителей обобщений. Да, практически все, решившие ММ270, нашли заодно и наибольшие количества вершин и ребер m-многогранников. Но ответы на эти вопросы становятся очевидны при успешном решении основной задачи. Единственным, кто изыскал возможности пообобщать стал Мераб Левиашвили. Он перешел от рассмотрения многогранников к рассмотрению простых (каждая вершина имеет степень n) политопов размерностей, больших 3. У таких политопов существуют грани разных размерностей. Соответственно можно рассматривать разные аналоги m-многогранников. Мераб остановился на случае двумерных граней. На основании известных соотношений Дена-Соммервиля он получил наименьшие значения m, для которых существуют n-мерные политопы класса m и верхние оценки для числа граней таких политопов для n \in {4, 5}, а также некоторые оценки для n \in {6, 7, 8}. Я привожу только обобщение задачи (присланное Мерабом отдельным документом), в том числе, и по причине слишком большого веса основного решения.
- (x - a + 1)<sup>2</sup> + (y - 3)<sup>2</sup> ≤ 80, \\
-(x - 3)<sup>2</sup> + (y - 4a + 1)<sup>2</sup> ≤ 20a<sup>2</sup>, \\
--  2a = |4x + 3y + 115 - a| + |4x + 3y - 115 + a| \\
-является кругом?
-===== ММ234 =====
+Во всех присланных решениях имеется содержится ответ 7m-4 для больших значений m. Разнятся эти решения степенью гипотетичности и обоснованности данного ответа, а также количеством частных значений m, подтверждающих данную гипотезу (это касается решений, где 7m-4 именно гипотеза).
-**Конкурсная задача ММ234** (5 баллов)
-Решения принимаются до __22.09.2018__
-Функция g(n) натурального аргумента n задается так:\\
+**Награды**
-Пусть n натуральное число. Определим  f(n) как число, полученное удалением последней цифры из десятичной записи n, увеличенное на квадрат этой цифры.\\
-Например, f(576) = 57 + 36 = 93.\\
-Тогда g(n)  = |{n, f(n), f(f(n)), f(f(f(n))), …}|.\\
-Пусть a и b  –  2018-значные числа. Может ли оказаться, что g(a) = g(b) + 26?
-===== ММ235 =====
+За решение задачи ММ270 участники Марафона получают следующие призовые баллы:\\
-**Конкурсная задача ММ235** (7 баллов)
+Мераб Левиашвили - 18;\\
+Олег Полубасов - 16;\\
+Анатолий Казмерчук - 16;\\
+Александр Романов - 16;\\
+Константин Шамсутдинов - 10;\\
+Виктор Филимоненков - 10;\\
+Денис Овчинников - 8.\\
-Решения принимаются до __06.10.2018__
+Эстетическая оценка задачи - 4.8 балла
-Существует ли выпуклый многогранник, у которого равны: количество ребер; количество диагоналей; суммарное количество диагоналей граней?
+----
-===== ММ236 =====
-**Конкурсная задача ММ236** (7 баллов)
-Решения принимаются до __13.10.2018__
+===== ММ269 =====
-Натуральные числа от 1 до 4n разбили на 4 группы по n чисел в каждой. Оказалось, что произведение всех чисел из первой группы равно произведениям всех чисел из второй и третьей групп. Найти наименьшую возможную сумму чисел четвертой группы.
+ **Конкурсная задача ММ269** (11 баллов)
-===== ММ237 =====
+Какова максимальная возможная степень вершины выпуклого многогранника\\
-**Конкурсная задача ММ237** (7 баллов)
+a) класса 3;\\
+b) класса 4?
-Решения принимаются до __20.10.2018__
+**Решение**
-Студент математического факультета Вася Пупкин написал на доске некоторую перестановку A из S<sub>10</sub>  в виде произведения независимых циклов (запись каждого цикла начинается с наименьшего элемента; опускались ли в записи циклы длины 1  - неизвестно).  Васины однокурсники прокомментировали эту запись.
+Привожу решения {{:marathon:mm269_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}}, {{:marathon:kazmerchuk_mm_269.pdf|Анатолия Казмерчука}} и {{:marathon:shamsutdinov_mm269.docx|Константина Шамсутдинова}}.
-Аня: A<sup>6</sup>  – тождественная перестановка.\\
+**Обсуждение**
-Ваня: Длины всех циклов A – числа Фибоначчи.\\
-Даня: В S<sub>10</sub> существует ровно 3 перестановки, квадрат которых равен A.\\
-Маня: Хм, уравнение X<sup>2</sup> =B не может иметь в S<sub>10</sub> ровно 3 решения ни при каком B.\\
-Саня: Более того, количество решений уравнения X<sup>2</sup> =B в S<sub>10</sub> не может быть нечетным  ни при каком B.\\
-Таня: Квадрат наибольшего элемента в самом длинном цикле меньше порядка A.\\
-Зина: A<sup>5</sup>  имеет столько же циклов, сколько и A.\\
-Лина: Внутри всех циклов элементы строго возрастают.\\
-Нина: Произведение всех элементов одного из циклов кратно произведению всех элементов более длинного цикла и сумме всех элементов более короткого.\\
-Фаина: Зина, Лина и Нина правы.
-Вася (умница и отличник) заметил, что количество верных утверждений его однокурсников равно наибольшей длине цикла в A.\\
+Согласно традициям Марафона последние задачи каждого конкурса имеют повышенную сложность. Эта традиция сохранилась и в данном конкурсе.
-Найдите A.
+Результатом этого усложнения чаще всего был отток значительной части конкурсантов. А эта традиция неожиданно была нарушена! Из тех, кто регулярно участвовал в нынешнем конкурсе, не прислали решения ММ269 всего два человека. А остальные порадовали, но не пощадили ведущего :-) Впрочем, после моей мольбы, все же сжалились, сократив самое длинное из решений на 40(!) страниц.
-===== ММ238 =====
+Разумеется, основные страсти кипели вокруг обобщения задачи, очевидного по постановке вопроса. Но только по постановке. Да-да, ответ 3m-3 не годится!
-**Конкурсная задача ММ238** (7 баллов)
+В какой-то момент у меня имелось три решения, в которых приводилась и обосновывалась точная формула для максимальной возможной степени вершины m-многогранника. Точнее, три разных формулы, дающих разные ответы :-)\\
+Понимая, что ситуация, когда "Вася и Петя оба правы", маловероятна, ведущий был вынужден углубиться в многостраничные трактаты, воспользовавшись удачно подвернувшейся просьбой продлить срок приема решений. Дополнительное время не пропало даром. И ведущий и конкурсанты обнаружили некоторые ошибки и неточности в решениях. Во всех, кроме одного, в котором ошибок найти не удалось (или, все же, пока не удалось?). Желающие могут попробовать определить это решение из приводимого ниже списка начисленных призовых баллов (а также попытаться найти ошибки и в этом решении).
-Решения принимаются до __27.10.2018__
+**Награды**
-Вася написал на доске k последовательных натуральных чисел и нашел их НОК - V.
+За решение задачи ММ269 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\
-Петя написал k последовательных натуральных чисел, больших Васиных, и тоже нашел их НОК - P.
+Олег Полубасов - 18;\\
-Оказалось, что  2018 < V/P < 2019. При каком наименьшем k такое возможно?
+Мераб Левиашвили - 16;\\
+Анатолий Казмерчук - 13;\\
+Константин Шамсутдинов - 13;\\
+Василий Дзюбенко - 11;\\
+Александр Романов - 11;\\
+Виктор Филимоненков - 11;\\
+Денис Овчинников - 7.
-===== ММ239 =====
+**Эстетическая оценка задачи - 4.7 балла**
-**Конкурсная задача ММ239** (10 баллов)
+----
-Решения принимаются до __17.11.2018__
-Существует ли выпуклый многогранник, у которого:\\
+===== ММ268 =====
-a) не менее половины граней - семиугольники;\\
-b) более половины граней - семиугольники; \\
-с) не менее половины граней - восьмиугольники;\\
-d) более половины граней - восьмиугольники;\\
-e) не менее половины граней  - девятиугольники?
-//Примечание: Если у вас получается, что ответ на пункт «а» отрицательный, а на пункт «b» - положительный, подумайте еще.//
+**Конкурсная задача ММ268** (9 баллов)
-===== ММ240 =====
+Назовем натуральное число m допустимым, если существует такое n, что из чисел 1,2,…,n можно составить сумму произведений, в которой каждое число встречается ровно один раз, равную m. Сколько существует недопустимых чисел?
-**Конкурсная задача ММ2409** (13 баллов)
-Решения принимаются до __01.12.2018__
+Примечание: в суммах произведений допускаются одиночные слагаемые. Например, число 148 допустимо, поскольку 148=1·3 + 2·5·8 + 4 + 6·9 + 7.
-Проективную плоскость разбили несколькими прямыми общего положения. При этом образовалось ровно 17 треугольников. Сколько пятиугольников могло при этом получиться?
+[[problem 268|Решение задачи ММ268]]
 ----
-====== Разбор задач ======
-----
-=====Терминология ММ228-230=====
+===== ММ267 =====
-Несколько (не менее трех) прямых на плоскости называются **прямыми общего положения**, если любые 3 их них высекают треугольник. На рисунке 1 представлены 7 прямых общего положения.
+**Конкурсная задача ММ267** (7 баллов)
+Вася и Петя поспорили. Вася уверен, что среди представлений натурального числа n в виде суммы натуральных слагаемых чаще встречаются те, у которых каждое слагаемое присутствует не более двух раз, чем те, у которых все слагаемые не кратны 3. Петя уверен в обратном. Кто из них прав?
+[[problem 267|Решение задачи ММ267]]
-{{:marathon:mm228-230.png?200|}}
-**Внешним контуром** конфигурации n прямых общего положения назовем многоугольник, высекаемый данными прямыми. На рисунке 1 это красный девятиугольник ABCDEFGHJ.\\
-**Внешним циклом** конфигурации назовем список количеств вершин внешних областей конфигурации, перечисленных в порядке обхода этих областей (направление и начало обхода не важны). Внешний цикл конфигурации, представленной на рисунке 1: (1, 2, 3, 3, 1, 3, 1, 5, 1, 2, 2, 2, 2, 2). \\
-**Выпуклыми вершинами** внешнего контура назовем вершины, в которых углы меньше развернутого.  На рисунке 1 выпуклыми вершинами являются A, C, E, J.\\
-**Обратными вершинами** назовем вершины внешнего контура, углы при которых больше развернутого. На рисунке 1 это вершины B, D, F, G, H.\\
-**Элементарными отрезками** назовем отрезки, концы которых являются соседним точками пересечения одной из прямых конфигурации с другими прямыми. Отрезок CD на рисунке 1 элементарен, а отрезок BC – нет.\\
-**Элементарными многоугольниками** назовем многоугольники, стороны которых являются элементарными отрезками (одна сторона – один отрезок). Например, треугольник DEF на рисунке 1 элементарен, а треугольник BCD – нет.\\
-**Впадиной** назовем участок внешнего контура между двумя соседними выпуклыми вершинами, содержащий хотя бы одну обратную вершину. Конфигурация, изображенная на рисунке 1 имеет 3 впадины ABC, CDE и EFGHJ.\\
-**Вектором граней** конфигурации назовем упорядоченный набор из n-2 чисел (где n – количество прямых), первое из которых равно количеству элементарных треугольников, второе – количеству элементарных четырехугольников и т. д. Вектор граней конфигурации, представленной на рисунке 1 – [6, 8, 1, 0, 0].
 ----
-===== ММ230 =====
+===== ММ266 =====
-**Конкурсная зхадача ММ230** (15 баллов)
-Может ли вектор граней конфигурации нескольких прямых общего положения начинаться с чисел 157, 5250, 52?
+**Конкурсная задача ММ266** (7 баллов)
-**Решение**
+Вася Пупкин выписал дни рождения семерых своих однокурсников, родившихся в январе одного и того же года, что и Вася, и, поэкспериментировав с выписанными числами, заметил два факта:\\
+) τ(n<sup>3</sup> )=τ(n)<sup>2</sup>, где n – произведение всех выписанных чисел;\\
+) сумма кубов составных чисел больше суммы кубов остальных\\.
+Найдите дни рождения Васиных товарищей, если известно, что все они младше Васи.
-Традиционно привожу решения {{:marathon:kazmerchuk_pr_230.pdf|Анатолия Казмерчука}} и {{:marathon:mm230_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}}.
+Примечание: при сравнении возрастов учитываются дни, но не часы рождения.
-**Обсуждение**
+[[problem 266|Решение задачи ММ266]]
-При составлении ММ230 я не избежал соблазна облегчить жизнь ведущему (при одновременном усложнении жизни конкурсантов).
+----
-Как правило, изобретая задачу для Марафона, я колдую над ней, как минимум, не меньше, чем те, кто будет ее решать.
-С ММ230 картина иная. Я затратил на ее составление минут пятнадцать, при этом отдавая себе отчет (см. разбалловку) сколь тяжко будет конкурсантам.
-Я рассмотрел конфигурацию из n-1 = 2k-1 (k>2) прямых, являющихся сторонами правильного многоугольника.
-Ясно что, вектор грани конфигурации - (n-1,(n-1)(n-6)/2,0,... ,0,1).
-Осталось добавить к конфигурации n-ную прямую так, чтобы все точки пересечения остальных прямых лежали по одну сторону от этой прямой.
-Теперь возьмем какое-нибудь большое k (например 53), и пыточная камера для конкурсантов готова.
-Выбраться из этой камеры удалось лишь двоим участникам. Не знаю как у вас, а у меня не было сомнений, что эти-то справятся. Жаль, что к ним никто не присоединился. Но подкоп в нужном направлении вели, по крайней мере, еще двое.
+===== ММ265 =====
-В решении Олега Полубасова меня восхитило то, с каким изяществом он описал все возможные векторы граней, начинающиеся с указанной тройки.
+**Конкурсная задача ММ265** (5 баллов)
-В целом же, после решения ММ228-230 круг нерешенных задач, связанных с конфигурациями прямых общего положения, скорее расширился, чем наоборот.
+Разрезать правильный треугольник на наименьшее возможное количество прямоугольных треугольников так, чтобы никакие два из возникших треугольников не были подобны.
-**Награды**
+[[problem 265|Решение задачи ММ265]]
-За решение (продвижение в сторону решения, решение и исследование) задачи ММ230 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
+----
-Олег Полубасов - 20;
-Анатолий Казмерчук - 17;
+===== ММ264 =====
-Виктор Филимоненков - 5;
-Валентина Колыбасова - 4.
+**Конкурсная задача ММ264** (4 балла)
+Назовем пару натуральных чисел a и b аддитивной, если τ(a+b)=τ(a)+τ(b),σ(a+b)=σ(a)+σ(b)  и φ(a+b)=φ(a)+φ(b).
+Доказать, что существует бесконечно много аддитивных пар.\\
+(τ(n), σ(n), φ(n) - количество натуральных делителей, сумма натуральных делителей и функция Эйлера соответственно.)
+[[problem 264|Решение задачи ММ264]]
-**Эстетическая оценка задачи - 5 баллов**
 ----
-===== ММ229 =====
+===== ММ263 =====
+ **Конкурсная задача ММ263** (4 балла)
-**Конкурсная задача ММ229** (7 баллов)
-Петя нарисовал на доске несколько прямых общего положения так, что все попарные точки пересечения прямых попали на чертеж.\\
+Сколько решений может иметь уравнение [3x]{x} – [x]{3x} = c, в зависимости от значения параметра c?\\
-Вася выписал себе в тетрадь внешний цикл возникшей конфигурации: (1, 4, 3, 1, 4, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 4, 2, 1, 3). \\
-После этого Петя стер рисунок. Сможет ли Вася восстановить:\\
-) количество прямых;\\
-) количество элементарных многоугольников:\\
-) количество выпуклых вершин;\\
-) количество элементарных отрезков, ограничивающих внешний контур;\\
-) количество сторон выпуклой оболочки внешнего контура;\\
-) суммарное число сторон элементарных многоугольников;\\
-) количество обратных вершин;\\
-) количество впадин;\\
-) количество сторон внешнего контура?
-Примечание: Вася – умный.
+([x] и {x} означают соответственно целую часть (пол) и дробную часть числа x.)
+[[problem 263|Решение задачи ММ263]]
-[[problem 229|Решение задачи ММ229]]
 ----
-===== ММ228 =====
+===== ММ262 =====
-**Конкурсная задача ММ228** (4 балла)
+**Конкурсная задача ММ262** (3 балла)
-Какое наименьшее число элементарных четырехугольников может быть в конфигурации из семи прямых общего положения?
+Разносторонний треугольник назовем прогрессивным, если длины его сторон образуют арифметическую прогрессию.
+Доказать, что треугольник прогрессивен тогда и только тогда, когда прямая, проходящая через точку Нагеля и центр Шпикера, параллельна средней стороне.
+Примечание: тривиальное решение (недаром цена задачи всего 3 балла) на ЕГЭ бы не приняли, но у нас, слава Богу, не ЕГЭ :-)
+[[problem 262|Решение задачи ММ262]]
-[[problem 228|Решение задачи ММ228]]
 ----
+===== ММ261 =====
+**Конкурсная задача ММ261** (4 балла)
+Натуральные числа 1, 2, 3, ..., 100 разбили на 10 групп по 10 чисел. Найти наибольшую возможную сумму НОД этих десяток.
+[[problem 261|Решение задачи ММ261]]
+----
 ~~NOTOC~~