Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

marathon:about [2019/10/19 05:45]
letsko
marathon:about [2020/05/04 15:45] (текущий)
letsko [ММ248]
Строка 9: Строка 9:
 ---- ----
  
-Продолжается ​**XXV юбилейный ​конкурс в рамках Математического марафона!**+Стартовал **XXVI конкурс в рамках Математического марафона!** 
 + 
 +Активная фаза (разбор задач),​ как обычно,​ начнется осенью. Но решения можно (и нужно) присылать прямо сейчас. ​
  
 Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания,​ выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными,​ а другие - не очень. На вкус и на цвет... Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания,​ выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными,​ а другие - не очень. На вкус и на цвет...
Строка 26: Строка 28:
  
 ====== Текущие задачи ====== ====== Текущие задачи ======
----- 
  
-===== ММ247 ===== +===== ММ251 =====
-  +
-**Конкурсная задача ММ247** (7 баллов) +
-Решения принимаются до __18.10.2019__+
  
-Пусть k – фиксированное натуральное число. Для ​натуральных n определим функцию + **Конкурсная задача ММ251** ​(3 балла)
-f<​sub>​k</​sub>​(n)=(lcm(n,​n+1,​…,​n+k-1))/​(lcm(n+1,​n+2,​…,​n+k)).\\ ​  +
-Найти наименьшие значения f<​sub>​5</​sub>​(n) и f<​sub>​9</​sub>​(n)+
-----+
  
-===== ММ248 ===== +Решения принимаются до __05.09.2020__
-  +
-**Конкурсная задача ММ248** (8 баллов) +
-Решения принимаются до __25.10.2019__+
  
-Найти наименьшее натуральное ​такоечто во множестве ​{(τ(kn))/​(τ(n))|n ∈ N} ровно 13 целых чисел. +Из книги вырвано несколько страниц. Сумма номеров оставшихся страниц 5001. Пусть n –наименьшее ​возможное число страниц, которое могло быть в этой книге изначально. Найдите наибольший ​возможный номер отсутствующей страницы, при условии, что в книге было n страниц.
-----+
  
-===== ММ249 ===== +===== ММ252 =====
-  +
-**Конкурсная задача ММ249** (10 баллов) +
-Решения принимаются до __01.11.2019__+
  
-Пусть k – натуральное число и a – некоторая перестановка 2020-элементного множестваМожет ​ли уравнение x<​sup>​k</​sup>​ = a иметь ровно 2020 решений?​ + ​**Конкурсная ​задача ММ252** (4 балла)
-----+
  
-===== ММ250 ===== +Решения принимаются до __12.09.2020__
-  +
-**Конкурсная задача ММ250** (14 баллов) +
-Решения принимаются до __29.11.2019__+
  
-Найти наименьшее возможное количество ребер выпуклого многогранника, у которого сумма длин ребер равна сумме длин ​диагоналей.+Для числа 90 существуют две пары представлений в виде произведения трех сомножителей таких, что суммы сомножителей внутри ​каждой пары одинаковы:​\\  
 +90=1⋅9⋅10=2⋅3⋅15, ​ 1+9+10=2+3+15;​\\ 
 +90=2⋅5⋅9=3⋅3⋅10, ​ 2+5+9=3+3+10.\\ 
 +Доказать, ​что существует бесконечно много ​натуральных чисел вида p<​sup>​k</​sup>​q (pq – простые, k – натуральное), обладающих таким свойством.
  
-----+===== ММ253 =====
  
-====== Разбор задач ​====== + **Конкурсная ​задача ММ253** (5 баллов)
----- +
-===== ММ246 =====+
  
-**Конкурсная ​задача ММ246** (7 баллов)+Решения принимаются до __19.09.2020__
  
 +Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA<​sub>​1</​sub>​B<​sub>​1</​sub>​C<​sub>​1</​sub>​ равна 2. Сечение призмы,​ проходящее через середину отрезка AB<​sub>​1</​sub>​ перпендикулярно ему имеет площадь 28✔(39)/​81. Найти объем призмы?​
  
-Сколько (с точностью до подобия) существует разносторонних треугольников,​ разрезаемых на два равнобедренных более чем одним способом?​+===== ММ254 =====
  
-**Решение**+ **Конкурсная задача ММ254** (6 баллов)
  
-Привожу решения ​{{:​marathon:​shamsutdinov_mm246.docx|Константина Шамсутдинова}}, {{:​marathon:​fiviol_мм246.docx|Виктора Филимоненкова}} и {{:​marathon:​mm246.pdf|авторское}}+Решения ​принимаются до __26.09.2020__
  
-**Обсуждение** +Вася вписал круг в треугольник со сторонами 3, 4, 5. И вписывает новые круги так, что каждый последующий касается двух сторон треугольника и одного из предыдущих кругов. Может ли суммарная площадь кругов превысить 80% от площади треугольника и на каком шаге (круге) может случиться это событие?
  
-ММ246 оказалась трудным орешком. Половина конкурсантов потеряли нужные (нашли лишние) треугольники. +===== ММ255 =====
-Особенно странным оказалось именно приобретение лишних решений. Ведь, в отличие от потери нужных,​ эта ошибка легко проверяется. +
-Правда,​ за один (наиболее удививший меня) лишний треугольник я не стал штрафовать нашедшего его участника. Речь идет о прямоугольном равнобедренном треугольнике,​ который,​ в силу своей равнобедренности,​ в ответ включен не был, но в остальном,​ по мнению приведшего его участника,​ удовлетворял условию (?!).+
  
-Кстати, требование разносторонности треугольника попало в условие только ​на основании того, что ​я так и не смог решить считать ли, например,​ биссектрисы углов ​при основании треугольника с углами 36, 72, 72 градуса разными разрезами.+ **Конкурсная ​задача ​ММ255** (7 баллов)
  
-Мне представляется,​ что задача становится проще, а перебор прозрачнее, если сразу договориться об упорядочивании углов исходного треугольника +Решения принимаются до __04.10.2020__
-К моему удивлению этим путем пошли менее половины участниковТем не менее, некоторые из тех, кто не упорядочивал углы исходного треугольника,​ добрались до верного ответа ;-)+
  
-Любопытно, что в ответ пошло два треугольникагде требуемые разрезы ​выходят из разных вершин, и один с разрезамисходящими из одной вершины.+Найти наименьшее натуральное числоимеющее ровно 7 представлений в виде произведения наибольшего возможного количества попарно различных натуральных сомножителей 
 +  
 +===== ММ256 =====
  
-К вопросу о красоте. \\ + **Конкурсная задача ММ256** (8 баллов)
-ММ246, с моей точки зрения,​ одна из лучших в текущем конкурсе. Но с этим мнением согласны не все. Что ж, как говорится, о вкусах не спорят.\\ +
-Спорить не буду, но попробую проаргументировать свои предпочтения.\\ +
-Часто наличие нескольких,​ а не одного решения - безусловный минус ​задачи. Так было бы, например,​ с ММ244. И я был бы согласен с теми, кто поставил мне в вину наличие нескольких решений,​ если бы решений на самом деле было больше одного. +
-Но для ММ246 наличие трех решений кажется украшением,​ а не дефектом задачи. Ведь они - принципиально разные. +
-Например,​ два равнобедренных треугольника с углами 36, 72, 72 (градусов) и 36, 36, 108 (градусов) - разные,​ но не принципиально. Каждый из них возникает при разрезании другого на два равнобедренных. +
-А для разносторонних,​ попавших в ответ это не так. +
-Ну и треугольник с наименьшим углом п/13, IMHO, сам по себе красив в качестве ответа.\\ +
-Свою позицию я прояснил. Готов выслушать аргументы противоположного толка.+
  
-**Награды**+Решения принимаются ​до __11.10.2020__
  
-За решение задачи ММ246 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ +При каком наименьшем ​натуральном ​n уравнение n{x}<​sup>​2</​sup>​ +{x}=[x] имеет не менее 1000000 ​решений в рациональных числах?
-Александр Домашенко - 7;\\ +
-Анатолий Казмерчук - 7;\\ +
-Константин Шамсутдинов - 7;\\ +
-Мераб Левиашвили - 7;\\ +
-Виктор Филимоненков - 7;\\ +
-Валентина Колыбасова - 5;\\ +
-Валентин Пивоваров - 5;\\ +
-Владислав Франк - 5;\\ +
-Анна Букина - 5;\\ +
-Владимир Дорофеев - 4.\\+
  
-**Эстетическая оценка задачи ​- 4.7 балла** +Примечание: {x} – дробная часть ​числа x, [x]  – целая часть (пол) числа x.
-----+
  
-===== ММ245 =====+===== ММ257 =====
  
-**Конкурсная задача ММ245** (баллов)+ **Конкурсная задача ММ257** (баллов)
  
-В остроугольном треугольнике ABC провели высоту BH.  +Решения принимаются до __18.10.2020__
-Найти отношение площадей треугольников ABH и CBH, если первый ​из них подобен треугольнику из своих ​медиан, ​а второй – треугольнику из своих высот.+
  
-**Решение**+Задача ММ257 сюжетно связана с ММ237
  
-Привожу решения {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_245.docx|Анатолия Казмерчука}}, {{:​marathon:​ariadna_mm245.pdf|Валентины Колыбасовой}} (обакак обычно, подробныес чертежами) и {{:​marathon:​fiviol_мм25.docx|Виктора Филимоненкова}} (как обычно, краткоехотя и не самое краткое). +Студент математического факультета Вася ​Пупкин пропустил (по уважительной причине) занятие по дискретной математике. Однокурсники рассказали, что ​на занятии рассматривался некий граф. Но ни один из них ​не зафиксировал этот граф ни с помощью гаджетов,​ ни на бумагу. Впрочем,​ Васины однокурсники, утверждают,​ что это не страшно, поскольку они и так помнят этот граф. В подтверждение своих слов они наперебой кинулись вспоминать характеристики графа:​\\
  
-**Обсуждение** +Аня: В графе ​было ровно 3 связных компоненты.\\ 
 +Ваня: Причем во всех связных компонентах графа имелись циклы.\\ 
 +Даня: А еще среди связных ​ компонент не было изоморфных.\\ 
 +Маня: Число ребер в одной из компонент было равно половине общего числа ребер.\\ 
 +Саня: При этом число ребер было равно ​сумме количеств вершин и связных компонент.\\ 
 +Таня: В графе была всего одна вершина степени ​3.\\ 
 +Зина: А всего в графе было не более 13 вершин.\\ 
 +Лина: И при этом не было висячих вершин. \\ 
 +Нина: А степень одной из вершин не менее чем на 2 превосходила степень каждой из остальных вершин.\\ 
 +Фаина: Зина, Лина и Нина правы.\\
  
-ММ245 не вызвала больших затруднений у участников. Изъятые баллы - следствие, скорее, ​недостаточной аккуратности+Услышавший эти реплики преподаватель сказал, что память подвела ровно одного человека.\\  
-Хотя у меня были сомнения, стоит ли вообще изымать баллы. Ведь в условии сказано ​просто "найти отношение площадей",​ а не "​найти отношение площади первого к площади второго"​. ​+Сможет ли Вася (умница и отличник) ​однозначно восстановить граф?\\
  
-Дополнительный балл добавлен за переформулировку задачи таким образом,​ чтобы ответ стал единственным. +===== ММ258 =====
-У меня тоже возникало желание добиться единственности ответа. Но я не стал делать этого, решив отловить тех, кто потеряет один ответ. Капкан не сработал.+
  
-**Награды**+ **Конкурсная задача ММ258** (7 баллов)
  
-За решение задачи ММ245 участники Марафона получают следующие ​призовые баллы:​\\  +Решения принимаются до __24.10.2020__
-Александр Домашенко - 6;\\ +
-Анатолий Казмерчук - 5;\\ +
-Константин Шамсутдинов - 5;\\ +
-Мераб Левиашвили - 5;\\ +
-Виктор Филимоненков - 5;\\ +
-Анна Букина - 5;\\ +
-Валентина Колыбасова - 5;\\ +
-Владимир Дорофеев - 5;\\ +
-Владислав Франк - 4;\\ +
-Валентин Пивоваров - 4.+
  
-**Эстетическая оценка задачи 4.3 балла** +Сколько элементов содержит множество сумм ​квадратов цифр ​квадратов чисел, в десятичной ​записи которых присутствуют по одному разу ровно три ненулевых цифры: 1, 4, 9? (Нулей может ​быть сколько угодно).
-----+
  
-===== ММ244 =====+===== ММ259 =====
  
-**Конкурсная задача ММ244** (баллов)+ **Конкурсная задача ММ259** (баллов)
  
-Галя предложила Ане, Боре и Васе такую загадку:​\\ +Решения принимаются до __31.10.2020__
-- Я задумала три попарно различных ненулевых цифры. Сейчас ​я по секрету сообщу Ане сумму квадратов,​ Боре произведение, а Варе сумму задуманных цифр. Попробуйте отгадать эти цифры. ​  +
-Узнав ​сумму квадратов произведение и сумму, Аня, Боря и Вася сначала задумались,​ а затем разговорились:​ \\ +
-А: Я не могу определить,​ что это за цифры.\\ +
-Б: И я не могу.\\ +
-В: И я тоже.\\ +
-A: Тогда я их знаю!\\ +
-Б: После этой реплики и я их знаю.\\ +
-Что это за тройка цифр? \\ +
-Примечание:​ У Ани, Бори и Васи все хорошо с арифметикой и логикой.+
  
-**Решение**+Может ли треугольник с вершинами в центроиде и центрах вписанной и описанной окружностей некоторого треугольника быть\\  
 +a) равновелик;​\\ 
 +б) подобен;​\\ 
 +в) равен \\ 
 +исходному?​
  
-Привожу решения {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_244.docx|Анатолия Казмерчука}} и {{:​marathon:​shamsutdinov_mm244.docx|Константина Шамсутдинова}}. ​+===== ММ260 =====
  
-**Обсуждение** + **Конкурсная задача ММ260** (12 баллов)
  
-ММ244 оказалась первой задачей юбилейного конкурса,​ вызвавшей серьезные затруднения ​у участников. В отличие от большинства трудных задач из предыдущих конкурсов,​ затруднения не остановили конкурсантов и они прислали решения.  +Решения принимаются ​до __14.11.2020__
-Тем самым, трудности возникли уже у ведущего:​\\  +
-найти ошибку в длинном правдоподобном решении;​\\ +
-разобраться в программе,​ написанной на неизвестном языке, и присланной вместо решения;​\\ +
-как оценивать логическую ошибку при верной арифметике;\\ +
-как оценивать арифметическую ошибку при верной логике,​ не повлиявшую на ответ;​\\ +
-как оценивать арифметическую ошибку при верной логике,​ повлиявшую на ответ;​\\ +
-наконец,​ как оценить верный ответ при отсутствии решения+
  
-Отмечу,​ что перечисленные ситуации (наряду с тему, которые не вызвали вопросов) встречаются в присланных решениях. ​ 
  
-Наиболее коварный момент в задаче - второе заявление Бори.  +Задача ММ260 ​обобщает и развивает ММ231
-Сразу несколько конкурсантов проигнорировали начало этого заявления... и получили лишние решения. ​Меня удивило,​ что это их не удивило (иначе они бы перепроверили свои рассуждения).+
  
-Представленные ниже призовые баллы - плод моих мучительных раздумий ​и рандомных порывов. Так что, ​не судите ​строго (как старался делать и я).+Пусть ABC – некоторый треугольник, точки K, L, M лежат соответственно на прямых AB, AC и BC, а s – некоторое действительное числоотличное от 0 и 1. Треугольник KLM будем называть ​подобно-вписанным в ∆ABC, ​если 
 +AK=sAB, BL=sBC, CM=sCA; 
 +треугольник KLM подобен ​треугольнику ABC. 
 +Сколько подобно вписанных треугольников может быть у произвольного ​треугольника?
  
-На [[https://​www.facebook.com/​groups/​mathpuz/​1378859588956546/?​comment_id=1378879308954574&​reply_comment_id=1379017442274094&​notif_id=1569669688346425&​notif_t=group_comment_mention|FB]] можно найти несколько разновидностей ММ244, предложенных Константином Кнопом. Там же есть решение Олега Полубасова (ушедшего в марафонское подполье). ​+----
  
-**Награды** +====== Разбор задач ​======
- +
-За решение ​задачи ММ244 участники Марафона получают следующие призовые ​баллы:\\  +
-Анатолий Казмерчук - 7;\\ +
-Константин Шамсутдинов - 6;\\ +
-Мераб Левиашвили - 6;\\ +
-Владислав Франк - 6;\\ +
-Виктор Филимоненков - 5;\\ +
-Анна Букина - 4;\\ +
-Валентин Пивоваров - 4;\\ +
-Валентина Колыбасова - 3;\\ +
-Антон Никонов - 3;\\ +
-Александр Домашенко - 3;\\ +
-Лев Песин - 3. +
- +
-**Эстетическая оценка ​задачи - 4.4 балла**+
 ---- ----
 +===== ММ250 =====
 + 
 +**Конкурсная задача ММ250** (14 баллов)
  
 +Найти наименьшее возможное количество ребер выпуклого многогранника,​ у которого сумма длин ребер равна сумме длин диагоналей.
  
-===== ММ243 =====+**Решение**
  
-**Конкурсная задача ​ММ243** (5 баллов)⊥+Привожу решения {{:​marathon:​fiviol_мм250.docx|Виктора Филимоненкова}},​ {{:​marathon:​mm250_shamsutdinov.docx|Константина Шамсутдинова}}, {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_250_.pdf|Анатолия Казмерчука}} и {{:​marathon:​мм250.pdf|авторское}}.
  
 +**Обсуждение** ​
  
-В треугольнике ​ABC a<​b<​c ​и a⋅l<​sub>​a</​sub>​=c⋅l<​sub>​c</​sub>​ Найти угол ​β+При составлении задач XXV конкурса в рамках Математического марафона я долго не мог найти подходящую кандидатуру на роль ударной заключительной задачи.\\ 
 +Придумав (но еще не решив) обсуждаемую задачу,​ я полагал, что она не тянет на заключительную. Почему?​ Я почему-то сразу уверовал,​ что верный ответ - 14. Существование подходящего многогранника легко обосновывается. Остается проверить, что многогранники с меньшим числом ребер не годятся. И я начал проверять. И проверил 21 из 22 типов 13-реберных многогранников. При этом только один раз обоснование того, что сумма длин диагоналей меньше суммы длин ребер, потребовало некоторых ухищрений. Остальное - сплошная рутина. Оставался последний случай. И... тут я понял, что задача вполне ​годится для юбилейнойРешение стало в разы короче,​ а подходящий ответ - единственным!
  
-**Решение**+Как обычно,​ последний (и самый трудный) участок дистанции дался не всем. Поступило всего 5 решений ММ250, из которых верны лишь 4. 
  
-Привожу решения {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_243.docx|Анатолия Казмерчука}}{{:​marathon:​ariadna_mm243.pdf|Валентины Колыбасовой}} и {{:marathon:​bukina_mm243.pdf|Анны Букиной}} (только они не поленились сделать чертежи).+"​Ощущая дыхание в спину" со стороны преследователей ​Анатолий Казмерчук ​мощно спуртовалрассмотрев несколько аналогов задачи.\\ 
 +Не исключено, что не меньше красот имеется и в решении Мераба Левиашвили. Но я вынужден признать, что мне не удалось продраться сквозь два десятка страницбез единого рисунка (для сравнения - у Анатолия, кроме чертежей в основном тексте, имеется ​приложение с тремя десятками рисунков);​ с многочисленными формулами, набранными обычным текстом; массой собственных обозначений,​ отличных от стандартных;​ списком опечаток на страницу,​ присланным отдельно...\\ 
 +Точнее, удалось,​ но лишь настолько,​ чтобы понять,​ что задача ​решена и обоснована единственность (с точностью до топологической эквивалентности) требуемого многогранника
  
-Еще ​одно решение ({{:​marathon:​fiviol_мм243.docx|Виктора Филимоненкова}}) - пример одного из наиболее кратких решений +В конце решения Анатолия Казмерчука имеется ​отсылка к плоскому аналогу ​задачи. Приведенные ​там рассуждения, по сути, повторяют решение ​MM2. Было бы красивее, если бы ММ1, но составляя ММ1 (как, впрочем, и ММ2) ​я еще не задумывался над ММ250.
- +
-**Обсуждение**  +
- +
-Задача не вызвала затруднений у конкурсантов +
-Зато присланные решения довольно разннобразны. \\ +
-Тем самым, они оправдали ожидания ​ведущего, получившего данный результат ​в качестве побочного продукта при ​решении более сложной задачи+
-Соответственнои решение ММ243 получилось весьма громоздким. Искать более ​простые решения ведущий не стал (хотя подозревал, что они есть), доверив это участникам Марафона+
  
 **Награды** **Награды**
  
-За решение задачи ММ243 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ +За решение задачи ММ250 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ 
-Анатолий Казмерчук - 6;\\ +Анатолий Казмерчук - 17;\\ 
-Александр Домашенко - 5;\\ +Мераб Левиашвили - 15;\\ 
-Константин Шамсутдинов - 5;\\ +Константин ​Шамсутдинов - 15;\\ 
-Мераб Левиашвили - 5;\\ +Виктор Филимоненков - 14;\\ 
-Владислав Франк - 5;\\ +Владислав Франк - 6.
-Валентина ​Колыбасова - 5;\\ +
-Анна Букина - 5;\\ +
-Валентин ​Пивоваров - 5;\\ +
-Виктор Филимоненков - 5;\\ +
-Антон Никонов ​3.+
  
-**Эстетическая оценка задачи - 4.4 балла**+**Эстетическая оценка задачи - баллов **
 ---- ----
  
 +===== ММ249 =====
  
-===== ММ242 ===== +**Конкурсная задача ММ249** (10 баллов)
- +
-**Конкурсная задача ММ242** (баллов)+
  
-На сайте проводится опрос, кого из m номинированных футболистов посетители сайта считают ​лучшим по итогам сезона. Каждый посетитель голосует один ​раз за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого футболиста ​доля голосов,​ отданных за него, в процентах, округленных до целого числа. После того, как проголосовали n посетителей,​ суммарный рейтинг номинантов составил 95%.\\ +Пусть k – натуральное ​число и a – некоторая перестановка 2020-элементного множества. Может ли уравнение x<​sup>​k</​sup>​=a иметь ровно ​2020 решений?
-a) При каком наименьшем m такое возможно?\\ +
-b) При каком наименьшем n такое возможно?\\  +
-c) При каком наименьшем m+n такое возможно?+
  
 **Решение** **Решение**
  
-Привожу решения {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_242.docx|Анатолия Казмерчука}} и {{:​marathon:​ariadna_mm242.pdf|Валентины Колыбасовой}}.+Привожу решения {{:​marathon:​мм249-решение-м.л.docx|Мераба Левиашвили}}{{:​marathon:​shamsutdinov_mm249.docx|Константина ​Шамсутдинова}} и {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_249.docx|Анатолия Казмерчука}}.
  
 **Обсуждение** ​ **Обсуждение** ​
  
-Судьбу задачи ​ММ242 решал ответ на 3-й вопрос. Придумав условие, ​я сразу для себя ​решилчто если в наименьшем m+n не будут участвовать ни наименьшее m, ни наименьшее n, то задача будет достаточно интересна, а в противном случае - скучна. О томчто ​можно будет заменить в условии число 95 (взятое от фонаря) я в тот момент почему-то ​не думал.+Как обычно, (и как это бывает в настоящем марафоне к концу дистанции) к последним задачам ряды марафонцев поредели. Впрочемне столь катастрофически, как это бывало в предыдущих конкурсах. 
 +В то же время, неожиданно обострилась борьба в лидирующей группе. К середине ​конкурса казалось очевиднымчто лидеру, Анатолию Казмерчуку, может составить конкуренцию только Константин ​Шамсутдинов. Однако, на финише ​мощно спуртует ​Мераб Левиашвили, который ​уже настиг Константина и приблизился к Анатолию. И это при том, что ни Константин,​ ни Анатолий темп не снижали
  
-Я был уверен, что наиболее сложен пункт c, и ожидал ошибок именно там. К чести конкурсантов с этим пунктом справились все. Но одному из участников неожиданно не покорился пункт b. Еще более неожиданной для меня были две попытки дать неверный ответ к пункту a, в связи с альтернативной ​трактовкой термина "округление". Мудрые составители ЕГЭ-шной задачи (коей ​навеяна ММ242) дали полное определение правил ​округления ​прямо в условии, ​а я был уверен, что у конкурсантов с этим проблем не будет...+Честно признаюсь, что ​я не вник во все детали решения Мераба, в котором только ​перечисление принятых условных обозначений занимает ​2 страницы (а формулы набраны текстом :-()). Думаю, рискнувшие заглянуть в его решение, меня ​поймут.  
 +Впрочем, и того, в чем ​удалось разобраться хватило для ​самой высокой оценки за ММ249.
  
-Любопытны примерыприведенные участниками в подтверждение ответа 11 к пункту a. В них встретились ​следующие значения ​n:\\ +Как и ожидалосьбольшинство конкурсантов не ограничились ​одним подходящим примером. Дополнительные примеры принесли дополнительные ​баллы (иногда отрицательные). 
-29 - 3 раза;\\ +Но разнообразие сводилось ​лишь к виду перестановки aА с показателем степени никто, кроме Мерабаособо не заморачивался. Хватило двойки.
-31 - 2 раза;​\\ +
-67 - 1 раз;\\ +
-73 - 1 раз;\\ +
-201 - 2 раза;​\\ +
-10000 - 2 рвза. +
- +
-Я не стал штрафовать участников ни за неверное утверждение,​ что минимальное n, при ​котором достигается m = 11, равно 31 (ведь в задаче ​про это ​не спрашивалось), ​ни за краткость в обоснованиях, полагая, что ссылка на перебор, с правильным указанием границ перебора является (при наличии верного ответа) достаточным обоснованием. +
- +
-Я ожидал достаточно массового упоминания того факта, что суммарный рейтинг может быть ​любым целым числом в пределах от 0 (например, каждый из 201 номинантов получил по 1 голосу) до 200 (например, каждый из 200 номинантов получил по 1 голосу). Однако данное утверждение обнаружилось лишь ​в одной работе и было поощрено дополнительным баллом.+
  
 **Награды** **Награды**
  
-За решение задачи ММ242 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ +За решение задачи ММ249 участники Марафона получают следующие призовые баллы:​\\  
-Анатолий Казмерчук - 6;\\ +Мераб Левиашвили ​15;\\ 
-Владимир Дорофеев - 6;\\ +Константин Шамсутдинов - 12;\\ 
-Александр Домашенко ​5;\\ +Анатолий Казмерчук - 12;\\ 
-Константин Шамсутдинов - 5;\\ +Виктор Филимоненков - 10;\\ 
-Мераб Левиашвили - 5;\\ +vpb 10;\\ 
-Владислав Франк - 5;\\ +Владислав ​Франк - 9.
-Валентина Колыбасова - 5;\\ +
-Антон Никонов - 5;\\ +
-Анна Букина ​5;\\ +
-Валентин Пивоваров - 5;\\ +
-Виктор Филимоненков 4.+
  
-**Эстетическая оценка задачи - 4.балла**+**Эстетическая оценка задачи - 4.баллов **
 ---- ----
  
-===== ММ241 =====+===== ММ248 =====
  
-**Конкурсная задача ММ241** (балла)+**Конкурсная задача ММ248** (баллов)
  
-При каких натуральных n множество {1, 2, …, n} можно разбить на два подмножества так, что ​произведение элементов первого подмножества равно сумме элементов второго?​+Найти наименьшее ​натуральное ​такое, что во множестве {(τ(kn))/​(τ(n))|n ∈ N} ровно ​13 целых чисел
  
 **Решение** **Решение**
  
-Привожу решения {{:​marathon:​domashenko_mm241.docx|Александра ​Домашенко}} и {{:​marathon:​ariadna_mm241.pdf|Валентины Колыбасовой}}.+Привожу решения {{:​marathon:​frank_248.pdf|Владислава Франка}}, {{:​marathon:​merab-мм248.docx|Мераба Левиашвили}} и {{:​marathon:​fiviol_мм248.docxиктора Филимоненкова}}. 
 +(Решение Анатолия ​Казмерчука,​ как всегда,​ не только верно, но и замечательно оформлено,​ но надо же знакомить публику и новыми лицами Марафона. Впрочем,​ новому участнику среди приведенных решений принадлежит только одно.
  
-**Обсуждение**+**Обсуждение** ​
  
-На первую задачу юбилейного Марафонского конкурса поступило 10 решений+ММ248 далась не всем конкурсантам.  
-Радует ​появление сразу троих ​новых участников. Огорчает исчезновение ​примерно такого же числа участников предыдущего конкурса. Призываю их подключиться ​к конкурсу со следующей задачи.+Доказательство того ​факта, что при любом ​натуральном k существует бесконечно много значений ​n, для которых рассматриваемая ​дробь будет целым числом, ​разумеется, не означает,​ таких целых чисел для каждого k будет бесконечно много. Но сам факт, ​что такая подмена понятий случилась ​не однажды - свидетельство объективной трудности задачи. 
 +Поэтому, на всякий случай, еще раз - во множестве {2, 2, 2,...} ровно один элемент - двойка! 
 +Ответ, превышающий правильный в неприлично большое (1230 десятичных знаков) количество ​раз тоже был оценен невысоко. 
 +В остальном, все решения идейно были близки (но при этом почему-то многократно отличались по размерам).
  
-Задача ММ241 не вызвала затруднений у большинства конкурсантов.  +К моему удивлению, лишь двое ​участников обратили внимание на тот очевидный факт, что на месте 13 в условии могло быть любое другое ​число.  
-Но был один моментвызвавший разногласия участников. Он касается разрешимости задачи для значений n=1 и n=3. +отя нельзя исключить, что это ведущий проморгал это наблюдение в дебрях длинных решений.)
-Участники разделись на 3 категории:\\  +
-первые (Константин Шамсутдинов и Владислав Франк) считают,​ что задача разрешима ​для каждого ​из этих n;\\ +
-вторые (их большинство) полагают,​ что задача разрешима для n=3, но не для n=1;\\ +
-наконец Александр Домашенко придерживается мнения, что ​задача ​не разрешима для обоих упомянутых n. +
- +
-Александр не проаргументировал свое мнение,​ что постановка задачи имеет смысл, начиная с n=4. Полагаю, он отталкивался ​от бинарности операций сложения и умножения. +
-Аргументы Владислава и Константина - произведение элементов пустого множества равно 1, поэтому для n=1 можно поместить 1 в первое подмножество,​ а во второе не помещать ничего. +
-Я согласен с аргументом про произведение элементов пустого множества,​ но... В формулировке идет речь о разбиении. А в разбиении по определению участвуют только непустые подмножества. +
-Поэтому (а вовсе не из конформизма) я склонен присоединиться к большинству. Но при этом не снижал баллы тем, кто придерживается ​альтернативных мнений. +
- +
-Дополнительные ​баллы начислены за успешный поиск разбиений,​ не попадающих под общее описание ​(упоминание наличия таких разбиений и прведение единичного примера не учитывались). +
-Мераб Левиашвили предложил несколько простых вариаций на тему задачи. Уточняю для него и других новичков Марафона,​ что ​дополнительными баллами такие предложения оцениваются при условии,​ что они содержат какие-то продвижения в указанных ​направлениях (ну, или ​если покажутся ведущему ​неожиданными и очень красивыми).  +
- +
-Напоминаю как новичкам,​ так и некоторым забывчивым старожилам,​ что я жду от вас эстетических оценок предлагаемых задач.+
  
 **Награды** **Награды**
  
-За решение задачи ММ241 участники Марафона получают следующие призовые баллы:​\\  +За решение задачи ММ248 участники Марафона получают следующие призовые баллы:​\\  
-Александр Домашенко 6;\\ +Владислав Франк - 9;\\ 
-Константин Шамсутдинов ​5;\\ +vpb 9;\\ 
-Анатолий Казмерчук - 4;\\ +Анатолий Казмерчук - 8;\\ 
-Мераб Левиашвили ​4;\\ +Константин Шамсутдинов - 8;\\ 
-Виктор Филимоненков - 4;\\ +Виктор Филимоненков - 8;\\ 
-Владислав Франк ​4;\\ +Мераб Левиашвили ​8;\\ 
-Валентина Колыбасова - 4;\\ +Александр Домашенко - 3;\\ 
-Антон Никонов ​4;\\ +Владимир Дорофеев - 1;\\ 
-Владимир Дорофеев - 4;\\ +Анна Букина - 1.
-Анна Букина - 2.+
  
-**Эстетическая оценка задачи - 4.5 балла**+**Эстетическая оценка задачи - 5 баллов **
 ---- ----
  
 +===== ММ247 =====
  
-===== ММ240 ===== +**Конкурсная задача ММ247** (баллов)
-**Конкурсная задача ММ2409** (13 баллов)+
  
-Проективную плоскость ​разбили несколькими прямыми ​общего положения. При этом образовалось ровно 17 треугольниковСколько пятиугольников могло при ​этом получиться?+ 
 +Пусть ​k – фиксированное натуральное ​число. Для натуральных n определим функцию f<​sub>​k</​sub>​(n)=lcm(n,​ n+1,..., n+k-1)/​lcm(n+1,​ n+2,..., n+k)} 
 +Найти наименьшие значения f<​sub>​5</​sub>​(n) и f<​sub>​9</​sub>​(n).
  
 **Решение** **Решение**
  
-Привожу решения {{:​marathon:​fiviol_мм240.docx|Виктора Филимоненкова}}{{:​marathon:​kosshams_mm240.docx|Константина Шамсутдинова}} и {{:​marathon:​kazmerchuk_mm240.docx|Анатолия Казмерчука}}.+Привожу решения {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_247.docx|Анатолия Казмерчука}} ​и {{:​marathon:​bukina_mm247_.pdf|Анны Букиной}}. 
  
 **Обсуждение** ​ **Обсуждение** ​
  
-Задача ​ММ240 побочный продукт попытки найти решение другой ​задачи.\\ +ММ247 - обещанное ​продолжение ММ238. 
-Я пытался ​понять, верно ли, что любом n>4 можно найти такое расположение ​прямых ​общего положения на проективной плоскости, что в разбиении ​будут возникать только треугольники, четырехугольники и пятиугольники.  +Большинство ​конкурсантов (ряды коих к финишу традиционно начали потихоньку ​редеть) справились с задачей.  
-Мы с ученицей (которой я предложил эту ​задачу) довольно ​быстро продвинулись ​в деле ​отыскания все больших n, но на общий принцип (а есть ли он?так и не вышли+Некоторые изъятия баллов ​связаны с недостаточной обоснованностью ответа, ошибкой в арифметике и загадочное утверждение ​о простоте числа 289 (я специально подбирал, чтобы второй ответ был квадратом первого и, надо же - простое?!) 
-Надо будет внимательнее присмотреться к подходам, предложенным конкурсантами. Возможно, ​они помогут решить и задачу-предшественник.+Поощрения сделаны за некоторые обобщения.\\ 
 +Хотя я рассчитывал (и намекал на это при обсуждении ММ238), что ​участники не ограничатся заменой чисел 5 и 9 на произвольное k. 
 +Ограничились ​:-(\\ 
 +Тогда сам сформулирую интересные (на мой взгляд вопросы):\\ 
 +Сколько целых значений принимает ​f<​sub>​k</​sub>​(nи какие ​целые числа могут быть этими значениями? (Целые значения f<​sub>​5</​sub>​(n) - 1,5,7,11. Но напрашивающаяся гипотеза о ф(sup(f<​sub>​k</​sub>​(n))) целых значениях f<​sub>​k</​sub>​(n) не подтвердилась)\\ 
 +Ясно, что каждое свое значение f<​sub>​k</​sub>​(n) принимает ​конечное число раз. Можно ​лизная k без ​прямого перебора указать какое(какие) это будет ​значение и сколько раз оно достигается?​
  
-В условии фиксировалось количество треугольников,​ но не прямых. Любопытно,​ что, доказывая реализуемость возможных значений пятиугольников приводили конфигурации с различными количествами прямых:​\\ 
-Виктор Филимонеков использовал от 9 до 11 и от 15 до 17 прямых:​\\ 
-Анатолий Казмерчук от 12 до 17 прямых;​\\ 
-в авторском решении участвуют от 9 до 17 прямых,​ исключая 15.\\ 
-Наиболее красиво в этом плане решение Константина Шамсутдинова,​ в котором все конфигурации построены по единой схеме с использованием только 17 прямых (мне до сих пор не верится,​ что такое возможно). 
- 
-За сим заканчиваю обзор завершающей задачи XXIV Марафонского конкурса и приступаю к: подведению итогов;​ поиску ошибок в решении Константина;​ размышлению над тем, почему никто не догадался использовать 18 прямых :-)  
-  
 **Награды** **Награды**
  
-За решение задачи ММ240 участники Марафона получают следующие призовые баллы:​\\  +За решение задачи ММ247 участники Марафона получают следующие призовые баллы: ​\\ 
-Константин Шамсутдинов - 16;\\ +Анатолий Казмерчук - 9;\\ 
-Анатолий Казмерчук ​15;\\ +Владислав Франк - 9;\\ 
-Виктор Филимоненков 13;\\ +Константин Шамсутдинов - 9;\\ 
-Владимир Чубанов - 7.+Владимир Дорофеев - 8;\\ 
 +Анна Букина - 7;\\ 
 +Мераб Левиашвили ​7;\\ 
 +Валентин Пивоваров - 6;\\ 
 +Александр Домашенко - 6;\\ 
 +waxter - 6;\\ 
 +Виктор Филимоненков - 5.
  
-**Эстетическая оценка задачи - 4.балла**+**Эстетическая оценка задачи - 4.балла**
 ---- ----
  
  
-===== ММ239 ===== +===== ММ246 =====
-**Конкурсная задача ММ239** (10 баллов)+
  
-Решения принимаются до __17.11.2018__+**Конкурсная ​задача ММ246** (7 баллов)
  
-Существует ли выпуклый многогранник,​ у которого:​\\ 
-a) не менее половины граней - семиугольники;​\\ 
-b) более половины граней - семиугольники;​ \\ 
-с) не менее половины граней - восьмиугольники;​\\ 
-d) более половины граней - восьмиугольники;​\\ 
-e) не менее половины граней ​ - девятиугольники?​ 
- 
-//​Примечание:​ Если у вас получается,​ что ответ на пункт «а» отрицательный,​ а на пункт «b» - положительный,​ подумайте еще.// ​ 
  
- +Сколько (с точностью до подобия) существует разносторонних треугольников,​ разрезаемых на два равнобедренных более ​чем одним способом?​
-[[problem 239|Решение задачи ​ММ239]]+
  
 **Решение** **Решение**
  
-Привожу решения {{:​marathon:​fiviol_мм239.docx|Виктора Филимоненкова}} и {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_239.docx|Анатолия Казмерчука}}.+Привожу решения ​{{:​marathon:​shamsutdinov_mm246.docx|Константина Шамсутдинова}}, ​{{:​marathon:​fiviol_мм246.docx|Виктора Филимоненкова}} и {{:​marathon:​mm246.pdfвторское}}. 
  
 **Обсуждение** ​ **Обсуждение** ​
  
-Ровно в половине всех присланных (и всех ​приведенных) решений авторы обошлись без картининок. +ММ246 ​оказалась трудным орешком. Половина конкурсантов потеряли нужные ​(нашли лишние) треугольники
-Чтобы восполнить этот пробел, приведу пару своих картинок (зря, чтоли рисовал?​).\\ +Особенно странным ​оказалось именно приобретение лишних ​решений. Ведь, в отличие от потери ​нужных, эта ​ошибка легко проверяется. 
-Первый ​рисунок ​иллюстрирует ответы сразу к трем пунктам задачи: a)b), c). +Правда, за один (наиболее удививший меня) лишний треугольник ​я не стал штрафовать нашедшего его участника. Речь идет о прямоугольном равнобедренном треугольнике, который,​ в силу своей равнобедренностив ответ включен ​не былно в остальном, по мнению приведшего его участникаудовлетворял условию (?!).
-Отрезав от додекаэдра красные вершины, получим многогранник ​в котором более (а значит, и не менее) ​половины граней являются семиугольниками. +
-Если же наоборот, оставить красные вершины, а остальные отрезать, получим ​многогранник, ​в котором ровно половина граней - восьмиугольники.+
  
-{{ :​marathon:​dode_red.png?direct |[url=https://​radikal.ru][img]https://​c.radikal.ru/​c29/​1811/​ee/​fe9c0eb0fc7c.png[/​img][/​url]}}+Кстати,​ требование разносторонности треугольника попало в условие только на основании того, что я так и не смог решить считать ли, например,​ биссектрисы углов при основании треугольника с углами 36, 72, 72 градуса разными разрезами.
  
-На втором рисунке приведен граф многогранника с вектором ​граней (28,0,0,4,0,36)обосновывающий положительный ответ ​к пункту ​d).+Мне представляется,​ что задача становится проще, а перебор прозрачнее,​ если сразу договориться об упорядочивании углов исходного треугольника.  
 +К моему удивлению этим ​путем пошли менее половины участников. Тем не менее, некоторые из тех, кто не упорядочивал углы исходного треугольника, ​добрались до верного ответа ;-) 
 + 
 +Любопытно, что в ответ пошло два треугольника, ​где требуемые ​разрезы выходят из разных вершини один с разрезами,​исходящими из одной ​вершины. 
 + 
 +К вопросу о красоте. \\ 
 +ММ246, с моей точки зрения, ​одна из лучших в текущем конкурсе. Но с этим мнением согласны ​не все. Что жкак говоритсяо вкусах не спорят.\\ 
 +Спорить не будуно попробую проаргументировать свои предпочтения.\\ 
 +Часто наличие несколькиха не одного решения - безусловный минус задачи. Так было бынапримерс ММ244. И я был бы согласен с теми, кто поставил мне ​в вину наличие нескольких решений, если бы решений на самом деле было больше одного. 
 +Но для ММ246 наличие трех решений кажется украшением, а не дефектом задачи. Ведь они - принципиально разные. 
 +Например,​ два равнобедренных треугольника с углами 36, 72, 72 (градусов) и 36, 36, 108 (градусов) - разные,​ но не принципиально. Каждый из них возникает при разрезании другого на два равнобедренных. 
 +А для разносторонних, ​попавших в ответ это не так. 
 +Ну и треугольник с наименьшим углом п/13, IMHO, сам по себе красив в качестве ответа.\\ 
 +Свою позицию я прояснил. Готов выслушать аргументы противоположного толка.
  
-{{ :​marathon:​28-0-0-4-0-36.jpg?​direct |[url=https://​radikal.ru][img]https://​b.radikal.ru/​b16/​1811/​db/​cc6dba0522fa.jpg[/​img][/​url] 
-}} 
-ММ239 (как и ММ235) - это отголосок XXII Марафонского конкурса,​ посвященного данной тематике. Участники,​ пропустившие тот конкурс,​ вынуждены были переотрывать утверждения типа Теоремы Эберхарда etc (конечно,​ можно было просто найти нужные результаты в сети, но наши конкурсанты не ищут легких путей :-)). С удовольствием констатирую,​ что нашлись те, кто преодолел эти трудности (были ли те, кто не смог - неизвестно,​ они решений не прислали).\\ 
-Изучение вопроса о верхней грани отношения количества k-угольных граней к общему числу граней (6\le k\le 12) поощрялось дополнительными баллами. В случае **vpb**, это поощрение ​ скомпенсировалось сбавкой за штейнеровское отношение к читателю :-). (Каюсь,​ сам я работ Якоба Штейнера в первоисточнике не читал, но, говорят,​ он свои сугубо геометрические выкладки вообще не снабжал чертежами.) ​ 
-Остальные изъятия сделаны либо за отсутствие примеров на некоторые пункты,​ либо за присутствие примеров с невозможными многогранниками (с нецелым количеством ребер :-)) 
-Волшебное превращение восьмиугольных граней в семиугольные (при склейке по общей треугольной грани) я оценивать не стал :-) 
-  
 **Награды** **Награды**
  
-За решение задачи ММ239 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ +За решение задачи ММ246 участники Марафона получают следующие призовые баллы: ​\\ 
-Анатолий Казмерчук - 12;\\ +Александр Домашенко - 7;\\ 
-Владимир Чубанов - 11;\\ +Анатолий Казмерчук - 7;\\ 
-vpb - 10;\\ +Константин Шамсутдинов - 7;\\ 
-Константин Шамсутдинов - 10;\\ +Мераб Левиашвили - 7;\\ 
-Виктор Филимоненков - 9;\\ +Виктор Филимоненков - 7;\\ 
-Владислав Франк - 6.+Валентина Колыбасова - 5;\\ 
 +Валентин Пивоваров - 5;\\ 
 +Владислав Франк - 5;\\ 
 +Анна Букина - 5;\\ 
 +Владимир Дорофеев - 4.\\
  
-**Эстетическая оценка задачи - 4.балла**+**Эстетическая оценка задачи - 4.балла**
 ---- ----
  
  
 +----
  
  
 ~~NOTOC~~ ~~NOTOC~~
 

 


Страница: [[marathon:about]]

marathon/about.1571453113.txt · Последние изменения: 2019/10/19 05:45 — letsko
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006