marathon:about [2019/11/29 20:26] letsko [ММ249] |
marathon:about [2021/06/17 17:02] (текущий) letsko [Текущие задачи] |
| |
---- | ---- |
| **Завершен XXVII конкурс вамках Математического марафона** |
| |
| **Мои поздравления победителю конкурса, Мерабу Левиашвили, призерам, Анатолию Казмерчуку и Олегу Полубасову, а также всем тем, кто составил им достойную конкуренцию** |
| |
Завершается **XXV юбилейный конкурс в рамках Математического марафона!** | |
| |
Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания, выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными, а другие - не очень. На вкус и на цвет... | Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания, выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными, а другие - не очень. На вкус и на цвет... |
| |
Но если любите поломать голову над нестандартными задачами, участвуйте, не стесняйтесь. | Но если вы любите поломать голову над нестандартными задачами, участвуйте, не стесняйтесь. |
| |
Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас. | Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас. |
| |
Не забывайте, пожалуйста, присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале. | Не забывайте, пожалуйста, присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале. |
---- | |
| |
Ведущий Марафона | Ведущий Марафона |
--- //[[val-etc@yandex.ru|Vladimir letsko]]// | --- //[[val-etc@yandex.ru|Vladimir letsko]]// |
| |
| [[Afterword XXVII |Послесловие к XXVII конкурсу]] |
| |
| ---- |
| |
| |
====== Текущие задачи ====== | ====== Текущие задачи ====== |
| ---- |
| **На данный момент отсутствуют.** |
---- | ---- |
| |
| |
===== ММ250 ===== | |
| |
**Конкурсная задача ММ250** (14 баллов) | |
Решения принимаются до __29.11.2019__ | |
| |
Найти наименьшее возможное количество ребер выпуклого многогранника, у которого сумма длин ребер равна сумме длин диагоналей. | |
| |
---- | |
| |
====== Разбор задач ====== | ====== Разбор задач ====== |
---- | ---- |
===== ММ249 ===== | ===== |
| Вектором граней выпуклого многогранника P назовем набор [f<sub>3</sub>, f<sub>4</sub>, …, f<sub>s</sub>], где f<sub>i</sub> – количество i-угольных граней P, а s - наибольшее число сторон грани. Будем говорить, что P относится к классу m, если max(f<sub>i</sub>) = m. |
**Конкурсная задача ММ249** (10 баллов) | |
| |
Пусть k – натуральное число и a – некоторая перестановка 2020-элементного множества. Может ли уравнение x<sup>k</sup>=a иметь ровно 2020 решений? | |
| |
**Решение** | |
| |
Привожу решения {{:marathon:мм249-решение-м.л.docx|Мераба Левиашвили}}, {{:marathon:shamsutdinov_mm249.docx|Константина Шамсутдинова}} и {{:marathon:kazmerchuk_mm_249.docx|Анатолия Казмерчука}}. | |
| |
**Обсуждение** | |
| |
Как обычно, (и как это бывает в настоящем марафоне к концу дистанции) к последним задачам ряды марафонцев поредели. Впрочем, не столь катастрофически, как это бывало в предыдущих конкурсах. | |
В то же время, неожиданно обострилась борьба в лидирующей группе. К середине конкурса казалось очевидным, что лидеру, Анатолию Казмерчуку, может составить конкуренцию только Константин Шамсутдинов. Однако, на финише мощно спуртует Мераб Левиашвили, который уже настиг Константина и приблизился к Анатолию. И это при том, что ни Константин, ни Анатолий темп не снижали. | |
| |
Честно признаюсь, что я не вник во все детали решения Мераба, в котором только перечисление принятых условных обозначений занимает 2 страницы (а формулы набраны текстом :-()). Думаю, рискнувшие заглянуть в его решение, меня поймут. | |
Впрочем, и того, в чем удалось разобраться хватило для самой высокой оценки за ММ249. | |
| |
Как и ожидалось, большинство конкурсантов не ограничились одним подходящим примером. Дополнительные примеры принесли дополнительные баллы (иногда отрицательные). | |
Но разнообразие сводилось лишь к виду перестановки a. А с показателем степени никто, кроме Мераба, особо не заморачивался. Хватило двойки. | |
| |
**Награды** | |
| |
За решение задачи ММ249 участники Марафона получают следующие призовые баллы:\\ | |
Мераб Левиашвили - 15;\\ | |
Константин Шамсутдинов - 12;\\ | |
Анатолий Казмерчук - 12;\\ | |
Виктор Филимоненков - 10;\\ | |
vpb - 10;\\ | |
Владислав Франк - 9. | |
| |
**Эстетическая оценка задачи - 4.7 баллов ** | |
---- | ---- |
| |
===== ММ248 ===== | |
| |
**Конкурсная задача ММ248** (8 баллов) | **Конкурсная задача ММ270** (16 баллов) |
| |
Найти наименьшее натуральное k такое, что во множестве {(τ(kn))/(τ(n))|n ∈ N} ровно 13 целых чисел. | Найти наибольшее возможное количество граней многогранника класса m. |
| |
**Решение** | **Решение** |
| |
Привожу решения {{:marathon:frank_248.pdf|Владислава Франка}}, {{:marathon:merab-мм248.docx|Мераба Левиашвили}} и {{:marathon:fiviol_мм248.docx|Виктора Филимоненкова}}. | Привожу решения призеров конкурса, {{:marathon:mm_270_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}} и {{:marathon:kazmerchuk_mm_270.pdf|Анатолия Казмерчука}}, а также обобщение задачи победителя конкурса {{:marathon:обобщение-мм270.docx|Мераба Левиашвили}} . |
(Решение Анатолия Казмерчука, как всегда, не только верно, но и замечательно оформлено, но надо же знакомить публику и новыми лицами Марафона. Впрочем, новому участнику среди приведенных решений принадлежит только одно.) | |
| |
**Обсуждение** | **Обсуждение** |
| |
ММ248 далась не всем конкурсантам. | В отличие от ММ269, где вопрос задачи был сформулирован для частных значений m, а обобщали его сами конкурсанты, в ММ270 сразу же был сформулирован общий вопрос. Объясняется это просто. В ММ269 ответа на общий вопрос ведущий на момент опубликования задачи не знал (и даже склонялся, но, к счастью не "доказал" неверный ответ). А для ММ270 у меня был верный обоснованный ответ. |
Доказательство того факта, что при любом натуральном k существует бесконечно много значений n, для которых рассматриваемая дробь будет целым числом, разумеется, не означает, таких целых чисел для каждого k будет бесконечно много. Но сам факт, что такая подмена понятий случилась не однажды - свидетельство объективной трудности задачи. | |
Поэтому, на всякий случай, еще раз - во множестве {2, 2, 2,...} ровно один элемент - двойка! | |
Ответ, превышающий правильный в неприлично большое (1230 десятичных знаков) количество раз тоже был оценен невысоко. | |
В остальном, все решения идейно были близки (но при этом почему-то многократно отличались по размерам). | |
| |
К моему удивлению, лишь двое участников обратили внимание на тот очевидный факт, что на месте 13 в условии могло быть любое другое число. | Эта ситуация выбила почву из под ног большинства любителей обобщений. Да, практически все, решившие ММ270, нашли заодно и наибольшие количества вершин и ребер m-многогранников. Но ответы на эти вопросы становятся очевидны при успешном решении основной задачи. Единственным, кто изыскал возможности пообобщать стал Мераб Левиашвили. Он перешел от рассмотрения многогранников к рассмотрению простых (каждая вершина имеет степень n) политопов размерностей, больших 3. У таких политопов существуют грани разных размерностей. Соответственно можно рассматривать разные аналоги m-многогранников. Мераб остановился на случае двумерных граней. На основании известных соотношений Дена-Соммервиля он получил наименьшие значения m, для которых существуют n-мерные политопы класса m и верхние оценки для числа граней таких политопов для n \in {4, 5}, а также некоторые оценки для n \in {6, 7, 8}. Я привожу только обобщение задачи (присланное Мерабом отдельным документом), в том числе, и по причине слишком большого веса основного решения. |
(Хотя нельзя исключить, что это ведущий проморгал это наблюдение в дебрях длинных решений.) | |
| |
**Награды** | Во всех присланных решениях имеется содержится ответ 7m-4 для больших значений m. Разнятся эти решения степенью гипотетичности и обоснованности данного ответа, а также количеством частных значений m, подтверждающих данную гипотезу (это касается решений, где 7m-4 именно гипотеза). |
| |
За решение задачи ММ248 участники Марафона получают следующие призовые баллы: | |
Владислав Франк - 9; | |
vpb - 9; | |
Анатолий Казмерчук - 8; | |
Константин Шамсутдинов - 8; | |
Виктор Филимоненков - 8; | |
Мераб Левиашвили - 8; | |
Александр Домашенко - 3; | |
Владимир Дорофеев - 1; | |
Анна Букина - 1. | |
| |
**Эстетическая оценка задачи - 5 баллов ** | **Награды** |
---- | |
| |
===== ММ247 ===== | За решение задачи ММ270 участники Марафона получают следующие призовые баллы:\\ |
| Мераб Левиашвили - 18;\\ |
| Олег Полубасов - 16;\\ |
| Анатолий Казмерчук - 16;\\ |
| Александр Романов - 16;\\ |
| Константин Шамсутдинов - 10;\\ |
| Виктор Филимоненков - 10;\\ |
| Денис Овчинников - 8.\\ |
| |
**Конкурсная задача ММ247** (7 баллов) | Эстетическая оценка задачи - 4.8 балла |
| |
| |
Пусть k – фиксированное натуральное число. Для натуральных n определим функцию f<sub>k</sub>(n)=lcm(n, n+1,..., n+k-1)/lcm(n+1, n+2,..., n+k)} | |
Найти наименьшие значения f<sub>5</sub>(n) и f<sub>9</sub>(n). | |
| |
**Решение** | |
| |
Привожу решения {{:marathon:kazmerchuk_mm_247.docx|Анатолия Казмерчука}} и {{:marathon:bukina_mm247_.pdf|Анны Букиной}}. | |
| |
**Обсуждение** | |
| |
ММ247 - обещанное продолжение ММ238. | |
Большинство конкурсантов (ряды коих к финишу традиционно начали потихоньку редеть) справились с задачей. | |
Некоторые изъятия баллов связаны с недостаточной обоснованностью ответа, ошибкой в арифметике и загадочное утверждение о простоте числа 289 (я специально подбирал, чтобы второй ответ был квадратом первого и, надо же - простое?!) | |
Поощрения сделаны за некоторые обобщения.\\ | |
Хотя я рассчитывал (и намекал на это при обсуждении ММ238), что участники не ограничатся заменой чисел 5 и 9 на произвольное k. | |
Ограничились :-(\\ | |
Тогда сам сформулирую интересные (на мой взгляд вопросы):\\ | |
Сколько целых значений принимает f<sub>k</sub>(n) и какие целые числа могут быть этими значениями? (Целые значения f<sub>5</sub>(n) - 1,5,7,11. Но напрашивающаяся гипотеза о ф(sup(f<sub>k</sub>(n))) целых значениях f<sub>k</sub>(n) не подтвердилась)\\ | |
Ясно, что каждое свое значение f<sub>k</sub>(n) принимает конечное число раз. Можно ли, зная k без прямого перебора указать какое(какие) это будет значение и сколько раз оно достигается? | |
| |
**Награды** | |
| |
За решение задачи ММ247 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ | |
Анатолий Казмерчук - 9;\\ | |
Владислав Франк - 9;\\ | |
Константин Шамсутдинов - 9;\\ | |
Владимир Дорофеев - 8;\\ | |
Анна Букина - 7;\\ | |
Мераб Левиашвили - 7;\\ | |
Валентин Пивоваров - 6;\\ | |
Александр Домашенко - 6;\\ | |
waxter - 6;\\ | |
Виктор Филимоненков - 5. | |
| |
**Эстетическая оценка задачи - 4.6 балла** | |
---- | ---- |
| |
| |
===== ММ246 ===== | ===== ММ269 ===== |
| |
**Конкурсная задача ММ246** (7 баллов) | **Конкурсная задача ММ269** (11 баллов) |
| |
| Какова максимальная возможная степень вершины выпуклого многогранника\\ |
Сколько (с точностью до подобия) существует разносторонних треугольников, разрезаемых на два равнобедренных более чем одним способом? | a) класса 3;\\ |
| b) класса 4? |
| |
**Решение** | **Решение** |
| |
Привожу решения {{:marathon:shamsutdinov_mm246.docx|Константина Шамсутдинова}}, {{:marathon:fiviol_мм246.docx|Виктора Филимоненкова}} и {{:marathon:mm246.pdf|авторское}}. | Привожу решения {{:marathon:mm269_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}}, {{:marathon:kazmerchuk_mm_269.pdf|Анатолия Казмерчука}} и {{:marathon:shamsutdinov_mm269.docx|Константина Шамсутдинова}}. |
| |
**Обсуждение** | **Обсуждение** |
| |
ММ246 оказалась трудным орешком. Половина конкурсантов потеряли нужные (нашли лишние) треугольники. | Согласно традициям Марафона последние задачи каждого конкурса имеют повышенную сложность. Эта традиция сохранилась и в данном конкурсе. |
Особенно странным оказалось именно приобретение лишних решений. Ведь, в отличие от потери нужных, эта ошибка легко проверяется. | Результатом этого усложнения чаще всего был отток значительной части конкурсантов. А эта традиция неожиданно была нарушена! Из тех, кто регулярно участвовал в нынешнем конкурсе, не прислали решения ММ269 всего два человека. А остальные порадовали, но не пощадили ведущего :-) Впрочем, после моей мольбы, все же сжалились, сократив самое длинное из решений на 40(!) страниц. |
Правда, за один (наиболее удививший меня) лишний треугольник я не стал штрафовать нашедшего его участника. Речь идет о прямоугольном равнобедренном треугольнике, который, в силу своей равнобедренности, в ответ включен не был, но в остальном, по мнению приведшего его участника, удовлетворял условию (?!). | |
| |
Кстати, требование разносторонности треугольника попало в условие только на основании того, что я так и не смог решить считать ли, например, биссектрисы углов при основании треугольника с углами 36, 72, 72 градуса разными разрезами. | |
| |
Мне представляется, что задача становится проще, а перебор прозрачнее, если сразу договориться об упорядочивании углов исходного треугольника. | |
К моему удивлению этим путем пошли менее половины участников. Тем не менее, некоторые из тех, кто не упорядочивал углы исходного треугольника, добрались до верного ответа ;-) | |
| |
Любопытно, что в ответ пошло два треугольника, где требуемые разрезы выходят из разных вершин, и один с разрезами,исходящими из одной вершины. | |
| |
К вопросу о красоте. \\ | Разумеется, основные страсти кипели вокруг обобщения задачи, очевидного по постановке вопроса. Но только по постановке. Да-да, ответ 3m-3 не годится! |
ММ246, с моей точки зрения, одна из лучших в текущем конкурсе. Но с этим мнением согласны не все. Что ж, как говорится, о вкусах не спорят.\\ | В какой-то момент у меня имелось три решения, в которых приводилась и обосновывалась точная формула для максимальной возможной степени вершины m-многогранника. Точнее, три разных формулы, дающих разные ответы :-)\\ |
Спорить не буду, но попробую проаргументировать свои предпочтения.\\ | Понимая, что ситуация, когда "Вася и Петя оба правы", маловероятна, ведущий был вынужден углубиться в многостраничные трактаты, воспользовавшись удачно подвернувшейся просьбой продлить срок приема решений. Дополнительное время не пропало даром. И ведущий и конкурсанты обнаружили некоторые ошибки и неточности в решениях. Во всех, кроме одного, в котором ошибок найти не удалось (или, все же, пока не удалось?). Желающие могут попробовать определить это решение из приводимого ниже списка начисленных призовых баллов (а также попытаться найти ошибки и в этом решении). |
Часто наличие нескольких, а не одного решения - безусловный минус задачи. Так было бы, например, с ММ244. И я был бы согласен с теми, кто поставил мне в вину наличие нескольких решений, если бы решений на самом деле было больше одного. | |
Но для ММ246 наличие трех решений кажется украшением, а не дефектом задачи. Ведь они - принципиально разные. | |
Например, два равнобедренных треугольника с углами 36, 72, 72 (градусов) и 36, 36, 108 (градусов) - разные, но не принципиально. Каждый из них возникает при разрезании другого на два равнобедренных. | |
А для разносторонних, попавших в ответ это не так. | |
Ну и треугольник с наименьшим углом п/13, IMHO, сам по себе красив в качестве ответа.\\ | |
Свою позицию я прояснил. Готов выслушать аргументы противоположного толка. | |
| |
**Награды** | **Награды** |
| |
За решение задачи ММ246 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ | За решение задачи ММ269 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ |
Александр Домашенко - 7;\\ | Олег Полубасов - 18;\\ |
Анатолий Казмерчук - 7;\\ | Мераб Левиашвили - 16;\\ |
Константин Шамсутдинов - 7;\\ | Анатолий Казмерчук - 13;\\ |
Мераб Левиашвили - 7;\\ | Константин Шамсутдинов - 13;\\ |
Виктор Филимоненков - 7;\\ | Василий Дзюбенко - 11;\\ |
Валентина Колыбасова - 5;\\ | Александр Романов - 11;\\ |
Валентин Пивоваров - 5;\\ | Виктор Филимоненков - 11;\\ |
Владислав Франк - 5;\\ | Денис Овчинников - 7. |
Анна Букина - 5;\\ | |
Владимир Дорофеев - 4.\\ | |
| |
**Эстетическая оценка задачи - 4.7 балла** | **Эстетическая оценка задачи - 4.7 балла** |
---- | ---- |
| |
===== ММ245 ===== | |
| |
**Конкурсная задача ММ245** (5 баллов) | ===== ММ268 ===== |
| |
В остроугольном треугольнике ABC провели высоту BH. | **Конкурсная задача ММ268** (9 баллов) |
Найти отношение площадей треугольников ABH и CBH, если первый из них подобен треугольнику из своих медиан, а второй – треугольнику из своих высот. | |
| |
**Решение** | Назовем натуральное число m допустимым, если существует такое n, что из чисел 1,2,…,n можно составить сумму произведений, в которой каждое число встречается ровно один раз, равную m. Сколько существует недопустимых чисел? |
| |
Привожу решения {{:marathon:kazmerchuk_mm_245.docx|Анатолия Казмерчука}}, {{:marathon:ariadna_mm245.pdf|Валентины Колыбасовой}} (оба, как обычно, подробные, с чертежами) и {{:marathon:fiviol_мм25.docx|Виктора Филимоненкова}} (как обычно, краткое, хотя и не самое краткое). | Примечание: в суммах произведений допускаются одиночные слагаемые. Например, число 148 допустимо, поскольку 148=1·3 + 2·5·8 + 4 + 6·9 + 7. |
| |
**Обсуждение** | |
| |
ММ245 не вызвала больших затруднений у участников. Изъятые баллы - следствие, скорее, недостаточной аккуратности. | |
Хотя у меня были сомнения, стоит ли вообще изымать баллы. Ведь в условии сказано просто "найти отношение площадей", а не "найти отношение площади первого к площади второго". | |
| |
Дополнительный балл добавлен за переформулировку задачи таким образом, чтобы ответ стал единственным. | |
У меня тоже возникало желание добиться единственности ответа. Но я не стал делать этого, решив отловить тех, кто потеряет один ответ. Капкан не сработал. | |
| |
**Награды** | |
| |
За решение задачи ММ245 участники Марафона получают следующие призовые баллы:\\ | [[problem 268|Решение задачи ММ268]] |
Александр Домашенко - 6;\\ | |
Анатолий Казмерчук - 5;\\ | |
Константин Шамсутдинов - 5;\\ | |
Мераб Левиашвили - 5;\\ | |
Виктор Филимоненков - 5;\\ | |
Анна Букина - 5;\\ | |
Валентина Колыбасова - 5;\\ | |
Владимир Дорофеев - 5;\\ | |
Владислав Франк - 4;\\ | |
Валентин Пивоваров - 4. | |
| |
**Эстетическая оценка задачи - 4.3 балла** | |
---- | ---- |
| |
===== ММ244 ===== | |
| |
**Конкурсная задача ММ244** (6 баллов) | |
| |
Галя предложила Ане, Боре и Васе такую загадку:\\ | ===== ММ267 ===== |
- Я задумала три попарно различных ненулевых цифры. Сейчас я по секрету сообщу Ане сумму квадратов, Боре произведение, а Варе сумму задуманных цифр. Попробуйте отгадать эти цифры. | |
Узнав сумму квадратов произведение и сумму, Аня, Боря и Вася сначала задумались, а затем разговорились: \\ | |
А: Я не могу определить, что это за цифры.\\ | |
Б: И я не могу.\\ | |
В: И я тоже.\\ | |
A: Тогда я их знаю!\\ | |
Б: После этой реплики и я их знаю.\\ | |
Что это за тройка цифр? \\ | |
Примечание: У Ани, Бори и Васи все хорошо с арифметикой и логикой. | |
| |
**Решение** | **Конкурсная задача ММ267** (7 баллов) |
| |
Привожу решения {{:marathon:kazmerchuk_mm_244.docx|Анатолия Казмерчука}} и {{:marathon:shamsutdinov_mm244.docx|Константина Шамсутдинова}}. | Вася и Петя поспорили. Вася уверен, что среди представлений натурального числа n в виде суммы натуральных слагаемых чаще встречаются те, у которых каждое слагаемое присутствует не более двух раз, чем те, у которых все слагаемые не кратны 3. Петя уверен в обратном. Кто из них прав? |
| |
**Обсуждение** | [[problem 267|Решение задачи ММ267]] |
| |
ММ244 оказалась первой задачей юбилейного конкурса, вызвавшей серьезные затруднения у участников. В отличие от большинства трудных задач из предыдущих конкурсов, затруднения не остановили конкурсантов и они прислали решения. | ---- |
Тем самым, трудности возникли уже у ведущего:\\ | |
найти ошибку в длинном правдоподобном решении;\\ | |
разобраться в программе, написанной на неизвестном языке, и присланной вместо решения;\\ | |
как оценивать логическую ошибку при верной арифметике;\\ | |
как оценивать арифметическую ошибку при верной логике, не повлиявшую на ответ;\\ | |
как оценивать арифметическую ошибку при верной логике, повлиявшую на ответ;\\ | |
наконец, как оценить верный ответ при отсутствии решения. | |
| |
Отмечу, что перечисленные ситуации (наряду с тему, которые не вызвали вопросов) встречаются в присланных решениях. | ===== ММ266 ===== |
| |
Наиболее коварный момент в задаче - второе заявление Бори. | **Конкурсная задача ММ266** (7 баллов) |
Сразу несколько конкурсантов проигнорировали начало этого заявления... и получили лишние решения. Меня удивило, что это их не удивило (иначе они бы перепроверили свои рассуждения). | |
| |
Представленные ниже призовые баллы - плод моих мучительных раздумий и рандомных порывов. Так что, не судите строго (как старался делать и я). | Вася Пупкин выписал дни рождения семерых своих однокурсников, родившихся в январе одного и того же года, что и Вася, и, поэкспериментировав с выписанными числами, заметил два факта:\\ |
| 1) τ(n<sup>3</sup> )=τ(n)<sup>2</sup>, где n – произведение всех выписанных чисел;\\ |
| 2) сумма кубов составных чисел больше суммы кубов остальных\\. |
| Найдите дни рождения Васиных товарищей, если известно, что все они младше Васи. |
| |
На [[https://www.facebook.com/groups/mathpuz/1378859588956546/?comment_id=1378879308954574&reply_comment_id=1379017442274094¬if_id=1569669688346425¬if_t=group_comment_mention|FB]] можно найти несколько разновидностей ММ244, предложенных Константином Кнопом. Там же есть решение Олега Полубасова (ушедшего в марафонское подполье). | Примечание: при сравнении возрастов учитываются дни, но не часы рождения. |
| |
**Награды** | |
| |
За решение задачи ММ244 участники Марафона получают следующие призовые баллы:\\ | [[problem 266|Решение задачи ММ266]] |
Анатолий Казмерчук - 7;\\ | |
Константин Шамсутдинов - 6;\\ | |
Мераб Левиашвили - 6;\\ | |
Владислав Франк - 6;\\ | |
Виктор Филимоненков - 5;\\ | |
Анна Букина - 4;\\ | |
Валентин Пивоваров - 4;\\ | |
Валентина Колыбасова - 3;\\ | |
Антон Никонов - 3;\\ | |
Александр Домашенко - 3;\\ | |
Лев Песин - 3. | |
| |
**Эстетическая оценка задачи - 4.4 балла** | |
---- | ---- |
| |
| ===== ММ265 ===== |
| |
===== ММ243 ===== | **Конкурсная задача ММ265** (5 баллов) |
| |
**Конкурсная задача ММ243** (5 баллов)⊥ | Разрезать правильный треугольник на наименьшее возможное количество прямоугольных треугольников так, чтобы никакие два из возникших треугольников не были подобны. |
| |
| [[problem 265|Решение задачи ММ265]] |
| |
В треугольнике ABC a<b<c и a⋅l<sub>a</sub>=c⋅l<sub>c</sub> Найти угол β. | ---- |
| |
**Решение** | ===== ММ264 ===== |
| |
Привожу решения {{:marathon:kazmerchuk_mm_243.docx|Анатолия Казмерчука}}, {{:marathon:ariadna_mm243.pdf|Валентины Колыбасовой}} и {{:marathon:bukina_mm243.pdf|Анны Букиной}} (только они не поленились сделать чертежи). | **Конкурсная задача ММ264** (4 балла) |
| |
Еще одно решение ({{:marathon:fiviol_мм243.docx|Виктора Филимоненкова}}) - пример одного из наиболее кратких решений | Назовем пару натуральных чисел a и b аддитивной, если τ(a+b)=τ(a)+τ(b),σ(a+b)=σ(a)+σ(b) и φ(a+b)=φ(a)+φ(b). |
| Доказать, что существует бесконечно много аддитивных пар.\\ |
| |
**Обсуждение** | (τ(n), σ(n), φ(n) - количество натуральных делителей, сумма натуральных делителей и функция Эйлера соответственно.) |
| |
Задача не вызвала затруднений у конкурсантов. | |
Зато присланные решения довольно разннобразны. \\ | |
Тем самым, они оправдали ожидания ведущего, получившего данный результат в качестве побочного продукта при решении более сложной задачи. | |
Соответственно, и решение ММ243 получилось весьма громоздким. Искать более простые решения ведущий не стал (хотя подозревал, что они есть), доверив это участникам Марафона. | |
| |
**Награды** | |
| |
За решение задачи ММ243 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ | [[problem 264|Решение задачи ММ264]] |
Анатолий Казмерчук - 6;\\ | |
Александр Домашенко - 5;\\ | |
Константин Шамсутдинов - 5;\\ | |
Мераб Левиашвили - 5;\\ | |
Владислав Франк - 5;\\ | |
Валентина Колыбасова - 5;\\ | |
Анна Букина - 5;\\ | |
Валентин Пивоваров - 5;\\ | |
Виктор Филимоненков - 5;\\ | |
Антон Никонов - 3. | |
| |
**Эстетическая оценка задачи - 4.4 балла** | |
---- | ---- |
| |
| ===== ММ263 ===== |
| **Конкурсная задача ММ263** (4 балла) |
| |
===== ММ242 ===== | Сколько решений может иметь уравнение [3x]{x} – [x]{3x} = c, в зависимости от значения параметра c?\\ |
| |
**Конкурсная задача ММ242** (5 баллов) | ([x] и {x} означают соответственно целую часть (пол) и дробную часть числа x.) |
| |
На сайте проводится опрос, кого из m номинированных футболистов посетители сайта считают лучшим по итогам сезона. Каждый посетитель голосует один раз за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого футболиста - доля голосов, отданных за него, в процентах, округленных до целого числа. После того, как проголосовали n посетителей, суммарный рейтинг номинантов составил 95%.\\ | [[problem 263|Решение задачи ММ263]] |
a) При каком наименьшем m такое возможно?\\ | |
b) При каком наименьшем n такое возможно?\\ | |
c) При каком наименьшем m+n такое возможно? | |
| |
**Решение** | ---- |
| |
Привожу решения {{:marathon:kazmerchuk_mm_242.docx|Анатолия Казмерчука}} и {{:marathon:ariadna_mm242.pdf|Валентины Колыбасовой}}. | |
| |
**Обсуждение** | ===== ММ262 ===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ262** (3 балла) |
| |
Судьбу задачи ММ242 решал ответ на 3-й вопрос. Придумав условие, я сразу для себя решил, что если в наименьшем m+n не будут участвовать ни наименьшее m, ни наименьшее n, то задача будет достаточно интересна, а в противном случае - скучна. О том, что можно будет заменить в условии число 95 (взятое от фонаря) я в тот момент почему-то не думал. | Разносторонний треугольник назовем прогрессивным, если длины его сторон образуют арифметическую прогрессию. |
| Доказать, что треугольник прогрессивен тогда и только тогда, когда прямая, проходящая через точку Нагеля и центр Шпикера, параллельна средней стороне. |
| |
Я был уверен, что наиболее сложен пункт c, и ожидал ошибок именно там. К чести конкурсантов с этим пунктом справились все. Но одному из участников неожиданно не покорился пункт b. Еще более неожиданной для меня были две попытки дать неверный ответ к пункту a, в связи с альтернативной трактовкой термина "округление". Мудрые составители ЕГЭ-шной задачи (коей навеяна ММ242) дали полное определение правил округления прямо в условии, а я был уверен, что у конкурсантов с этим проблем не будет... | Примечание: тривиальное решение (недаром цена задачи всего 3 балла) на ЕГЭ бы не приняли, но у нас, слава Богу, не ЕГЭ :-) |
| |
Любопытны примеры, приведенные участниками в подтверждение ответа 11 к пункту a. В них встретились следующие значения n:\\ | [[problem 262|Решение задачи ММ262]] |
29 - 3 раза;\\ | |
31 - 2 раза;\\ | |
67 - 1 раз;\\ | |
73 - 1 раз;\\ | |
201 - 2 раза;\\ | |
10000 - 2 рвза. | |
| |
Я не стал штрафовать участников ни за неверное утверждение, что минимальное n, при котором достигается m = 11, равно 31 (ведь в задаче про это не спрашивалось), ни за краткость в обоснованиях, полагая, что ссылка на перебор, с правильным указанием границ перебора является (при наличии верного ответа) достаточным обоснованием. | |
| |
Я ожидал достаточно массового упоминания того факта, что суммарный рейтинг может быть любым целым числом в пределах от 0 (например, каждый из 201 номинантов получил по 1 голосу) до 200 (например, каждый из 200 номинантов получил по 1 голосу). Однако данное утверждение обнаружилось лишь в одной работе и было поощрено дополнительным баллом. | |
| |
**Награды** | |
| |
За решение задачи ММ242 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ | |
Анатолий Казмерчук - 6;\\ | |
Владимир Дорофеев - 6;\\ | |
Александр Домашенко - 5;\\ | |
Константин Шамсутдинов - 5;\\ | |
Мераб Левиашвили - 5;\\ | |
Владислав Франк - 5;\\ | |
Валентина Колыбасова - 5;\\ | |
Антон Никонов - 5;\\ | |
Анна Букина - 5;\\ | |
Валентин Пивоваров - 5;\\ | |
Виктор Филимоненков - 4. | |
| |
**Эстетическая оценка задачи - 4.5 балла** | |
---- | ---- |
| ===== ММ261 ===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ261** (4 балла) |
| |
===== ММ241 ===== | Натуральные числа 1, 2, 3, ..., 100 разбили на 10 групп по 10 чисел. Найти наибольшую возможную сумму НОД этих десяток. |
| |
**Конкурсная задача ММ241** (4 балла) | |
| |
При каких натуральных n множество {1, 2, …, n} можно разбить на два подмножества так, что произведение элементов первого подмножества равно сумме элементов второго? | |
| |
**Решение** | |
| |
Привожу решения {{:marathon:domashenko_mm241.docx|Александра Домашенко}} и {{:marathon:ariadna_mm241.pdf|Валентины Колыбасовой}}. | |
| |
**Обсуждение** | |
| |
На первую задачу юбилейного Марафонского конкурса поступило 10 решений. | |
Радует появление сразу троих новых участников. Огорчает исчезновение примерно такого же числа участников предыдущего конкурса. Призываю их подключиться к конкурсу со следующей задачи. | |
| |
Задача ММ241 не вызвала затруднений у большинства конкурсантов. | |
Но был один момент, вызвавший разногласия участников. Он касается разрешимости задачи для значений n=1 и n=3. | |
Участники разделись на 3 категории:\\ | |
первые (Константин Шамсутдинов и Владислав Франк) считают, что задача разрешима для каждого из этих n;\\ | |
вторые (их большинство) полагают, что задача разрешима для n=3, но не для n=1;\\ | |
наконец Александр Домашенко придерживается мнения, что задача не разрешима для обоих упомянутых n. | |
| |
Александр не проаргументировал свое мнение, что постановка задачи имеет смысл, начиная с n=4. Полагаю, он отталкивался от бинарности операций сложения и умножения. | |
Аргументы Владислава и Константина - произведение элементов пустого множества равно 1, поэтому для n=1 можно поместить 1 в первое подмножество, а во второе не помещать ничего. | |
Я согласен с аргументом про произведение элементов пустого множества, но... В формулировке идет речь о разбиении. А в разбиении по определению участвуют только непустые подмножества. | |
Поэтому (а вовсе не из конформизма) я склонен присоединиться к большинству. Но при этом не снижал баллы тем, кто придерживается альтернативных мнений. | |
| |
Дополнительные баллы начислены за успешный поиск разбиений, не попадающих под общее описание (упоминание наличия таких разбиений и прведение единичного примера не учитывались). | |
Мераб Левиашвили предложил несколько простых вариаций на тему задачи. Уточняю для него и других новичков Марафона, что дополнительными баллами такие предложения оцениваются при условии, что они содержат какие-то продвижения в указанных направлениях (ну, или если покажутся ведущему неожиданными и очень красивыми). | |
| |
Напоминаю как новичкам, так и некоторым забывчивым старожилам, что я жду от вас эстетических оценок предлагаемых задач. | |
| |
**Награды** | |
| |
За решение задачи ММ241 участники Марафона получают следующие призовые баллы:\\ | [[problem 261|Решение задачи ММ261]] |
Александр Домашенко - 6;\\ | |
Константин Шамсутдинов - 5;\\ | |
Анатолий Казмерчук - 4;\\ | |
Мераб Левиашвили - 4;\\ | |
Виктор Филимоненков - 4;\\ | |
Владислав Франк - 4;\\ | |
Валентина Колыбасова - 4;\\ | |
Антон Никонов - 4;\\ | |
Владимир Дорофеев - 4;\\ | |
Анна Букина - 2. | |
| |
**Эстетическая оценка задачи - 4.5 балла** | |
---- | ---- |
| |
| |
~~NOTOC~~ | ~~NOTOC~~ |