Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

marathon:about [2019/10/19 05:48]
letsko [ММ240]
marathon:about [2020/05/04 15:45] (текущий)
letsko [ММ248]
Строка 9: Строка 9:
 ---- ----
  
-Продолжается ​**XXV юбилейный ​конкурс в рамках Математического марафона!**+Стартовал **XXVI конкурс в рамках Математического марафона!** 
 + 
 +Активная фаза (разбор задач),​ как обычно,​ начнется осенью. Но решения можно (и нужно) присылать прямо сейчас. ​
  
 Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания,​ выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными,​ а другие - не очень. На вкус и на цвет... Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания,​ выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными,​ а другие - не очень. На вкус и на цвет...
Строка 26: Строка 28:
  
 ====== Текущие задачи ====== ====== Текущие задачи ======
----- 
  
-===== ММ247 ===== +===== ММ251 =====
-  +
-**Конкурсная задача ММ247** (7 баллов) +
-Решения принимаются до __18.10.2019__+
  
-Пусть k – фиксированное натуральное число. Для ​натуральных n определим функцию + **Конкурсная задача ММ251** ​(3 балла)
-f<​sub>​k</​sub>​(n)=(lcm(n,​n+1,​…,​n+k-1))/​(lcm(n+1,​n+2,​…,​n+k)).\\ ​  +
-Найти наименьшие значения f<​sub>​5</​sub>​(n) и f<​sub>​9</​sub>​(n)+
-----+
  
-===== ММ248 ===== +Решения принимаются до __05.09.2020__
-  +
-**Конкурсная задача ММ248** (8 баллов) +
-Решения принимаются до __25.10.2019__+
  
-Найти наименьшее натуральное ​такоечто во множестве ​{(τ(kn))/​(τ(n))|n ∈ N} ровно 13 целых чисел. +Из книги вырвано несколько страниц. Сумма номеров оставшихся страниц 5001. Пусть n –наименьшее ​возможное число страниц, которое могло быть в этой книге изначально. Найдите наибольший ​возможный номер отсутствующей страницы, при условии, что в книге было n страниц.
-----+
  
-===== ММ249 ===== +===== ММ252 =====
-  +
-**Конкурсная задача ММ249** (10 баллов) +
-Решения принимаются до __01.11.2019__+
  
-Пусть k – натуральное число и a – некоторая перестановка 2020-элементного множестваМожет ​ли уравнение x<​sup>​k</​sup>​ = a иметь ровно 2020 решений?​ + ​**Конкурсная ​задача ММ252** (4 балла)
-----+
  
-===== ММ250 ===== +Решения принимаются до __12.09.2020__
-  +
-**Конкурсная задача ММ250** (14 баллов) +
-Решения принимаются до __29.11.2019__+
  
-Найти наименьшее возможное количество ребер выпуклого многогранника, у которого сумма длин ребер равна сумме длин ​диагоналей.+Для числа 90 существуют две пары представлений в виде произведения трех сомножителей таких, что суммы сомножителей внутри ​каждой пары одинаковы:​\\  
 +90=1⋅9⋅10=2⋅3⋅15, ​ 1+9+10=2+3+15;​\\ 
 +90=2⋅5⋅9=3⋅3⋅10, ​ 2+5+9=3+3+10.\\ 
 +Доказать, ​что существует бесконечно много ​натуральных чисел вида p<​sup>​k</​sup>​q (pq – простые, k – натуральное), обладающих таким свойством.
  
-----+===== ММ253 =====
  
-====== Разбор задач ​====== + **Конкурсная ​задача ММ253** (5 баллов)
----- +
-===== ММ246 =====+
  
-**Конкурсная ​задача ММ246** (7 баллов)+Решения принимаются до __19.09.2020__
  
 +Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA<​sub>​1</​sub>​B<​sub>​1</​sub>​C<​sub>​1</​sub>​ равна 2. Сечение призмы,​ проходящее через середину отрезка AB<​sub>​1</​sub>​ перпендикулярно ему имеет площадь 28✔(39)/​81. Найти объем призмы?​
  
-Сколько (с точностью до подобия) существует разносторонних треугольников,​ разрезаемых на два равнобедренных более чем одним способом?​+===== ММ254 =====
  
-**Решение**+ **Конкурсная задача ММ254** (6 баллов)
  
-Привожу решения ​{{:​marathon:​shamsutdinov_mm246.docx|Константина Шамсутдинова}}, {{:​marathon:​fiviol_мм246.docx|Виктора Филимоненкова}} и {{:​marathon:​mm246.pdf|авторское}}+Решения ​принимаются до __26.09.2020__
  
-**Обсуждение** +Вася вписал круг в треугольник со сторонами 3, 4, 5. И вписывает новые круги так, что каждый последующий касается двух сторон треугольника и одного из предыдущих кругов. Может ли суммарная площадь кругов превысить 80% от площади треугольника и на каком шаге (круге) может случиться это событие?
  
-ММ246 оказалась трудным орешком. Половина конкурсантов потеряли нужные (нашли лишние) треугольники. +===== ММ255 =====
-Особенно странным оказалось именно приобретение лишних решений. Ведь, в отличие от потери нужных,​ эта ошибка легко проверяется. +
-Правда,​ за один (наиболее удививший меня) лишний треугольник я не стал штрафовать нашедшего его участника. Речь идет о прямоугольном равнобедренном треугольнике,​ который,​ в силу своей равнобедренности,​ в ответ включен не был, но в остальном,​ по мнению приведшего его участника,​ удовлетворял условию (?!).+
  
-Кстати, требование разносторонности треугольника попало в условие только ​на основании того, что ​я так и не смог решить считать ли, например,​ биссектрисы углов ​при основании треугольника с углами 36, 72, 72 градуса разными разрезами.+ **Конкурсная ​задача ​ММ255** (7 баллов)
  
-Мне представляется,​ что задача становится проще, а перебор прозрачнее, если сразу договориться об упорядочивании углов исходного треугольника +Решения принимаются до __04.10.2020__
-К моему удивлению этим путем пошли менее половины участниковТем не менее, некоторые из тех, кто не упорядочивал углы исходного треугольника,​ добрались до верного ответа ;-)+
  
-Любопытно, что в ответ пошло два треугольникагде требуемые разрезы ​выходят из разных вершин, и один с разрезамисходящими из одной вершины.+Найти наименьшее натуральное числоимеющее ровно 7 представлений в виде произведения наибольшего возможного количества попарно различных натуральных сомножителей 
 +  
 +===== ММ256 =====
  
-К вопросу о красоте. \\ + **Конкурсная задача ММ256** (8 баллов)
-ММ246, с моей точки зрения,​ одна из лучших в текущем конкурсе. Но с этим мнением согласны не все. Что ж, как говорится, о вкусах не спорят.\\ +
-Спорить не буду, но попробую проаргументировать свои предпочтения.\\ +
-Часто наличие нескольких,​ а не одного решения - безусловный минус ​задачи. Так было бы, например,​ с ММ244. И я был бы согласен с теми, кто поставил мне в вину наличие нескольких решений,​ если бы решений на самом деле было больше одного. +
-Но для ММ246 наличие трех решений кажется украшением,​ а не дефектом задачи. Ведь они - принципиально разные. +
-Например,​ два равнобедренных треугольника с углами 36, 72, 72 (градусов) и 36, 36, 108 (градусов) - разные,​ но не принципиально. Каждый из них возникает при разрезании другого на два равнобедренных. +
-А для разносторонних,​ попавших в ответ это не так. +
-Ну и треугольник с наименьшим углом п/13, IMHO, сам по себе красив в качестве ответа.\\ +
-Свою позицию я прояснил. Готов выслушать аргументы противоположного толка.+
  
-**Награды**+Решения принимаются ​до __11.10.2020__
  
-За решение задачи ММ246 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ +При каком наименьшем ​натуральном ​n уравнение n{x}<​sup>​2</​sup>​ +{x}=[x] имеет не менее 1000000 ​решений в рациональных числах?
-Александр Домашенко - 7;\\ +
-Анатолий Казмерчук - 7;\\ +
-Константин Шамсутдинов - 7;\\ +
-Мераб Левиашвили - 7;\\ +
-Виктор Филимоненков - 7;\\ +
-Валентина Колыбасова - 5;\\ +
-Валентин Пивоваров - 5;\\ +
-Владислав Франк - 5;\\ +
-Анна Букина - 5;\\ +
-Владимир Дорофеев - 4.\\+
  
-**Эстетическая оценка задачи ​- 4.7 балла** +Примечание: {x} – дробная часть ​числа x, [x]  – целая часть (пол) числа x.
-----+
  
-===== ММ245 =====+===== ММ257 =====
  
-**Конкурсная задача ММ245** (баллов)+ **Конкурсная задача ММ257** (баллов)
  
-В остроугольном треугольнике ABC провели высоту BH.  +Решения принимаются до __18.10.2020__
-Найти отношение площадей треугольников ABH и CBH, если первый ​из них подобен треугольнику из своих ​медиан, ​а второй – треугольнику из своих высот.+
  
-**Решение**+Задача ММ257 сюжетно связана с ММ237
  
-Привожу решения {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_245.docx|Анатолия Казмерчука}}, {{:​marathon:​ariadna_mm245.pdf|Валентины Колыбасовой}} (обакак обычно, подробныес чертежами) и {{:​marathon:​fiviol_мм25.docx|Виктора Филимоненкова}} (как обычно, краткоехотя и не самое краткое). +Студент математического факультета Вася ​Пупкин пропустил (по уважительной причине) занятие по дискретной математике. Однокурсники рассказали, что ​на занятии рассматривался некий граф. Но ни один из них ​не зафиксировал этот граф ни с помощью гаджетов,​ ни на бумагу. Впрочем,​ Васины однокурсники, утверждают,​ что это не страшно, поскольку они и так помнят этот граф. В подтверждение своих слов они наперебой кинулись вспоминать характеристики графа:​\\
  
-**Обсуждение** +Аня: В графе ​было ровно 3 связных компоненты.\\ 
 +Ваня: Причем во всех связных компонентах графа имелись циклы.\\ 
 +Даня: А еще среди связных ​ компонент не было изоморфных.\\ 
 +Маня: Число ребер в одной из компонент было равно половине общего числа ребер.\\ 
 +Саня: При этом число ребер было равно ​сумме количеств вершин и связных компонент.\\ 
 +Таня: В графе была всего одна вершина степени ​3.\\ 
 +Зина: А всего в графе было не более 13 вершин.\\ 
 +Лина: И при этом не было висячих вершин. \\ 
 +Нина: А степень одной из вершин не менее чем на 2 превосходила степень каждой из остальных вершин.\\ 
 +Фаина: Зина, Лина и Нина правы.\\
  
-ММ245 не вызвала больших затруднений у участников. Изъятые баллы - следствие, скорее, ​недостаточной аккуратности+Услышавший эти реплики преподаватель сказал, что память подвела ровно одного человека.\\  
-Хотя у меня были сомнения, стоит ли вообще изымать баллы. Ведь в условии сказано ​просто "найти отношение площадей",​ а не "​найти отношение площади первого к площади второго"​. ​+Сможет ли Вася (умница и отличник) ​однозначно восстановить граф?\\
  
-Дополнительный балл добавлен за переформулировку задачи таким образом,​ чтобы ответ стал единственным. +===== ММ258 =====
-У меня тоже возникало желание добиться единственности ответа. Но я не стал делать этого, решив отловить тех, кто потеряет один ответ. Капкан не сработал.+
  
-**Награды**+ **Конкурсная задача ММ258** (7 баллов)
  
-За решение задачи ММ245 участники Марафона получают следующие ​призовые баллы:​\\  +Решения принимаются до __24.10.2020__
-Александр Домашенко - 6;\\ +
-Анатолий Казмерчук - 5;\\ +
-Константин Шамсутдинов - 5;\\ +
-Мераб Левиашвили - 5;\\ +
-Виктор Филимоненков - 5;\\ +
-Анна Букина - 5;\\ +
-Валентина Колыбасова - 5;\\ +
-Владимир Дорофеев - 5;\\ +
-Владислав Франк - 4;\\ +
-Валентин Пивоваров - 4.+
  
-**Эстетическая оценка задачи 4.3 балла** +Сколько элементов содержит множество сумм ​квадратов цифр ​квадратов чисел, в десятичной ​записи которых присутствуют по одному разу ровно три ненулевых цифры: 1, 4, 9? (Нулей может ​быть сколько угодно).
-----+
  
-===== ММ244 =====+===== ММ259 =====
  
-**Конкурсная задача ММ244** (баллов)+ **Конкурсная задача ММ259** (баллов)
  
-Галя предложила Ане, Боре ​и Васе такую загадку:\\ +Решения принимаются до __31.10.2020__ 
-- Я задумала ​три попарно различных ​ненулевых цифры. Сейчас я по секрету сообщу Ане сумму ​квадратов, Боре произведение, а Варе сумму задуманных цифр. Попробуйте отгадать ​эти цифры.   + 
-Узнав сумму квадратов произведение и суммуАня, Боря и Вася сначала задумалисьа затем разговорились: \\ +Может ли треугольник с вершинами в центроиде и центрах вписанной и описанной ​окружностей некоторого треугольника быть\\  
-А: Я не могу определить, что это за цифры.\\ +a) равновелик;\\ 
-Б: И я не могу.\\ +б) подобен;\\ 
-В: И я тоже.\\ +в) равен \\ 
-A: Тогда я их знаю!\\ +исходному
-Б: После этой реплики и я их знаю.\\ + 
-Что это за тройка цифр? \\ +===== ММ260 ===== 
-Примечание: У Ани, Бори и Васи все хорошо с арифметикой ​и логикой.+ 
 + ​**Конкурсная ​задача ММ260** (12 баллов) 
 + 
 +Решения принимаются до __14.11.2020__ 
 + 
 + 
 +Задача ММ260 ​обобщает и развивает ММ231 
 + 
 +Пусть ABC – некоторый треугольник, точки K, L, M лежат соответственно на прямых AB, AC и BC, а s – некоторое действительное числоотличное от 0 и 1. Треугольник KLM будем ​называть подобно-вписанным в ∆ABC, если 
 +AK=sABBL=sBC, CM=sCA; 
 +треугольник KLM подобен треугольнику ABC. 
 +Сколько подобно вписанных треугольников может быть у произвольного треугольника? 
 + 
 +---- 
 + 
 +====== Разбор задач ====== 
 +---- 
 +===== ММ250 ===== 
 +  
 +**Конкурсная задача ММ250** (14 баллов) 
 + 
 +Найти наименьшее возможное количество ребер выпуклого многогранника,​ у которого сумма длин ребер равна сумме длин диагоналей.
  
 **Решение** **Решение**
  
-Привожу решения {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_244.docx|Анатолия Казмерчука}} ​и {{:​marathon:​shamsutdinov_mm244.docx|Константина Шамсутдинова}}. ​+Привожу решения {{:​marathon:​fiviol_мм250.docx|Виктора Филимоненкова}}{{:​marathon:​mm250_shamsutdinov.docx|Константина Шамсутдинова}}, {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_250_.pdf|Анатолия Казмерчука}} и {{:​marathon:​мм250.pdf|авторское}}.
  
 **Обсуждение** ​ **Обсуждение** ​
  
-ММ244 ​оказалась первой ​задачей юбилейного ​конкурса, вызвавшей серьезные затруднения у участников. В отличие от большинства трудных ​задач из предыдущих конкурсов, затруднения не остановили конкурсантов и они прислали ​решения +При составлении ​задач ​XXV конкурса в рамках Математического марафона я долго ​не мог ​найти подходящую кандидатуру на роль ударной заключительной задачи.\\ 
-Тем самым, трудности возникли ​уже у ведущего:\\  +Придумав (но еще ​не решив) обсуждаемую задачу, ​я полагал, что ​она не тянет на заключительнуюПочему? Я почему-то сразу уверовал, что верный ответ - 14. Существование ​подходящего многогранника легко ​обосновывается. Остается проверитьчто многогранники с меньшим числом ребер не годятся. И я начал проверять. И проверил 21 из 22 типов 13-реберных многогранников. При этом только один раз обоснование того, ​что сумма длин диагоналей меньше суммы длин ребер, потребовало некоторых ухищрений. Остальное - сплошная рутина. Оставался последний случай. И... тут я понял, ​что задача вполне годится для юбилейной. Решение стало в разы короче, а подходящий ответ ​- единственным!
-найти ошибку ​в длинном правдоподобном решении;\\ +
-разобраться в программе, написанной на неизвестном языкеи присланной вместо ​решения;\\ +
-как оценивать логическую ошибку при верной арифметике;\\ +
-как оценивать арифметическую ошибку при верной логике, не повлиявшую на ответ;\\ +
-как оценивать арифметическую ​ошибку при верной ​логике, повлиявшую на ответ;\\ +
-наконецкак оценить верный ответ ​при отсутствии решения. +
  
-Отмечучто перечисленные ситуации ​аряду с тему, которые не вызвали вопросов) встречаются в присланных решениях+Как обычнопоследний (и самый трудный) участок дистанции ​дался не всем. Поступило всего решений ММ250, из которых верны ​лишь 4
  
-Наиболее коварный момент в задаче ​- второе ​заявление ​Бори.  +"​Ощущая дыхание в спину"​ со стороны преследователей Анатолий Казмерчук ​мощно спуртовал,​ рассмотрев несколько аналогов задачи.\\ 
-Сразу несколько конкурсантов проигнорировали начало этого заявления... и получили лишние решения. Меня удивило, что это их не удивило (иначе они бы перепроверили свои рассуждения).+Не исключено,​ что не меньше красот имеется и в решении Мераба Левиашвили. Но я вынужден признать, что мне не удалось продраться сквозь два десятка страниц:​ без единого рисунка (для ​сравнения - у Анатолия, кроме чертежей ​в основном тексте,​ имеется ​приложение с тремя десятками рисунков); с многочисленными формулами, ​набранными обычным текстом;​ массой собственных ​обозначений, отличных от стандартных; списком опечаток ​на страницу, присланным ​отдельно...\\ 
 +Точнее, удалось, но лишь настолько, ​чтобы понять, что задача ​решена и обоснована ​единственность (с точностью до топологической эквивалентности) требуемого многогранника
  
-Представленные ниже призовые баллы - плод моих мучительных раздумий и рандомных порывов. Так что, не судите строго (как старался делать ​и я). +В конце ​решения Анатолия Казмерчука ​имеется ​отсылка к плоскому ​аналогу ​задачи. Приведенные там ​рассуждения, по сути, повторяют решение MM2Было бы красивее, ​если ​бы ММ1, ​но составляя ​ММ1 (каквпрочем, и ММ2) я еще не задумывался над ММ250.
- +
-На [[https://​www.facebook.com/​groups/​mathpuz/​1378859588956546/?​comment_id=1378879308954574&​reply_comment_id=1379017442274094&​notif_id=1569669688346425&​notif_t=group_comment_mention|FB]] можно найти несколько разновидностей ММ244, предложенных Константином Кнопом. Там же есть решение Олега Полубасова (ушедшего в марафонское подполье)+
  
 **Награды** **Награды**
  
-За решение задачи ММ244 участники Марафона получают следующие призовые баллы:​\\  +За решение задачи ММ250 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ 
-Анатолий Казмерчук - 7;\\ +Анатолий Казмерчук - 17;\\ 
-Константин Шамсутдинов - 6;\\ +Мераб Левиашвили - 15;\\ 
-Мераб Левиашвили - 6;\\ +Константин Шамсутдинов - 15;\\ 
-Владислав Франк ​6;\\ +Виктор Филимоненков - 14;\\ 
-Виктор Филимоненков - 5;\\ +Владислав ​Франк - 6.
-Анна Букина - 4;\\ +
-Валентин Пивоваров - 4;\\ +
-Валентина Колыбасова - 3;\\ +
-Антон Никонов - 3;\\ +
-Александр Домашенко 3;\\ +
-Лев Песин - 3.+
  
-**Эстетическая оценка задачи - 4.4 балла**+**Эстетическая оценка задачи - баллов **
 ---- ----
  
 +===== ММ249 =====
  
-===== ММ243 =====+**Конкурсная задача ​ММ249** (10 баллов)
  
-**Конкурсная ​задача ММ243** (5 баллов)⊥+Пусть k – натуральное число и a – некоторая перестановка 2020-элементного множестваМожет ​ли уравнение x<​sup>​k</​sup>​=a иметь ровно 2020 решений?​
  
 +**Решение**
  
-В треугольнике ABC a<​b<​c ​и a⋅l<​sub>​a</​sub>​=c⋅l<​sub>​c</​sub>​ Найти угол β+Привожу решения {{:​marathon:​мм249-решение-м.л.docx|Мераба Левиашвили}},​ {{:​marathon:​shamsutdinov_mm249.docx|Константина Шамсутдинова}} и {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_249.docx|Анатолия Казмерчука}}.
  
-**Решение**+**Обсуждение** ​
  
-Привожу решения {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_243.docx|Анатолия Казмерчука}}{{:​marathon:​ariadna_mm243.pdf|Валентины Колыбасовой}} ​и {{:​marathon:​bukina_mm243.pdf|Анны Букиной}} (только они не поленились сделать чертежи).+Как обычно,​ (и как это бывает в настоящем марафоне к концу дистанции) к последним задачам ряды марафонцев поредели. Впрочем, не столь ​катастрофическикак это бывало в предыдущих конкурсах. 
 +В то же время, неожиданно обострилась борьба ​в лидирующей группеК середине конкурса ​казалось очевидным, что лидеру,​ Анатолию Казмерчуку, может составить конкуренцию только Константин Шамсутдинов. Однако,​ на финише мощно спуртует Мераб Левиашвили, который уже настиг Константина и приблизился к Анатолию. И это при том, что ни Константин,​ ни Анатолий ​темп не снижали. 
  
-Еще одно решение ​({{:​marathon:​fiviol_мм243.docx|Виктора Филимоненкова}}) - пример одного из наиболее кратких решений+Честно признаюсь, что я не вник во все детали ​решения Мераба, в котором только перечисление принятых условных обозначений занимает 2 страницы (а формулы набраны текстом :-()). Думаю, рискнувшие заглянуть в его ​решение, меня поймут.  
 +Впрочем,​ и того, в чем удалось разобраться хватило для самой высокой оценки за ММ249.
  
-**Обсуждение**  +Как и ожидалось, большинство конкурсантов ​не ограничились одним подходящим примером. Дополнительные примеры ​принесли дополнительные баллы (иногда отрицательные). 
- +Но разнообразие сводилось ​лишь к виду перестановки aА с показателем степени ​никто, кроме Мераба, особо не заморачивался. Хватило двойки.
-Задача не вызвала затруднений у конкурсантов.  +
-Зато присланные решения довольно разннобразны. \\ +
-Тем самым, ​они оправдали ​ожидания ведущегополучившего данный результат в качестве побочного ​продукта ​при ​решении более ​сложной задачи. +
-Соответственно, и решение ​ММ243 получилось весьма громоздкимИскать более простые решения ведущий не стал (хотя подозревалчто они есть), доверив ​это участникам Марафона+
  
 **Награды** **Награды**
  
-За решение задачи ММ243 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ +За решение задачи ММ249 участники Марафона получают следующие призовые баллы:​\\  
-Анатолий Казмерчук - 6;\\ +Мераб Левиашвили ​15;\\ 
-Александр Домашенко ​5;\\ +Константин Шамсутдинов - 12;\\ 
-Константин Шамсутдинов - 5;\\ +Анатолий Казмерчук ​12;\\ 
-Мераб Левиашвили - 5;\\ +Виктор Филимоненков - 10;\\ 
-Владислав Франк - 5;\\ +vpb - 10;\\ 
-Валентина Колыбасова - 5;\\ +Владислав Франк ​9.
-Анна Букина - 5;\\ +
-Валентин Пивоваров 5;\\ +
-Виктор Филимоненков - 5;\\ +
-Антон Никонов - 3.+
  
-**Эстетическая оценка задачи - 4.балла**+**Эстетическая оценка задачи - 4.баллов **
 ---- ----
  
 +===== ММ248 =====
  
-===== ММ242 =====+**Конкурсная задача ​ММ248** (8 баллов)
  
-**Конкурсная задача ММ242** (5 баллов) +Найти наименьшее натуральное ​такоечто во множестве {(τ(kn))/​(τ(n))|n ∈ N} ровно ​13 целых чисел. 
- +
-На сайте проводится опрос, кого из m номинированных футболистов посетители сайта считают лучшим по итогам сезона. Каждый посетитель голосует один раз за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого футболиста - доля голосов,​ отданных за него, в процентах, округленных до целого ​числа. После ​того, как проголосовали n посетителей,​ суммарный рейтинг номинантов составил 95%.\\ +
-aПри каком наименьшем m такое ​возможно?\\ +
-b) При каком наименьшем n такое возможно?​\\  +
-c) При каком наименьшем m+n такое возможно?​+
  
 **Решение** **Решение**
  
-Привожу решения {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_242.docx|Анатолия Казмерчука}} и {{:​marathon:​ariadna_mm242.pdf|Валентины Колыбасовой}}.+Привожу решения {{:​marathon:​frank_248.pdf|Владислава Франка}},​ {{:​marathon:​merab-мм248.docx|Мераба Левиашвили}} и {{:​marathon:​fiviol_мм248.docx|Виктора Филимоненкова}}. 
 +(Решение ​Анатолия Казмерчука, как всегда,​ не только верно, но и замечательно оформлено, но надо же знакомить публику ​и новыми лицами Марафона. Впрочем,​ новому участнику среди приведенных решений принадлежит только одно.
  
 **Обсуждение** ​ **Обсуждение** ​
  
-Судьбу задачи ММ242 решал ответ на 3-й вопрос. Придумав условие, я сразу для ​себя решилчто если в наименьшем m+n не будут участвовать ни наименьшее m, ни наименьшее n, то задача будет ​достаточно ​интересна, а в противном случае - скучна. О том, что можно ​будет заменить в условии ​число 95 (взятое от фонаря) я в тот момент почему-то ​не думал.+ММ248 ​далась не всем конкурсантам.  
 +Доказательство того факта, что при ​любом натуральном k существует бесконечно много значений nдля которых рассматриваемая дробь ​будет целым ​числом, разумеется, не означает, таких целых чисел ​для каждого k будет ​бесконечно ​много. Но сам фактчто такая ​подмена понятий ​случилась не однажды ​- свидетельство объективной трудности задачи. 
 +Поэтомуна всякий случай, еще раз - во множестве {2, 2, 2,...} ровно один элемент ​- двойка! 
 +Ответ, превышающий правильный в неприлично большое ​(1230 десятичных знаков) количество раз ​тоже был оценен невысоко. 
 +В остальном, все решения идейно были близки (но при этом почему-то многократно отличались по размерам).
  
-Я был уверен,​ что наиболее сложен пункт c, и ожидал ошибок именно там. К чести конкурсантов с этим пунктом справились все. Но одному из участников ​неожиданно не покорился пункт b. Еще более неожиданной для меня были две попытки дать неверный ответ к пункту a, в связи с альтернативной трактовкой термина ​кругление"​. Мудрые составители ЕГЭ-шной задачи (коей ​навеяна ММ242) дали полное определение правил округления прямо ​в условии, а я был уверен,​ что у конкурсантов с этим проблем не будет... +К моему удивлению, лишь двое участников обратили внимание на тот очевидный факт, что на месте 13 в условии могло быть любое другое число.  
- +отя нельзя исключить, что это ведущий ​проморгал это наблюдение в дебрях длинных решений.)
-Любопытны примеры,​ приведенные участниками в подтверждение ответа 11 к пункту a. В них встретились следующие значения n:\\ +
-29 - 3 раза;​\\ +
-31 - 2 раза;​\\ +
-67 - 1 раз;\\ +
-73 - 1 раз;\\ +
-201 - 2 раза;​\\ +
-10000 - 2 рвза. +
- +
-Я не стал штрафовать участников ни за неверное ​утверждение,​ что минимальное n, при котором достигается m = 11, равно 31 (ведь в задаче про это не спрашивалось), ни за краткость в обоснованиях, полагая,​ что ссылка ​на перебор, с правильным указанием границ перебора является (при наличии верного ответа) достаточным обоснованием. +
- +
-Я ожидал достаточно массового ​упоминания того факта, что суммарный рейтинг может ​быть ​любым целым числом в пределах от 0 (например, каждый из 201 номинантов получил по 1 голосу) ​до 200 (например, каждый из 200 номинантов получил по 1 голосу). Однако данное утверждение обнаружилось лишь в одной работе и было поощрено дополнительным баллом.+
  
 **Награды** **Награды**
  
-За решение задачи ММ242 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ +За решение задачи ММ248 участники Марафона получают следующие призовые баллы:​\\  
-Анатолий Казмерчук - 6;\\ +Владислав Франк - 9;\\ 
-Владимир Дорофеев ​6;\\ +vpb 9;\\ 
-Александр Домашенко 5;\\ +Анатолий Казмерчук - 8;\\ 
-Константин Шамсутдинов - 5;\\ +Константин Шамсутдинов - 8;\\ 
-Мераб Левиашвили - 5;\\ +Виктор Филимоненков - 8;\\ 
-Владислав Франк - 5;\\ +Мераб Левиашвили - 8;\\ 
-Валентина Колыбасова - 5;\\ +Александр Домашенко 3;\\ 
-Антон Никонов - 5;\\ +Владимир Дорофеев - 1;\\ 
-Анна Букина - 5;\\ +Анна Букина - 1.
-Валентин Пивоваров - 5;\\ +
-Виктор Филимоненков - 4.+
  
-**Эстетическая оценка задачи - 4.5 балла**+**Эстетическая оценка задачи - 5 баллов **
 ---- ----
  
-===== ММ241 =====+===== ММ247 =====
  
-**Конкурсная задача ММ241** (балла)+**Конкурсная задача ММ247** (баллов)
  
-При каких натуральных n множество {1, 2, …, n} можно разбить на два ​подмножества так, что произведение элементов первого подмножества равно сумме элементов второго?​+ 
 +Пусть k – фиксированное ​натуральное ​число. Для ​натуральных n определим функцию f<​sub>​k</​sub>​(n)=lcm(nn+1,..., n+k-1)/​lcm(n+1,​ n+2,..., n+k)} 
 +Найти наименьшие значения f<​sub>​5</​sub>​(n) и f<​sub>​9</​sub>​(n).
  
 **Решение** **Решение**
  
-Привожу решения {{:​marathon:​domashenko_mm241.docx|Александра Домашенко}} и {{:​marathon:​ariadna_mm241.pdf|Валентины Колыбасовой}}.+Привожу решения {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_247.docx|Анатолия Казмерчука}} и {{:​marathon:​bukina_mm247_.pdf|Анны Букиной}}. ​
  
-**Обсуждение**+**Обсуждение** ​
  
-На первую задачу юбилейного ​Марафонского конкурса ​поступило ​10 решений. +ММ247 - обещанное ​продолжение ММ238. 
-Радует появление сразу троих новых участников. Огорчает исчезновение примерно такого же числа участников предыдущего конкурса. Призываю их подключиться к конкурсу со следующей задачи.+Большинство конкурсантов (ряды коих к финишу традиционно начали потихоньку ​редеть) справились с задачей.  
 +Некоторые изъятия баллов связаны с недостаточной обоснованностью ответа,​ ошибкой в арифметике и загадочное утверждение ​о простоте числа 289 (я специально подбирал,​ чтобы второй ответ был квадратом первого и, надо же - простое?!) 
 +Поощрения сделаны за некоторые обобщения.\\ 
 +Хотя я рассчитывал (и намекал на это при обсуждении ММ238), что ​участники не ограничатся заменой чисел 5 и 9 на произвольное k. 
 +Ограничились :-(\\ 
 +Тогда сам сформулирую интересные (на мой взгляд вопросы):​\\ 
 +Сколько целых значений принимает f<​sub>​k</​sub>​(n) и какие целые числа могут быть этими значениями?​ (Целые значения f<​sub>​5</​sub>​(n) - 1,5,7,11. Но напрашивающаяся гипотеза о ф(sup(f<​sub>​k</​sub>​(n))) целых значениях f<​sub>​k</​sub>​(n) не подтвердилась)\\ 
 +Ясно, что ​каждое свое значение f<​sub>​k</​sub>​(n) принимает конечное число раз. Можно ли, зная k без прямого перебора указать какое(какие) это будет значение и сколько раз оно достигается?​
  
-Задача ММ241 не вызвала затруднений у большинства конкурсантов.  +**Награды**
-Но был один момент,​ вызвавший разногласия участников. Он касается разрешимости задачи для значений n=1 и n=3. +
-Участники разделись на 3 категории:​\\  +
-первые (Константин Шамсутдинов и Владислав Франк) считают,​ что задача разрешима для каждого из этих n;\\ +
-вторые (их большинство) полагают,​ что задача разрешима для n=3, но не для n=1;\\ +
-наконец Александр Домашенко придерживается мнения,​ что задача не разрешима для обоих упомянутых n.+
  
-Александр не проаргументировал свое мнение,​ что постановка ​задачи ​имеет смысл, ​начиная с n=4. Полагаю, он отталкивался от бинарности операций сложения и умножения. +За решение задачи ​ММ247 участники Марафона получают ​следующие призовые баллы: \\ 
-Аргументы ​Владислава ​и Константина ​- произведение элементов пустого множества равно 1, поэтому ​для n=1 можно поместить 1 в первое подмножество, а во второе не помещать ничего. +Анатолий Казмерчук - 9;\\ 
-Я согласен с аргументом про произведение элементов пустого множества, но... В формулировке идет речь о разбиении. А в разбиении по определению участвуют только ​непустые подмножества+Владислав ​Франк - 9;\\ 
-Поэтому (а вовсе не из конформизма) я склонен присоединиться ​к большинству. Но при этом не снижал баллы тем, ​кто придерживается альтернативных мнений.+Константин ​Шамсутдинов ​- 9;\\ 
 +Владимир Дорофеев - 8;\\ 
 +Анна ​Букина - 7;\\ 
 +Мераб ​Левиашвили ​- 7;\\ 
 +Валентин Пивоваров - 6;\\ 
 +Александр Домашенко - 6;\\ 
 +waxter - 6;\\ 
 +Виктор ​Филимоненков ​- 5.
  
-Дополнительные баллы начислены за успешный поиск разбиений,​ не попадающих под общее описание (упоминание наличия таких разбиений и прведение единичного примера не учитывались). +**Эстетическая оценка задачи ​- 4.балла** 
-Мераб Левиашвили предложил несколько простых вариаций на тему ​задачи. ​Уточняю для него и других новичков Марафона,​ что дополнительными ​баллами такие предложения оцениваются при условии,​ что они содержат какие-то продвижения в указанных направлениях (ну, или если покажутся ведущему неожиданными и очень красивыми). ​+----
  
-Напоминаю как новичкам,​ так и некоторым забывчивым старожилам,​ что я жду от вас эстетических оценок предлагаемых задач. 
  
-**Награды**+===== ММ246 =====
  
-За решение задачи ММ241 участники Марафона получают следующие призовые баллы:​\\  +**Конкурсная задача ММ246** (7 баллов)
-Александр Домашенко - 6;\\ +
-Константин Шамсутдинов - 5;\\ +
-Анатолий Казмерчук - 4;\\ +
-Мераб Левиашвили - 4;\\ +
-Виктор Филимоненков - 4;\\ +
-Владислав Франк - 4;\\ +
-Валентина Колыбасова - 4;\\ +
-Антон Никонов - 4;\\ +
-Владимир Дорофеев - 4;\\ +
-Анна Букина - 2.+
  
-**Эстетическая оценка задачи - 4.5 балла** 
----- 
  
 +Сколько (с точностью до подобия) существует разносторонних треугольников,​ разрезаемых на два равнобедренных более чем одним способом?​
  
-===== ММ240 ===== +**Решение**
-**Конкурсная задача ММ2409** (13 баллов)+
  
-Проективную плоскость разбили несколькими прямыми общего положенияПри этом образовалось ровно 17 треугольников. ​Сколько пятиугольников могло при этом получиться?​+Привожу решения {{:​marathon:​shamsutdinov_mm246.docx|Константина Шамсутдинова}}, {{:​marathon:​fiviol_мм246.docx|Виктора ​Филимоненкова}} и {{:​marathon:​mm246.pdf|авторское}}. 
  
-[[problem 240|Решение ​задачи ММ240]]+**Обсуждение** 
  
-----+ММ246 оказалась трудным орешком. Половина конкурсантов потеряли нужные (нашли лишние) треугольники. 
 +Особенно странным оказалось именно приобретение лишних решений. Ведь, в отличие от потери нужных,​ эта ошибка легко проверяется. 
 +Правда,​ за один (наиболее удививший меня) лишний треугольник я не стал штрафовать нашедшего его участника. Речь идет о прямоугольном равнобедренном треугольнике,​ который,​ в силу своей равнобедренности,​ в ответ включен не был, но в остальном,​ по мнению приведшего его участника,​ удовлетворял условию (?!).
  
 +Кстати,​ требование разносторонности треугольника попало в условие только на основании того, что я так и не смог решить считать ли, например,​ биссектрисы углов при основании треугольника с углами 36, 72, 72 градуса разными разрезами.
  
-===== ММ239 ===== +Мне представляется, что ​задача ​становится проще, а перебор прозрачнее, если сразу договориться об упорядочивании углов ​исходного треугольника.  
-**Конкурсная задача ​ММ239** (10 баллов)+К моему удивлению этим путем пошли менее половины участников. Тем не менее, некоторые из тех, кто не упорядочивал углы исходного треугольника,​ добрались до верного ответа ;-)
  
-Решения ​принимаются до __17.11.2018__+Любопытно,​ что в ответ пошло два треугольника, где требуемые разрезы выходят из разных вершини один с разрезами,​исходящими из одной вершины.
  
-Существует ли выпуклый ​многограннику которого:\\ +К вопросу о красоте. \\ 
-a) не менее половины граней семиугольники;\\ +ММ246, с моей ​точки зрения,​ одна из лучших в текущем ​конкурсе. Но с этим ​мнением согласны не все. Что ж, как говорится, ​о вкусах не спорят.\\ 
-b) более половины граней ​семиугольники; \\ +Спорить ​не буду, но попробую проаргументировать свои предпочтения.\\ 
-сне менее ​половины граней - восьмиугольники;\\ +Часто наличие нескольких, а не одного решения ​безусловный ​минус задачи. Так было бы, например, с ММ244. И я был бы согласен с теми, кто ​поставил мне в вину наличие ​нескольких решений, если бы решений на самом деле было больше одного. 
-dболее половины граней - восьмиугольники;\\ +Но для ММ246 наличие трех решений кажется украшением, а не дефектом задачи. Ведь ​они - принципиально ​разные
-e) не менее половины граней  - девятиугольники?+Например,​ два равнобедренных треугольника с углами 36, 72, 72 (градусови 36, 36, 108 (градусов) - разные, но не принципиально. Каждый из них ​возникает при разрезании другого на два ​равнобедренных. 
 +А для разносторонних, попавших в ответ это не так. 
 +Ну и треугольник ​с наименьшим углом п/13, IMHO, сам по себе красив в качестве ответа.\\ 
 +Свою ​позицию я прояснил. Готов выслушать аргументы противоположного толка.
  
-//​Примечание: Если у вас получается,​ что ответ на пункт «а» отрицательный, а на пункт «b» - положительный,​ подумайте еще.// ​+**Награды**
  
 +За решение задачи ММ246 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\
 +Александр Домашенко - 7;\\
 +Анатолий Казмерчук - 7;\\
 +Константин Шамсутдинов - 7;\\
 +Мераб Левиашвили - 7;\\
 +Виктор Филимоненков - 7;\\
 +Валентина Колыбасова - 5;\\
 +Валентин Пивоваров - 5;\\
 +Владислав Франк - 5;\\
 +Анна Букина - 5;\\
 +Владимир Дорофеев - 4.\\
  
-[[problem 239|Решение задачи ​ММ239]]+**Эстетическая оценка ​задачи ​- 4.7 балла** 
 +----
  
 +
 +----
  
  
 ~~NOTOC~~ ~~NOTOC~~
 

 


Страница: [[marathon:about]]

marathon/about.1571453296.txt · Последние изменения: 2019/10/19 05:48 — letsko
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006