Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

marathon:about [2019/10/19 05:52]
letsko
marathon:about [2020/05/04 15:45] (текущий)
letsko [ММ248]
Строка 9: Строка 9:
 ---- ----
  
-Продолжается ​**XXV юбилейный ​конкурс в рамках Математического марафона!**+Стартовал **XXVI конкурс в рамках Математического марафона!** 
 + 
 +Активная фаза (разбор задач),​ как обычно,​ начнется осенью. Но решения можно (и нужно) присылать прямо сейчас. ​
  
 Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания,​ выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными,​ а другие - не очень. На вкус и на цвет... Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания,​ выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными,​ а другие - не очень. На вкус и на цвет...
Строка 26: Строка 28:
  
 ====== Текущие задачи ====== ====== Текущие задачи ======
----- 
  
-===== ММ247 ===== +===== ММ251 =====
-  +
-**Конкурсная задача ММ247** (7 баллов) +
-Решения принимаются до __18.10.2019__+
  
-Пусть k – фиксированное натуральное число. Для ​натуральных n определим функцию + **Конкурсная задача ММ251** ​(3 балла)
-f<​sub>​k</​sub>​(n)=(lcm(n,​n+1,​…,​n+k-1))/​(lcm(n+1,​n+2,​…,​n+k)).\\ ​  +
-Найти наименьшие значения f<​sub>​5</​sub>​(n) и f<​sub>​9</​sub>​(n)+
-----+
  
-===== ММ248 ===== +Решения принимаются до __05.09.2020__
-  +
-**Конкурсная задача ММ248** (8 баллов) +
-Решения принимаются до __25.10.2019__+
  
-Найти наименьшее натуральное ​такоечто во множестве ​{(τ(kn))/​(τ(n))|n ∈ N} ровно 13 целых чисел. +Из книги вырвано несколько страниц. Сумма номеров оставшихся страниц 5001. Пусть n –наименьшее ​возможное число страниц, которое могло быть в этой книге изначально. Найдите наибольший ​возможный номер отсутствующей страницы, при условии, что в книге было n страниц.
-----+
  
-===== ММ249 ===== +===== ММ252 =====
-  +
-**Конкурсная задача ММ249** (10 баллов) +
-Решения принимаются до __01.11.2019__+
  
-Пусть k – натуральное число и a – некоторая перестановка 2020-элементного множества. Может ли уравнение ​x<​sup>​k</​sup> ​= a иметь ровно 2020 решений+ ​**Конкурсная задача ММ252** (4 балла) 
-----+ 
 +Решения принимаются до __12.09.2020__ 
 + 
 +Для ​числа 90 существуют две пары представлений в виде произведения трех сомножителей ​таких, что суммы сомножителей внутри каждой пары одинаковы:\\  
 +90=1⋅9⋅10=2⋅3⋅15, ​ 1+9+10=2+3+15;​\\ 
 +90=2⋅5⋅9=3⋅3⋅10, ​ 2+5+9=3+3+10.\\ 
 +Доказать,​ что существует бесконечно много натуральных чисел вида p<​sup>​k</​sup>​q (p, q – простые, k – натуральное), обладающих таким свойством.
  
-===== ММ250 =====+===== ММ253 ===== 
 + 
 + ​**Конкурсная задача ММ253** (5 баллов) 
 + 
 +Решения принимаются до __19.09.2020__ 
 + 
 +Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA<​sub>​1</​sub>​B<​sub>​1</​sub>​C<​sub>​1</​sub>​ равна 2. Сечение призмы,​ проходящее через середину отрезка AB<​sub>​1</​sub>​ перпендикулярно ему имеет площадь 28✔(39)/​81. Найти объем призмы?​ 
 + 
 +===== ММ254 ===== 
 + 
 + ​**Конкурсная задача ММ254** (6 баллов) 
 + 
 +Решения принимаются до __26.09.2020__ 
 + 
 +Вася вписал круг в треугольник со сторонами 3, 4, 5. И вписывает новые круги так, что каждый последующий касается двух сторон треугольника и одного из предыдущих кругов. Может ли суммарная площадь кругов превысить 80% от площади треугольника и на каком шаге (круге) может случиться это событие?​ 
 + 
 +===== ММ255 ===== 
 + 
 + ​**Конкурсная задача ММ255** (7 баллов) 
 + 
 +Решения принимаются до __04.10.2020__ 
 + 
 +Найти наименьшее натуральное число, имеющее ровно 7 представлений в виде произведения наибольшего возможного количества попарно различных натуральных сомножителей. ​
    
-**Конкурсная задача ​ММ250** (14 баллов) +===== ММ256 =====
-Решения принимаются до __29.11.2019__+
  
-Найти наименьшее возможное количество ребер выпуклого многогранника, у которого сумма длин ребер равна сумме длин диагоналей.+ **Конкурсная задача ММ256** (8 баллов)
  
-----+Решения принимаются до __11.10.2020__
  
-====== Разбор задач ====== +При каком наименьшем натуральном n уравнение n{x}<​sup>​2</​sup>​ +{x}=[x] имеет не менее 1000000 решений в рациональных ​числах?
----- +
-===== ММ246 =====+
  
-**Конкурсная ​задача ​ММ246** ​(7 баллов)+Примечание: {x} – дробная ​часть числа x, [x]  – целая ​часть ​(полчисла x.
  
 +===== ММ257 =====
  
-Сколько (с точностью до подобия) существует ​разносторонних треугольников,​ разрезаемых на два равнобедренных более чем ​одним способом?​+ **Конкурсная задача ММ257** (9 баллов)
  
-**Решение**+Решения принимаются до __18.10.2020__
  
-Привожу решения {{:​marathon:​shamsutdinov_mm246.docx|Константина Шамсутдинова}}, {{:​marathon:​fiviol_мм246.docx|Виктора Филимоненкова}} и {{:​marathon:​mm246.pdf|авторское}}. ​+Задача ММ257 ​сюжетно ​связана с ММ237
  
-**Обсуждение** +Студент математического факультета Вася Пупкин пропустил (по уважительной причине) занятие по дискретной математике. ​Однокурсники рассказали,​ что на занятии рассматривался некий граф. Но ни один из них не зафиксировал этот граф ни с помощью гаджетов,​ ни на бумагу. Впрочем,​ Васины однокурсники,​ утверждают, что это не страшно,​ поскольку они и так помнят этот граф. В подтверждение своих слов они наперебой кинулись вспоминать характеристики графа:​\\
  
-ММ246 оказалась трудным орешком. Половина конкурсантов потеряли нужные (нашли лишние) треугольники+Аня: В графе было ровно 3 связных компоненты.\\ 
-Особенно ​странным оказалось именно ​приобретение лишних решений. Ведь, в отличие ​от потери нужных, эта ошибка легко проверяется+Ваня: Причем ​во всех связных компонентах графа имелись циклы.\\ 
-Правда, за один (наиболее ​удививший ​меня) лишний ​треугольник я не стал штрафовать нашедшего ​его участникаРечь ​идет о прямоугольном равнобедренном треугольнике, который, в силу своей равнобедренности, в ответ включен не был, но в остальном,​ по мнению приведшего его участника, удовлетворял условию (?!).+Даня: А еще ​среди связных  ​компонент не было изоморфных.\\ 
 +Маня: Число ​ребер в одной из компонент ​было равно половине общего ​числа ​ребер.\\ 
 +Саня: ​При ​этом число ребер было равно сумме количеств вершин и связных компонент.\\ 
 +Таня: В графе была всего одна вершина степени 3.\\ 
 +Зина: А всего в графе было не более 13 вершин.\\ 
 +Лина: И при этом не было висячих вершин. \\ 
 +Нина: А степень одной из вершин не менее чем ​на 2 превосходила степень каждой из остальных ​вершин.\\ 
 +Фаина: Зина, Лина и Нина правы.\\
  
-Кстатитребование разносторонности треугольника попало в условие только на основании тогочто я так и не смог решить считать линапример, биссектрисы углов при ​основании треугольника с углами 36, 72, 72 градуса разными разрезами.+Услышавший эти реплики преподаватель ​сказал, что память подвела ​ровно одного человека.\\  
 +Сможет ли Вася (умница и отличник) однозначно восстановить граф?\\
  
-Мне представляется,​ что задача становится проще, а перебор прозрачнее,​ если сразу договориться об упорядочивании углов исходного треугольника.  +===== ММ258 =====
-К моему удивлению этим путем пошли менее половины участников. Тем не менее, некоторые из тех, кто не упорядочивал углы исходного треугольника,​ добрались до верного ответа ;-)+
  
-Любопытно, что в ответ пошло два треугольника, где требуемые ​разрезы выходят из разных вершин,​ и один с разрезами,исходящими из одной ​вершины.+ **Конкурсная задача ММ258** (7 баллов)
  
-К вопросу о красоте. \\ +Решения принимаются до __24.10.2020__
-ММ246, с моей точки зрения,​ одна из лучших в текущем конкурсе. Но с этим мнением согласны не все. Что ж, как говорится, о вкусах не спорят.\\ +
-Спорить не буду, но попробую проаргументировать свои предпочтения.\\ +
-Часто наличие нескольких,​ а не одного решения - безусловный ​минус задачи. Так было бы, например,​ с ММ244. И я был бы согласен с теми, кто поставил мне в вину наличие нескольких решений,​ если бы решений на самом деле было больше одного. +
-Но для ММ246 наличие трех решений кажется украшением,​ а не дефектом задачиВедь они - принципиально разные. +
-Например,​ два равнобедренных треугольника с углами 36, 72, 72 (градусов) и 36, 36, 108 (градусов) - разные,​ но не принципиально. Каждый из них возникает при разрезании другого на два равнобедренных. +
-А для разносторонних,​ попавших в ответ это не так. +
-Ну и треугольник с наименьшим углом п/13, IMHO, сам по себе красив в качестве ответа.\\ +
-Свою позицию я прояснил. Готов выслушать аргументы противоположного толка.+
  
-**Награды**+Сколько элементов содержит множество сумм квадратов цифр квадратов чисел, в десятичной записи которых присутствуют по одному разу ровно три ненулевых цифры: 1, 4, 9? (Нулей может быть сколько угодно).
  
-За решение задачи ​ММ246 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ +===== ММ259 =====
-Александр Домашенко - 7;\\ +
-Анатолий Казмерчук - 7;\\ +
-Константин Шамсутдинов - 7;\\ +
-Мераб Левиашвили - 7;\\ +
-Виктор Филимоненков - 7;\\ +
-Валентина Колыбасова - 5;\\ +
-Валентин Пивоваров - 5;\\ +
-Владислав Франк - 5;\\ +
-Анна Букина - 5;\\ +
-Владимир Дорофеев - 4.\\+
  
-**Эстетическая ​оценка задачи - 4.7 балла** + **Конкурсная задача ММ259** (8 баллов)
-----+
  
-===== ММ245 =====+Решения принимаются до __31.10.2020__
  
-**Конкурсная задача ММ245** (5 баллов)+Может ли треугольник с вершинами в центроиде и центрах вписанной и описанной окружностей некоторого треугольника быть\\  
 +a) равновелик;\\ 
 +б) подобен;​\\ 
 +в) равен \\ 
 +исходному?​
  
-В остроугольном треугольнике ​ABC провели высоту BH.  +===== ММ260 ===== 
-Найти ​отношение площадей треугольников ​ABH и CBH, если ​первый из них подобен треугольнику из своих медиан, а второй – треугольнику из своих высот.+ 
 + **Конкурсная задача ММ260** (12 баллов) 
 + 
 +Решения принимаются до __14.11.2020__ 
 + 
 + 
 +Задача ММ260 ​обобщает и развивает ММ231 
 + 
 +Пусть ABC – некоторый ​треугольник, точки K, L, M лежат соответственно на прямых AB, AC и BC, а s – некоторое действительное ​число, отличное от 0 и 1. Треугольник ​KLM будем называть подобно-вписанным в ∆ABC, если 
 +AK=sAB, BL=sBC, CM=sCA; 
 +треугольник KLM подобен треугольнику ​ABC. 
 +Сколько подобно вписанных треугольников ​может быть у произвольного треугольника? 
 + 
 +---- 
 + 
 +====== Разбор задач ====== 
 +---- 
 +===== ММ250 ===== 
 +  
 +**Конкурсная задача ММ250** (14 баллов) 
 + 
 +Найти наименьшее возможное количество ребер ​выпуклого многогранника,​ у которого сумма длин ребер равна сумме длин диагоналей.
  
 **Решение** **Решение**
  
-Привожу решения {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_245.docx|Анатолия Казмерчука}}, {{:​marathon:​ariadna_mm245.pdf|Валентины Колыбасовой}} (обакак обычно,​ подробные,​ с чертежами) и {{:​marathon:​fiviol_мм25.docx|Виктора Филимоненкова}} ак обычно, краткое, хотя и не самое краткое)+Привожу решения {{:​marathon:​fiviol_мм250.docx|Виктора Филимоненкова}}, {{:​marathon:​mm250_shamsutdinov.docx|Константина ​Шамсутдинова}}, {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_250_.pdf|Анатолия Казмерчука}} ​и {{:​marathon:​мм250.pdf|авторское}}.
  
 **Обсуждение** ​ **Обсуждение** ​
  
-ММ245 не вызвала больших затруднений у участников. Изъятые баллы - следствие, скорее, недостаточной аккуратности+При составлении ​задач XXV конкурса ​в рамках Математического марафона я долго не мог найти подходящую кандидатуру на роль ​ударной заключительной задачи.\\ 
-Хотя у меня были сомнениястоит ли вообще изымать баллы. Ведь в условии сказано просто "найти отношение площадей", ​а не "​найти ​отношение ​площади первого к площади второго"​. ​+Придумав (но еще не решив) обсуждаемую ​задачу, ​я полагал,​ что она не тянет на заключительную. Почему?​ Я почему-то сразу уверовал, что верный ответ - 14. Существование подходящего многогранника легко обосновывается. Остается проверить, ​что многогранники с меньшим числом ребер ​не годятся. И я начал проверять. И проверил 21 из 22 типов 13-реберных многогранников. При этом только один раз обоснование того, что сумма длин диагоналей меньше суммы длин ребер, потребовало некоторых ухищрений. Остальное - сплошная рутина. Оставался последний случай. И... тут я понял, что задача вполне годится для юбилейной. Решение ​стало в разы короче, а подходящий ответ - единственным!
  
-Дополнительный ​балл добавлен за переформулировку задачи таким ​образом, чтобы ответ стал единственным. +Как ​обычно, ​последний (и самый ​трудный) участок дистанции дался не всем. Поступило всего 5 решений ММ250, из которых верны лишь 4.  
-У меня тоже возникало желание добиться единственности ответа. Но я не стал делать ​этого, решив отловить тех, кто потеряет один ответКапкан не сработал.+ 
 +"​Ощущая дыхание в спину"​ со стороны преследователей Анатолий Казмерчук ​мощно спуртовалрассмотрев несколько аналогов ​задачи.\\ 
 +Не исключено,​ что не меньше ​красот ​имеется и в решении Мераба Левиашвили. Но я вынужден признать, что ​мне не удалось продраться сквозь два десятка страниц: без ​единого рисунка (для сравнения - у Анатолия, кроме чертежей в основном тексте, имеется приложение ​с тремя ​десятками рисунков); с многочисленными формулами, ​набранными обычным текстом;​ массой собственных обозначений, ​отличных ​от стандартных;​ списком опечаток на страницу, присланным отдельно...\\ 
 +Точнее,​ удалось, но лишь настолько, чтобы понятьчто задача ​решена ​и обоснована единственность (с точностью до топологической эквивалентности) требуемого многогранника.  
 + 
 +В конце решения Анатолия ​Казмерчука имеется отсылка к плоскому ​аналогу задачи. Приведенные там рассуждения,​ по сути, повторяют решение MM2. Было бы красивее, если ​бы ММ1, но составляя ММ1 (как, впрочем,​ и ММ2) я еще не задумывался над ММ250.
  
 **Награды** **Награды**
  
-За решение задачи ММ245 участники Марафона получают следующие призовые баллы:\\  +За решение задачи ММ250 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ 
-Александр Домашенко - 6;\\ +Анатолий Казмерчук - 17;\\ 
-Анатолий Казмерчук - 5;\\ +Мераб Левиашвили - 15;\\ 
-Константин Шамсутдинов - 5;\\ +Константин Шамсутдинов - 15;\\ 
-Мераб Левиашвили - 5;\\ +Виктор Филимоненков - 14;\\ 
-Виктор Филимоненков - 5;\\ +Владислав Франк - 6.
-Анна Букина - 5;\\ +
-Валентина Колыбасова - 5;\\ +
-Владимир Дорофеев - 5;\\ +
-Владислав Франк - 4;\\ +
-Валентин Пивоваров - 4.+
  
-**Эстетическая оценка задачи - 4.3 балла**+**Эстетическая оценка задачи - баллов **
 ---- ----
  
-===== ММ244 =====+===== ММ249 =====
  
-**Конкурсная задача ММ244** (баллов)+**Конкурсная задача ММ249** (10 баллов)
  
-Галя предложила Ане, Боре и Васе такую загадку:​\\ +Пусть k – натуральное ​число и a – некоторая перестановка ​2020-элементного ​множества. Может ли уравнение ​x<​sup>​k</​sup>​=a ​иметь ровно 2020 решений?
-- Я задумала три попарно различных ​ненулевых цифры. Сейчас я по секрету сообщу Ане сумму квадратов, Боре ​произведение, а Варе сумму задуманных цифр. Попробуйте отгадать эти цифры. ​  +
-Узнав сумму ​квадратов произведение и сумму, Аня, Боря и Вася сначала задумались,​ а затем разговорились:​ \\ +
-А: Я не могу определить, что это за цифры.\\ +
-Б: И я не могу.\\ +
-В: И я тоже.\\ +
-A: Тогда я их знаю!\\ +
-Б: После этой реплики и я их знаю.\\ +
-Что это за тройка цифр? \\ +
-Примечание: У Ани, Бори и Васи все хорошо с арифметикой и логикой.+
  
 **Решение** **Решение**
  
-Привожу решения {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_244.docx|Анатолия Казмерчука}} и {{:​marathon:​shamsutdinov_mm244.docx|Константина Шамсутдинова}}. ​+Привожу решения {{:​marathon:​мм249-решение-м.л.docx|Мераба Левиашвили}}{{:​marathon:​shamsutdinov_mm249.docx|Константина Шамсутдинова}} и {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_249.docx|Анатолия Казмерчука}}.
  
 **Обсуждение** ​ **Обсуждение** ​
  
-ММ244 ​оказалась первой задачей юбилейного конкурса, вызвавшей ​серьезные затруднения у участников. В отличие от большинства трудных задач из предыдущих конкурсов, затруднения не остановили конкурсантов и они прислали решения.  +Как ​обычно, (и как это бывает в настоящем марафоне к концу дистанции) к последним задачам ряды марафонцев поредели. Впрочем, не столь ​катастрофически, как это бывало в предыдущих конкурсах. 
-Тем самым, трудности возникли уже у ведущего:\\  +В то же времянеожиданно обострилась борьба ​в лидирующей группе. К середине ​конкурса ​казалось ​очевидным, ​что лидеру, Анатолию Казмерчуку, может составить конкуренцию только Константин Шамсутдинов. Однакона финише мощно спуртует Мераб Левиашвиликоторый ​уже настиг Константина и приблизился ​к Анатолию. И это при ​том, что ни Константин, ​ни Анатолий темп не снижали. 
-найти ошибку в длинном правдоподобном ​решении;\\ +
-разобраться в программе, ​написанной на неизвестном языке, и присланной вместо решения;\\ +
-как оценивать ​логическую ошибку при верной арифметике;\\ +
-как ​оценивать арифметическую ошибку ​при ​верной ​логике, не повлиявшую на ответ;\\ +
-как ​оценивать арифметическую ошибку при верной логикеповлиявшую ​на ответ;\\ +
-наконец, как оценить верный ответ при отсутствии решения+
  
-Отмечу, что перечисленные ситуации (наряду с тему, которые не вызвали вопросов) встречаются в присланных решениях+Честно признаюсь, что я не вник во все детали решения Мераба,​ в котором только перечисление принятых условных обозначений занимает 2 страницы (а формулы набраны ​текстом :-()). Думаю, ​рискнувшие ​заглянуть ​в его решение,​ меня поймут.  
 +Впрочем, и того, в чем удалось разобраться хватило для самой высокой оценки за ММ249.
  
-Наиболее коварный момент в задаче - второе заявление Бори.  +Как и ожидалось, большинство конкурсантов ​не ограничились ​одним подходящим примеромДополнительные примеры принесли дополнительные баллы ​(иногда отрицательные). 
-Сразу ​несколько конкурсантов ​проигнорировали начало этого заявления... ​и получили лишние решенияМеня удивило, что это их не удивило (иначе они бы перепроверили свои рассуждения). +Но разнообразие сводилось лишь к виду перестановки a. А с показателем степени ​никто, кроме Мераба, особо не заморачивался. Хватило двойки.
- +
-Представленные ниже призовые баллы ​- плод моих мучительных раздумий и рандомных порывов. Так что, не судите строго (как старался ​делать и я). +
- +
-На [[https://​www.facebook.com/​groups/​mathpuz/​1378859588956546/?​comment_id=1378879308954574&​reply_comment_id=1379017442274094&​notif_id=1569669688346425&​notif_t=group_comment_mention|FB]] можно найти несколько разновидностей ММ244, предложенных Константином Кнопом. Там же есть решение ​Олега Полубасова (ушедшего в марафонское подполье)+
  
 **Награды** **Награды**
  
-За решение задачи ММ244 участники Марафона получают следующие призовые баллы:​\\  +За решение задачи ММ249 участники Марафона получают следующие призовые баллы:​\\  
-Анатолий Казмерчук ​7;\\ +Мераб Левиашвили - 15;\\ 
-Константин Шамсутдинов - 6;\\ +Константин Шамсутдинов - 12;\\ 
-Мераб Левиашвили - 6;\\ +Анатолий Казмерчук - 12;\\ 
-Владислав Франк - 6;\\ +Виктор Филимоненков - 10;\\ 
-Виктор Филимоненков - 5;\\ +vpb 10;\\ 
-Анна Букина ​4;\\ +Владислав ​Франк - 9.
-Валентин Пивоваров - 4;\\ +
-Валентина Колыбасова - 3;\\ +
-Антон Никонов - 3;\\ +
-Александр Домашенко - 3;\\ +
-Лев Песин ​3.+
  
-**Эстетическая оценка задачи - 4.балла**+**Эстетическая оценка задачи - 4.баллов **
 ---- ----
  
 +===== ММ248 =====
  
-===== ММ243 =====+**Конкурсная задача ​ММ248** (8 баллов)
  
-**Конкурсная задача ММ243** (5 баллов)⊥ +Найти ​наименьшее натуральное k такое, ​что во множестве {(τ(kn))/​(τ(n))|n ∈ N} ровно 13 целых чисел. 
- +
- +
-В треугольнике ABC a<​b<​c ​и a⋅l<​sub>​a</​sub>​=c⋅l<​sub>​c</​sub>​ Найти угол β+
  
 **Решение** **Решение**
  
-Привожу решения {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_243.docx|Анатолия Казмерчука}}, {{:​marathon:​ariadna_mm243.pdf|Валентины Колыбасовой}} и {{:​marathon:​bukina_mm243.pdf|Анны Букиной}} (только они ​не поленились сделать ​чертежи). +Привожу решения {{:​marathon:​frank_248.pdf|Владислава Франка}}, {{:​marathon:​merab-мм248.docx|Мераба Левиашвили}} и {{:​marathon:​fiviol_мм248.docx|Виктора Филимоненкова}}
- +(Решение Анатолия Казмерчука, как всегда, ​не только верно, но и замечательно оформленоно надо же знакомить публику и новыми лицами Марафона. Впрочемновому участнику среди приведенных решений ​принадлежит только одно.) ​
-Еще одно решение ({{:​marathon:​fiviol_мм243.docx|Виктора Филимоненкова}}) - пример одного из наиболее ​кратких решений+
  
 **Обсуждение** ​ **Обсуждение** ​
  
-Задача не вызвала затруднений у конкурсантов.  +ММ248 ​далась не всем конкурсантам.  
-Зато присланные решения довольно разннобразны. \\ +Доказательство того факта, что при любом ​натуральном k существует бесконечно много значений n, для которых рассматриваемая дробь будет целым числом, разумеется,​ не означает, таких целых чисел ​для каждого k будет бесконечно много. Но сам фактчто такая ​подмена понятий случилась не однажды - свидетельство объективной трудности задачи. 
-Тем ​самым, они оправдали ​ожидания ведущего, получившего данный результат в качестве ​побочного продукта при решении более сложной задачи. +Поэтому, на всякий случай, еще раз - во множестве ​{2, 2, 2,...} ровно один элемент - двойка
-Соответственно, ​и решение ​ММ243 получилось весьма громоздким. Искать более простые решения ведущий не стал ​отя подозревал, что они есть), доверив это участникам Марафона. ​+Ответ, ​превышающий правильный в неприлично ​большое (1230 десятичных знаков) количество раз тоже был оценен невысоко. 
 +В остальномвсе ​решения идейно были близки (но при этом почему-то многократно отличались ​по размерам). 
 + 
 +К моему удивлению, лишь двое участников обратили внимание на тот очевидный факт, что на месте 13 в условии могло быть любое другое ​число.  
 +(Хотя нельзя ​исключить,​ что это ведущий проморгал это наблюдение в дебрях длинных решений.)
  
 **Награды** **Награды**
  
-За решение задачи ММ243 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ +За решение задачи ММ248 участники Марафона получают следующие призовые баллы:\\  
-Анатолий Казмерчук - 6;\\ +Владислав Франк - 9;\\ 
-Александр Домашенко - 5;\\ +vpb - 9;\\ 
-Константин Шамсутдинов - 5;\\ +Анатолий Казмерчук - 8;\\ 
-Мераб Левиашвили - 5;\\ +Константин Шамсутдинов - 8;\\ 
-Владислав Франк - 5;\\ +Виктор Филимоненков - 8;\\ 
-Валентина Колыбасова 5;\\ +Мераб Левиашвили - 8;\\ 
-Анна Букина - 5;\\ +Александр Домашенко 3;\\ 
-Валентин Пивоваров - 5;\\ +Владимир Дорофеев - 1;\\ 
-Виктор Филимоненков - 5;\\ +Анна Букина - 1.
-Антон Никонов - 3.+
  
-**Эстетическая оценка задачи - 4.4 балла**+**Эстетическая оценка задачи - баллов **
 ---- ----
  
 +===== ММ247 =====
  
-===== ММ242 =====+**Конкурсная задача ​ММ247** (7 баллов)
  
-**Конкурсная задача ММ242** (5 баллов) 
  
-На сайте проводится опрос, кого из m номинированных футболистов посетители сайта считают ​лучшим по итогам сезона. Каждый посетитель голосует один раз за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого футболиста - доля голосов,​ отданных ​за него, в процентах, округленных ​до целого числа. После того, ​как проголосовали n посетителейсуммарный рейтинг номинантов составил 95%.\\ +Пусть k – фиксированное ​натуральное ​число. Для натуральных ​определим функцию f<​sub>​k</​sub>​(n)=lcm(n, n+1,..., n+k-1)/​lcm(n+1,​ n+2,..., n+k)} 
-a) При каком ​наименьшем m такое возможно?\\ +Найти наименьшие значения f<​sub>​5</​sub>​(n) и f<​sub>​9</​sub>​(n).
-b) При каком ​наименьшем ​такое возможно?​\\  +
-cПри каком наименьшем m+такое возможно?​+
  
 **Решение** **Решение**
  
-Привожу решения {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_242.docx|Анатолия Казмерчука}} и {{:​marathon:​ariadna_mm242.pdf|Валентины Колыбасовой}}.+Привожу решения {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_247.docx|Анатолия Казмерчука}} и {{:​marathon:​bukina_mm247_.pdf|Анны Букиной}}. ​
  
 **Обсуждение** ​ **Обсуждение** ​
  
-Судьбу задачи ​ММ242 решал ответ на 3-й вопрос. Придумав условие, я сразу для себя решил, что если в наименьшем m+n не будут участвовать ни наименьшее m, ни наименьшее n, то задача ​будет достаточно интересна, а в противном ​случае - скучна. О том, что можно будет заменить в условии число 95 (взятое от фонаря) я в тот момент почему-то не думал. +ММ247 - обещанное продолжение ММ238. 
- +Большинство конкурсантов (ряды коих к финишу традиционно начали потихоньку ​редеть) ​справились с задачей.  
-Я был уверен, что наиболее ​сложен пункт cи ожидал ​ошибок именно там. К чести конкурсантов с этим пунктом справились все. Но одному из участников неожиданно ​не покорился пункт b. Еще более неожиданной для меня ​были две попытки дать неверный ответ к пункту a, в связи с альтернативной трактовкой термина ​"округление"​. Мудрые составители ЕГЭ-шной задачи (коей навеяна ММ242) ​дали полное определение правил округления прямо ​в условии, а я был уверен, что у конкурсантов с этим ​проблем не будет... +Некоторые изъятия баллов связаны с недостаточной обоснованностью ​ответа, ошибкой в арифметике и загадочное утверждение о простоте числа 289 (я специально подбирал, чтобы второй ответ ​был ​квадратом первого инадо же - простое?!) 
- +Поощрения сделаны за некоторые обобщения.\\ 
-Любопытны примерыприведенные ​участниками в подтверждение ответа 11 к пункту aВ них встретились ​следующие значения n:\\ +Хотя я рассчитывал (и намекал на это при обсуждении ММ238)что ​участники ​не ограничатся заменой чисел 5 и 9 на произвольное k. 
-29 3 раза;\\ +Ограничились :-(\\ 
-31 - 2 раза;\\ +Тогда сам сформулирую ​интересные (на мой взгляд вопросы):​\\ 
-67 - 1 раз;\\ +Сколько целых значений ​принимает f<​sub>​k</​sub>​(n) и какие целые числа могут быть этими значениями? (Целые значения f<​sub>​5</​sub>​(n) - 1,5,7,11. Но напрашивающаяся гипотеза о ф(sup(f<​sub>​k</​sub>​(n))) ​целых значениях f<​sub>​k</​sub>​(n) не подтвердилась)\\ 
-73 - 1 раз;\\ +Ясночто каждое свое значение f<​sub>​k</​sub>​(n) ​принимает конечное число раз. Можно ли, зная k без ​прямого перебора указать какое(какие) это будет значение и сколько раз оно достигается?
-201 - 2 раза;​\\ +
-10000 - 2 рвза. +
- +
-Я не стал штрафовать ​участников ни за неверное утверждение, что минимальное n, при котором достигается m = 11, равно 31 (ведь в задаче про это ​не спрашивалось), ни за краткость в обоснованиях, полагая, что ссылка ​на перебор,​ с правильным указанием границ перебора является (при ​наличии верного ​ответа) достаточным ​обоснованием. +
- +
-Я ожидал ​достаточно массового упоминания ​того факта, что суммарный рейтинг может быть любым целым ​числом в пределах от 0 (напримеркаждый из 201 номинантов ​получил по 1 голосу) до 200 (напримеркаждый из 200 номинантов получил по 1 голосу). Однако ​данное утверждение обнаружилось лишь в одной ​работе и было поощрено дополнительным баллом.+
  
 **Награды** **Награды**
  
-За решение задачи ММ242 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ +За решение задачи ММ247 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ 
-Анатолий Казмерчук - 6;\\ +Анатолий Казмерчук - 9;\\ 
-Владимир Дорофеев - 6;\\ +Владислав Франк - 9;\\ 
-Александр Домашенко 5;\\ +Константин Шамсутдинов - 9;\\ 
-Константин Шамсутдинов - 5;\\ +Владимир Дорофеев - 8;\\ 
-Мераб Левиашвили - 5;\\ +Анна Букина 7;\\ 
-Владислав Франк - 5;\\ +Мераб Левиашвили ​7;\\ 
-Валентина Колыбасова 5;\\ +Валентин Пивоваров - 6;\\ 
-Антон Никонов 5;\\ +Александр Домашенко - 6;\\ 
-Анна Букина - 5;\\ +waxter - 6;\\ 
-Валентин Пивоваров - 5;\\ +Виктор Филимоненков - 5.
-Виктор Филимоненков - 4.+
  
-**Эстетическая оценка задачи - 4.балла**+**Эстетическая оценка задачи - 4.балла**
 ---- ----
  
-===== ММ241 ===== 
  
-**Конкурсная задача ​ММ241** (4 балла)+===== ММ246 =====
  
-При каких ​натуральных n множество {1, 2, …, n} можно разбить на два подмножества так, что произведение ​элементов первого подмножества равно ​сумме элементов второго?+**Конкурсная задача ММ246** (7 баллов) 
 + 
 + 
 +Сколько (с точностью до подобия) существует разносторонних треугольниковразрезаемых на два равнобедренных более ​чем одним способом?
  
 **Решение** **Решение**
  
-Привожу решения {{:​marathon:​domashenko_mm241.docx|Александра Домашенко}} и {{:​marathon:​ariadna_mm241.pdf|Валентины Колыбасовой}}.+Привожу решения {{:​marathon:​shamsutdinov_mm246.docx|Константина Шамсутдинова}}, {{:​marathon:​fiviol_мм246.docx|Виктора Филимоненкова}} и {{:​marathon:​mm246.pdf|авторское}}. 
  
-**Обсуждение**+**Обсуждение** ​
  
-На первую ​задачу юбилейного Марафонского конкурса поступило 10 решений. +ММ246 оказалась трудным орешком. Половина ​конкурсантов ​потеряли нужные (нашли лишниетреугольники. 
-Радует появление сразу троих новых участников. Огорчает исчезновение примерно такого же числа ​участников предыдущего конкурса. Призываю их подключиться к конкурсу со следующей задачи.+Особенно ​странным оказалось именно приобретение лишних решений. Ведь, ​в отличие от потери ​нужных, эта ошибка легко проверяется. 
 +Правда, ​за один (наиболее удививший меня) лишний треугольник я не стал штрафовать нашедшего его участника. Речь идет ​о прямоугольном равнобедренном треугольнике, который, в силу своей равнобедренности,​ в ответ включен не был, но в остальном, по мнению приведшего его ​участника, удовлетворял ​условию (?!).
  
-Задача ММ241 не вызвала затруднений у большинства конкурсантов.  +Кстати, требование разносторонности ​треугольника попало ​в условие только на основании того, что ​я так и не смог решить считать линапримербиссектрисы углов при основании треугольника с углами 3672, 72 градуса разными ​разрезами.
-Но был один момент, вызвавший ​разногласия участников. Он касается ​разрешимости задачи для значений n=1 и n=3. +
-Участники разделись на 3 категории:\\  +
-первые онстантин Шамсутдинов ​и Владислав Франк) считают, что ​задача разрешима для каждого из этих n;\\ +
-вторые (их большинство) полагают, что задача разрешима для n=3но не для n=1;\\ +
-наконец Александр Домашенко придерживается мнениячто задача не разрешима для обоих упомянутых n.+
  
-Александр ​не проаргументировал свое мнение, что ​постановка ​задачи имеет смысл, начиная ​с n=4. Полагаю, он отталкивался от бинарности операций сложения и умножения. +Мне представляется, что задача становится ​проще, а перебор прозрачнееесли сразу договориться об упорядочивании углов исходного треугольника.  
-Аргументы Владислава и Константина - произведение элементов пустого множества ​равно 1, поэтому для n=1 можно поместить ​1 в первое подмножество, а во второе не помещать ничего+К моему удивлению этим путем пошли менее половины участников. Тем не менее, некоторые из тех, ​кто не упорядочивал углы ​исходного ​треугольника, добрались до верного ответа ;-)
-Я согласен с аргументом про произведение элементов ​пустого ​множества,​ но... В формулировке идет речь о разбиении. А в разбиении по определению ​участвуют только непустые подмножества. +
-Поэтому (а вовсе не из конформизма) я склонен присоединиться к большинству. Но при этом не снижал ​баллы тем, кто придерживается альтернативных мнений.+
  
-Дополнительные баллы начислены за успешный поиск разбиений,​ не попадающих под общее описание (упоминание наличия таких разбиений и прведение единичного примера ​не учитывались). +Любопытно, что в ответ пошло два треугольника, где требуемые разрезы выходят из разных вершини один с разрезами,исходящими из одной вершины.
-Мераб Левиашвили предложил несколько простых вариаций на тему задачи. Уточняю ​для него ​и других новичков Марафона,​ что дополнительными баллами такие предложения оцениваются при условии, что они содержат какие-то продвижения в указанных направлениях (ну, или если покажутся ведущему неожиданными и очень красивыми)+
  
-Напоминаю как новичкамтак и некоторым забывчивым ​старожилам, ​что ​я жду ​от вас эстетических оценок предлагаемых задач.+К вопросу о красоте. \\ 
 +ММ246, с моей точки зрения,​ одна из лучших в текущем ​конкурсе. Но с этим мнением согласны не все. Что ж, как говорится, о вкусах ​не спорят.\\ 
 +Спорить не буду, но попробую проаргументировать свои предпочтения.\\ 
 +Часто наличие нескольких,​ а не одного ​решения - безусловный минус задачи. Так было бы, напримерс ММ244. И я был бы согласен с теми, кто поставил мне в вину наличие нескольких ​решений,​ если бы решений на самом деле было больше одного. 
 +Но для ММ246 наличие трех решений ​кажется украшением,​ а не дефектом задачи. Ведь они - принципиально разные
 +Например, ​два равнобедренных треугольника с углами 36, 72, 72 (градусов) и 36, 36, 108 (градусов) - разные, но не принципиально. Каждый из них возникает при разрезании ​другого на два равнобедренных. 
 +А для разносторонних,​ попавших в ответ это не так. 
 +Ну и треугольник с наименьшим углом п/13, IMHO, сам по себе красив в качестве ответа.\\ 
 +Свою позицию я прояснил. Готов выслушать аргументы противоположного толка.
  
 **Награды** **Награды**
  
-За решение задачи ММ241 участники Марафона получают следующие призовые баллы:​\\  +За решение задачи ММ246 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ 
-Александр Домашенко - 6;\\ +Александр Домашенко - 7;\\ 
-Константин Шамсутдинов - 5;\\ +Анатолий Казмерчук - 7;\\ 
-Анатолий Казмерчук - 4;\\ +Константин Шамсутдинов - 7;\\ 
-Мераб Левиашвили - 4;\\ +Мераб Левиашвили - 7;\\ 
-Виктор Филимоненков - 4;\\ +Виктор Филимоненков - 7;\\ 
-Владислав ​Франк 4;\\ +Валентина Колыбасова - 5;\\ 
-Валентина ​Колыбасова - 4;\\ +Валентин ​Пивоваров - 5;\\ 
-Антон Никонов 4;\\ +Владислав Франк 5;\\ 
-Владимир Дорофеев - 4;\\ +Анна Букина 5;\\ 
-Анна Букина - 2.+Владимир Дорофеев - 4.\\ 
 + 
 +**Эстетическая оценка задачи ​4.7 балла** 
 +---- 
  
-**Эстетическая оценка задачи - 4.5 балла** 
 ---- ----
  
  
 ~~NOTOC~~ ~~NOTOC~~
 

 


Страница: [[marathon:about]]

marathon/about.1571453541.txt · Последние изменения: 2019/10/19 05:52 — letsko
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006