Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

marathon:about [2019/11/29 20:26]
letsko [ММ249]
marathon:about [2021/06/17 17:02] (текущий)
letsko [Текущие задачи]
Строка 8: Строка 8:
  
 ---- ----
 +**Завершен XXVII конкурс вамках Математического марафона**
 +
 +**Мои поздравления победителю конкурса,​ Мерабу Левиашвили,​ призерам,​ Анатолию Казмерчуку и Олегу Полубасову,​ а также всем тем, кто составил им достойную конкуренцию**
  
-Завершается **XXV юбилейный конкурс в рамках Математического марафона!** 
  
 Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания,​ выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными,​ а другие - не очень. На вкус и на цвет... Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания,​ выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными,​ а другие - не очень. На вкус и на цвет...
  
-Но если любите поломать голову над нестандартными задачами,​ участвуйте,​ не стесняйтесь.+Но если ​вы любите поломать голову над нестандартными задачами,​ участвуйте,​ не стесняйтесь.
  
 Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас. Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас.
  
 Не забывайте,​ пожалуйста,​ присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале. ​ Не забывайте,​ пожалуйста,​ присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале. ​
----- 
  
  ​Ведущий Марафона  ​Ведущий Марафона
 --- //​[[val-etc@yandex.ru|Vladimir letsko]]// --- //​[[val-etc@yandex.ru|Vladimir letsko]]//
  
 +[[Afterword XXVII |Послесловие к XXVII конкурсу]]
 +
 +----
  
  
 ====== Текущие задачи ====== ====== Текущие задачи ======
 +----
 +**На данный момент отсутствуют.**
 ---- ----
  
- 
-===== ММ250 ===== 
-  
-**Конкурсная задача ММ250** (14 баллов) 
-Решения принимаются до __29.11.2019__ 
- 
-Найти наименьшее возможное количество ребер выпуклого многогранника,​ у которого сумма длин ребер равна сумме длин диагоналей. 
- 
----- 
  
 ====== Разбор задач ====== ====== Разбор задач ======
 ---- ----
-===== ММ249 ​===== +===== 
- +Вектором граней выпуклого многогранника ​назовем набор ​[f<​sub>​3</​sub>,​ f<​sub>​4</​sub>,​ …, f<​sub>​s</​sub>​], где ​f<​sub>​i</​sub>​ – количество ​i-угольных граней P, а s - наибольшее число сторон грани. Будем говорить, что ​относится к классу m, если ​max(f<​sub>​i</​sub>​) = m.
-**Конкурсная задача ММ249** (10 баллов) +
- +
-Пусть k – натуральное число и a – некоторая перестановка 2020-элементного множества. Может ли уравнение x<​sup>​k</​sup>​=a иметь ровно 2020 решений+
- +
-**Решение** +
- +
-Привожу решения {{:​marathon:​мм249-решение-м.л.docx|Мераба Левиашвили}},​ {{:​marathon:​shamsutdinov_mm249.docx|Константина Шамсутдинова}} и {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_249.docx|Анатолия Казмерчука}}. +
- +
-**Обсуждение**  +
- +
-Как обычно, (и как это бывает в настоящем марафоне к концу дистанции) к последним ​задачам ряды марафонцев поредели. Впрочемне столь катастрофически,​ как это ​бывало в предыдущих конкурсах. +
-В то же времянеожиданно обострилась борьба в лидирующей ​группе. К середине конкурса казалось очевидным, ​что лидеру, Анатолию Казмерчуку,​ может составить конкуренцию только Константин Шамсутдинов. Однако,​ на финише мощно спуртует Мераб Левиашвили,​ который уже настиг Константина и приблизился к Анатолию. И это при том, что ни Константин, ни Анатолий темп ​не снижали.  +
- +
-Честно признаюсь,​ что я не вник во все детали решения Мераба, в котором только перечисление принятых условных обозначений занимает 2 страницы (а формулы набраны текстом :-()). Думаю, рискнувшие заглянуть в его ​решение, меня поймут.  +
-Впрочем, и тогов чем удалось разобраться хватило для самой высокой оценки за ММ249. +
- +
-Как и ожидалось, большинство конкурсантов не ограничились одним подходящим примером. Дополнительные примеры принесли дополнительные баллы (иногда отрицательные). +
-Но разнообразие ​сводилось лишь к виду перестановки a. А с показателем степени никто, кроме Мераба,​ особо не заморачивался. Хватило двойки. +
- +
-**Награды** +
- +
-За решение задачи ММ249 участники Марафона получают следующие призовые баллы:​\\  +
-Мераб Левиашвили - 15;\\ +
-Константин Шамсутдинов - 12;\\ +
-Анатолий Казмерчук - 12;\\ +
-Виктор Филимоненков - 10;\\ +
-vpb - 10;\\ +
-Владислав Франк - 9.+
  
-**Эстетическая оценка задачи - 4.7 баллов ** 
 ---- ----
  
-===== ММ248 ===== 
  
-**Конкурсная задача ММ248** (баллов)+**Конкурсная задача ММ270** (16 баллов)
  
-Найти наименьшее ​натуральное ​k такое, что во множестве {(τ(kn))/​(τ(n))|n ∈ N} ровно 13 целых чисел+Найти наибольшее ​возможное количество ​граней ​многогранника класса m.
  
 **Решение** **Решение**
  
-Привожу решения ​{{:​marathon:​frank_248.pdf|Владислава Франка}}, {{:​marathon:​merab-мм248.docx|Мераба ​Левиашвили}} и {{:​marathon:​fiviol_мм248.docx|Виктора Филимоненкова}}. +Привожу решения ​призеров конкурса, {{:​marathon:​mm_270_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}} и {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_270.pdf|Анатолия Казмерчука}}а также обобщение задачи победителя конкурса {{:​marathon:​обобщение-мм270.docx|Мераба Левиашвили}} .
-(Решение ​Анатолия Казмерчука, ​как всегда, не только верно, но и замечательно оформлено, но надо же знакомить публику и новыми лицами Марафона. Впрочем, новому участнику среди приведенных решений принадлежит только одно.+
  
-**Обсуждение** ​+**Обсуждение**
  
-ММ248 далась не всем конкурсантам.  +В отличие от ММ269, где вопрос задачи был сформулирован для частных значений ​mа обобщали его сами ​конкурсантыв ММ270 ​сразу же был сформулирован общий вопрос. Объясняется это простоВ ММ269 ​ответа ​на общий вопрос ведущий на момент опубликования задачи не знал (и даже склонялся, ​нок счастью не "доказал" ​неверный ответ)А для ММ270 у меня был ​верный обоснованный ​ответ.
-Доказательство того ​факта, что при любом натуральном k существует бесконечно много ​значений ​nдля которых рассматриваемая дробь будет целым числом, разумеется, ​не означает, таких целых чисел для каждого k будет бесконечно много. Но сам ​факт, что такая подмена понятий случилась не однажды - свидетельство объективной трудности задачи. +
-Поэтому, ​на всякий случай,​ еще раз - во множестве {2, 2, 2,...} ровно один ​элемент ​- двойка! +
-Ответ, превышающий правильный в неприлично большое ​(1230 десятичных знаков) количество раз тоже был оценен ​невысоко. +
-В остальном, все решения идейно ​были близки (но при этом почему-то многократно отличались по размерам).+
  
-К моему ​удивлениюлишь двое участников обратили внимание на тот очевидный ​факт, что на месте ​13 в условии могло быть любое другое число.  +Эта ситуация выбила почву из под ног большинства любителей обобщений. Дапрактически все, решившие ММ270, ​нашли заодно и наибольшие количества вершин и ребер m-многогранников. Но ответы на эти вопросы становятся ​очевидны ​при успешном решении основной задачи. Единственнымкто изыскал возможности пообобщать стал Мераб Левиашвили. Он перешел от рассмотрения многогранников к рассмотрению простых (каждая ​вершина имеет степень n) политопов размерностей, ​больших 3. У таких политопов существуют грани разных размерностей. Соответственно можно рассматривать разные аналоги m-многогранников. Мераб остановился на случае двумерных ​граней. На основании известных ​соотношений Дена-Соммервиля он получил наименьшие ​значения m, для которых существуют n-мерные политопы класса m и верхние оценки для числа граней ​таких политопов для n \in {45}, а также некоторые оценки для n \in {6, 7, 8}. Я привожу только обобщение задачи (присланное Мерабом отдельным ​документом), в том числе, и по причине слишком большого веса основного ​решения.
-отя нельзя исключитьчто это ведущий проморгал это наблюдение ​в дебрях длинных решений.)+
  
-**Награды**+Во всех присланных ​решениях имеется содержится ответ 7m-4 для больших значений m. Разнятся эти решения степенью гипотетичности и обоснованности ​данного ответа,​ а также количеством частных значений m, подтверждающих данную гипотезу (это касается решений,​ где 7m-4 именно гипотеза).
  
-За решение задачи ММ248 участники Марафона получают следующие призовые баллы: ​ 
-Владислав Франк - 9; 
-vpb - 9; 
-Анатолий Казмерчук - 8; 
-Константин Шамсутдинов - 8; 
-Виктор Филимоненков - 8; 
-Мераб Левиашвили - 8; 
-Александр Домашенко - 3; 
-Владимир Дорофеев - 1; 
-Анна Букина - 1. 
  
-**Эстетическая оценка задачи - 5 баллов ​** +**Награды**
-----+
  
-===== ММ247 =====+За решение задачи ​ММ270 участники Марафона получают следующие призовые баллы:​\\ 
 +Мераб Левиашвили - 18;\\ 
 +Олег Полубасов - 16;\\ 
 +Анатолий Казмерчук - 16;\\ 
 +Александр Романов - 16;\\ 
 +Константин Шамсутдинов - 10;\\ 
 +Виктор Филимоненков - 10;\\ 
 +Денис Овчинников - 8.\\
  
-**Конкурсная задача ММ247** (7 баллов)+Эстетическая ​оценка задачи - 4.8 балла
  
- 
-Пусть k – фиксированное натуральное число. Для натуральных n определим функцию f<​sub>​k</​sub>​(n)=lcm(n,​ n+1,..., n+k-1)/​lcm(n+1,​ n+2,..., n+k)} 
-Найти наименьшие значения f<​sub>​5</​sub>​(n) и f<​sub>​9</​sub>​(n). 
- 
-**Решение** 
- 
-Привожу решения {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_247.docx|Анатолия Казмерчука}} и {{:​marathon:​bukina_mm247_.pdf|Анны Букиной}}. ​ 
- 
-**Обсуждение** ​ 
- 
-ММ247 - обещанное продолжение ММ238. 
-Большинство конкурсантов (ряды коих к финишу традиционно начали потихоньку редеть) справились с задачей. ​ 
-Некоторые изъятия баллов связаны с недостаточной обоснованностью ответа,​ ошибкой в арифметике и загадочное утверждение о простоте числа 289 (я специально подбирал,​ чтобы второй ответ был квадратом первого и, надо же - простое?​!) 
-Поощрения сделаны за некоторые обобщения.\\ 
-Хотя я рассчитывал (и намекал на это при обсуждении ММ238), что участники не ограничатся заменой чисел 5 и 9 на произвольное k. 
-Ограничились :-(\\ 
-Тогда сам сформулирую интересные (на мой взгляд вопросы):​\\ 
-Сколько целых значений принимает f<​sub>​k</​sub>​(n) и какие целые числа могут быть этими значениями?​ (Целые значения f<​sub>​5</​sub>​(n) - 1,5,7,11. Но напрашивающаяся гипотеза о ф(sup(f<​sub>​k</​sub>​(n))) целых значениях f<​sub>​k</​sub>​(n) не подтвердилась)\\ 
-Ясно, что каждое свое значение f<​sub>​k</​sub>​(n) принимает конечное число раз. Можно ли, зная k без прямого перебора указать какое(какие) это будет значение и сколько раз оно достигается?​ 
- 
-**Награды** 
- 
-За решение задачи ММ247 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ 
-Анатолий Казмерчук - 9;\\ 
-Владислав Франк - 9;\\ 
-Константин Шамсутдинов - 9;\\ 
-Владимир Дорофеев - 8;\\ 
-Анна Букина - 7;\\ 
-Мераб Левиашвили - 7;\\ 
-Валентин Пивоваров - 6;\\ 
-Александр Домашенко - 6;\\ 
-waxter - 6;\\ 
-Виктор Филимоненков - 5. 
- 
-**Эстетическая оценка задачи - 4.6 балла** 
 ---- ----
  
  
-===== ММ246 =====+===== ММ269 =====
  
-**Конкурсная задача ММ246** (баллов)+ **Конкурсная задача ММ269** (11 баллов)
  
- +Какова максимальная возможная степень вершины выпуклого многогранника\\  
-Сколько (с точностью до подобия) существует разносторонних треугольников, разрезаемых на два равнобедренных более чем одним ​способом?+a) класса 3;\\ 
 +b) класса 4?
  
 **Решение** **Решение**
  
-Привожу решения {{:​marathon:​shamsutdinov_mm246.docx|Константина Шамсутдинова}}, {{:​marathon:​fiviol_мм246.docx|Виктора Филимоненкова}} и {{:​marathon:​mm246.pdfвторское}}. +Привожу решения {{:​marathon:​mm269_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}},​ {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_269.pdf|Анатолия Казмерчука}} и {{:​marathon:​shamsutdinov_mm269.docx|Константина Шамсутдинова}}.
  
 **Обсуждение** ​ **Обсуждение** ​
  
-ММ246 ​оказалась трудным орешком. Половина конкурсантов потеряли нужные (нашли лишние) треугольники. +Согласно традициям Марафона последние ​задачи каждого конкурса имеют повышенную сложность. Эта традиция сохранилась и в данном ​конкурсе.  
-Особенно странным оказалось именно приобретение ​лишних решений. Ведь, в отличие от потери нужных, эта ​ошибка легко ​проверяется. +Результатом этого усложнения чаще всего был отток значительной части конкурсантов. А эта традиция неожиданно была нарушена! Из тех, кто регулярно участвовал в нынешнем конкурсене прислали решения ММ269 всего два ​человека. ​А остальные порадовали, но не пощадили ведущего :-) Впрочем, после моей мольбы, все же сжалилисьсократив самое длинное ​из решений на 40(!) страниц.
-Правда, за один (наиболее удививший меня) лишний треугольник я не стал штрафовать нашедшего его участника. Речь идет о прямоугольном равнобедренном ​треугольнике, который, в силу своей равнобедренности, в ответ включен не был, но в остальном, по мнению приведшего его участника, удовлетворял условию (?!). +
- +
-Кстати, требование разносторонности треугольника попало в условие только на основании того, что я так и не смог решить считать ли, напримербиссектрисы ​углов при основании треугольника с углами 36, 72, 72 градуса разными разрезами. +
- +
-Мне представляется, что задача становится проще, а перебор прозрачнее, если сразу договориться об упорядочивании углов ​исходного треугольника.  +
-К моему удивлению этим путем пошли менее половины участников. Тем не менее, некоторые из тех, кто не упорядочивал углы исходного треугольника, добрались до верного ответа ;-) +
- +
-Любопытночто в ответ пошло два треугольника, где требуемые разрезы выходят из разных вершини один с разрезами,исходящими из одной вершины.+
  
-К вопросу о красоте. \\ +Разумеется, ​основные страсти кипели вокруг обобщения ​задачи, очевидного по постановке вопроса. Но только по постановке. Да-да, ответ 3m-3 не годится
-ММ246, с моей точки зрения, одна из лучших в текущем конкурсе. Но с этим мнением согласны не все. Что жкак говорится, о вкусах не спорят.\\ +В какой-то момент у меня имелось три решения, в которых ​приводилась и обосновывалась точная формула для максимальной возможной степени вершины m-многогранника. Точнее, три разных формулы, дающих ​разные ответы :-)\\ 
-Спорить не буду, но попробую проаргументировать свои предпочтения.\\ +Понимаячто ​ситуация, когда "Вася и Петя оба правы",​ маловероятнаведущий был вынужден углубиться в многостраничные трактаты, воспользовавшись удачно подвернувшейся просьбой продлить срок приема ​решенийДополнительное время ​не пропало ​даром. И ведущий и конкурсанты обнаружили некоторые ошибки и неточности в решениях. Во всех, кроме одного, в котором ошибок найти не удалось (или, все же, пока не удалось?). Желающие ​могут ​попробовать определить это решение из приводимого ниже ​списка начисленных призовых баллов (а также попытаться найти ​ошибки и в этом решении)
-Часто наличие нескольких, а не одного решения - безусловный минус задачи. Так было бы, например, с ММ244. И я был бы согласен с теми, кто поставил ​мне ​в вину наличие ​нескольких ​решений, если бы решений на самом деле было больше одного. +
-Но для ММ246 наличие трех решений кажется украшениема не дефектом задачи. Ведь ​они - принципиально разные+
-Например, ​два равнобедренных треугольника с углами 36, 72, 72 (градусов) и 36, 36, 108 (градусов) - разные, но не принципиально. Каждый из них возникает при разрезании другого на два равнобедренных. +
-А для разносторонних, попавших в ответ это не так. +
-Ну и треугольник с наименьшим ​углом п/13, IMHO, сам по себе красив в качестве ответа.\\ +
-Свою позицию я прояснил. Готов выслушать аргументы противоположного толка.+
  
 **Награды** **Награды**
  
-За решение задачи ММ246 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ +За решение задачи ММ269 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ 
-Александр Домашенко ​7;\\ +Олег Полубасов - 18;\\ 
-Анатолий Казмерчук - 7;\\ +Мераб Левиашвили ​16;\\ 
-Константин Шамсутдинов - 7;\\ +Анатолий Казмерчук - 13;\\ 
-Мераб Левиашвили ​- 7;\\ +Константин Шамсутдинов - 13;\\ 
-Виктор Филимоненков 7;\\ +Василий Дзюбенко - 11;\\ 
-Валентина Колыбасова 5;\\ +Александр Романов - 11;\\ 
-Валентин Пивоваров - 5;\\ +Виктор Филимоненков - 11;\\ 
-Владислав Франк - 5;\\ +Денис Овчинников - 7.
-Анна Букина - 5;\\ +
-Владимир Дорофеев - 4.\\+
  
 **Эстетическая оценка задачи - 4.7 балла** **Эстетическая оценка задачи - 4.7 балла**
 ---- ----
  
-===== ММ245 ===== 
  
-**Конкурсная задача ​ММ245** (5 баллов)+===== ММ268 =====
  
-В остроугольном треугольнике ABC провели высоту BH.  +**Конкурсная задача ММ268** (9 баллов)
-Найти отношение площадей треугольников ABH и CBH, если первый из них подобен треугольнику из своих медиан, а второй – треугольнику из своих высот.+
  
-**Решение**+Назовем натуральное число m допустимым,​ если существует такое n, что из чисел 1,2,…,n можно составить сумму произведений,​ в которой каждое число встречается ровно один раз, равную m. Сколько существует недопустимых чисел? 
  
-Привожу решения {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_245.docx|Анатолия Казмерчука}}, {{:​marathon:​ariadna_mm245.pdf|Валентины Колыбасовой}} (оба, как обычно,​ подробные, ​с чертежами) и {{:​marathon:​fiviol_мм25.docx|Виктора Филимоненкова}} (как обычно,​ краткое, ​хотя и не самое краткое).  +Примечание: в суммах ​произведений ​допускаются одиночные слагаемые. Например, число ​148 допустимо, поскольку 148=1·3 + 2·5·8 + 4 + 6·9 + 7.
- +
-**Обсуждение**  +
- +
-ММ245 не вызвала больших затруднений у участников. Изъятые баллы - следствие, ​скорее, недостаточной аккуратности+
-Хотя у меня были сомнения, стоит ли вообще изымать баллы. Ведь в условии сказано просто "​найти отношение площадей",​ а не "​найти отношение площади первого к площади второго"​.  +
- +
-Дополнительный балл добавлен за переформулировку задачи таким образом, чтобы ответ стал единственным. +
-У меня тоже возникало желание ​добиться единственности ответа. Но я не стал делать этого, решив отловить тех, ​кто потеряет один ответКапкан не сработал. +
- +
-**Награды**+
  
-За решение задачи ММ245 участники Марафона получают следующие призовые баллы:​\\  +[[problem 268|Решение задачи ММ268]]
-Александр Домашенко - 6;\\ +
-Анатолий Казмерчук - 5;\\ +
-Константин Шамсутдинов - 5;\\ +
-Мераб Левиашвили - 5;\\ +
-Виктор Филимоненков - 5;\\ +
-Анна Букина - 5;\\ +
-Валентина Колыбасова - 5;\\ +
-Владимир Дорофеев - 5;\\ +
-Владислав Франк - 4;\\ +
-Валентин Пивоваров - 4.+
  
-**Эстетическая оценка задачи - 4.3 балла** 
 ---- ----
  
-===== ММ244 ===== 
  
-**Конкурсная задача ММ244** (6 баллов) 
  
-Галя предложила Ане, Боре и Васе такую загадку:​\\ +===== ММ267 =====
-- Я задумала три попарно различных ненулевых цифры. Сейчас я по секрету сообщу Ане сумму квадратов,​ Боре произведение,​ а Варе сумму задуманных цифр. Попробуйте отгадать эти цифры. ​  +
-Узнав сумму квадратов произведение и сумму, Аня, Боря и Вася сначала задумались,​ а затем разговорились:​ \\ +
-А: Я не могу определить,​ что это за цифры.\\ +
-Б: И я не могу.\\ +
-В: И я тоже.\\ +
-A: Тогда я их знаю!\\ +
-Б: После этой реплики и я их знаю.\\ +
-Что это за тройка цифр? \\ +
-Примечание:​ У Ани, Бори и Васи все хорошо с арифметикой и логикой.+
  
-**Решение**+**Конкурсная задача ММ267** (7 баллов)
  
-Привожу решения {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_244.docx|Анатолия Казмерчука}} и {{:​marathon:​shamsutdinov_mm244.docx|Константина Шамсутдинова}}+Вася и Петя поспорили. Вася уверен, что среди представлений натурального числа n в виде суммы натуральных слагаемых чаще встречаются те, у которых ​каждое слагаемое присутствует ​не более двух раз, чем те, у которых все слагаемые не кратны 3Петя уверен в обратном. Кто из них прав?
  
-**Обсуждение** +[[problem 267|Решение ​задачи ММ267]]
  
-ММ244 оказалась первой задачей юбилейного конкурса,​ вызвавшей серьезные затруднения у участников. В отличие от большинства трудных задач из предыдущих конкурсов,​ затруднения не остановили конкурсантов и они прислали решения.  +----
-Тем самым, трудности возникли уже у ведущего:​\\  +
-найти ошибку в длинном правдоподобном решении;​\\ +
-разобраться в программе,​ написанной на неизвестном языке, и присланной вместо решения;​\\ +
-как оценивать логическую ошибку при верной арифметике;​\\ +
-как оценивать арифметическую ошибку при верной логике,​ не повлиявшую на ответ;​\\ +
-как оценивать арифметическую ошибку при верной логике,​ повлиявшую на ответ;​\\ +
-наконец,​ как оценить верный ответ при отсутствии решения. ​+
  
-Отмечу,​ что перечисленные ситуации (наряду с тему, которые не вызвали вопросов) встречаются в присланных решениях. ​+===== ММ266 =====
  
-Наиболее ​коварный момент в задаче - второе заявление Бори.  +**Конкурсная задача ​ММ266** (7 баллов)
-Сразу несколько конкурсантов проигнорировали начало этого заявления... и получили лишние решения. Меня удивило, что это их не удивило (иначе они бы перепроверили свои рассуждения).+
  
-Представленные ниже призовые баллы плод моих мучительных ​раздумий и рандомных ​порывов. Так что, не судите ​строго (как старался делать и я).+Вася ​Пупкин выписал ​дни рождения семерых своих однокурсников,​ родившихся в январе одного ​и того ​же года, что и Вася, и, поэкспериментировав с выписанными числами, заметил два факта:\\  
 +1) τ(n<​sup>​3</​sup>​ )=τ(n)<​sup>​2</​sup>,​ где n – произведение всех выписанных ​чисел;​\\ 
 +2) сумма кубов составных ​чисел больше суммы кубов остальных\\. 
 +Найдите ​дни ​рождения Васиных ​товарищей, если известно,​ что все они младше Васи.
  
-На [[https://​www.facebook.com/​groups/​mathpuz/​1378859588956546/?​comment_id=1378879308954574&​reply_comment_id=1379017442274094&​notif_id=1569669688346425&​notif_t=group_comment_mention|FB]] ​можно найти несколько разновидностей ММ244, ​предложенных Константином Кнопом. Там же есть решение Олега Полубасова (ушедшего ​в марафонское подполье) +Примечаниепри сравнении возрастов учитываются дни, но не часы рождения.
- +
-**Награды**+
  
-За решение задачи ММ244 участники Марафона получают следующие призовые баллы:​\\  +[[problem 266|Решение задачи ММ266]]
-Анатолий Казмерчук - 7;\\ +
-Константин Шамсутдинов - 6;\\ +
-Мераб Левиашвили - 6;\\ +
-Владислав Франк - 6;\\ +
-Виктор Филимоненков - 5;\\ +
-Анна Букина - 4;\\ +
-Валентин Пивоваров - 4;\\ +
-Валентина Колыбасова - 3;\\ +
-Антон Никонов - 3;\\ +
-Александр Домашенко - 3;\\ +
-Лев Песин - 3.+
  
-**Эстетическая оценка задачи - 4.4 балла** 
 ---- ----
  
 +===== ММ265 =====
  
-===== ММ243 =====+**Конкурсная задача ​ММ265** (5 баллов)
  
-**Конкурсная задача ​ММ243** (5 баллов)⊥+Разрезать правильный треугольник на наименьшее возможное количество прямоугольных треугольников так, чтобы никакие два из возникших треугольников не были подобны.
  
 +[[problem 265|Решение задачи ММ265]]
  
-В треугольнике ABC a<b<c и a⋅l<​sub>​a</​sub>​=c⋅l<​sub>​c</​sub>​ Найти угол β. +----
  
-**Решение**+===== ММ264 =====
  
-Привожу решения {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_243.docx|Анатолия Казмерчука}}, {{:​marathon:​ariadna_mm243.pdf|Валентины Колыбасовой}} и {{:​marathon:​bukina_mm243.pdf|Анны Букиной}} (только они не поленились сделать чертежи).+**Конкурсная ​задача ​ММ264** (4 балла)
  
-Еще ​одно решение ​({{:​marathon:​fiviol_мм243.docx|Виктора Филимоненкова}}) - пример одного ​из наиболее кратких решений+Назовем пару ​натуральных чисел a и аддитивной, если τ(a+b)=τ(a)+τ(b),​σ(a+b)=σ(a)+σ(b) ​ и φ(a+b)=φ(a)+φ(b).  
 +Доказать, что существует бесконечно много аддитивных пар.\\
  
-**Обсуждение**  +(τ(n), σ(n), φ(n) - количество натуральных делителейсумма натуральных делителей и функция Эйлера соответственно.)
- +
-Задача не вызвала затруднений у конкурсантов.  +
-Зато присланные решения довольно разннобразны. \\ +
-Тем самым, они оправдали ожидания ведущегополучившего данный ​результат в качестве побочного продукта при решении более сложной задачи+
-Соответственно, ​и решение ММ243 получилось весьма громоздким. Искать более простые решения ​ведущий не стал (хотя подозревал,​ что они есть), доверив это участникам Марафона +
- +
-**Награды**+
  
-За решение задачи ММ243 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ +[[problem 264|Решение задачи ММ264]]
-Анатолий Казмерчук - 6;\\ +
-Александр Домашенко - 5;\\ +
-Константин Шамсутдинов - 5;\\ +
-Мераб Левиашвили - 5;\\ +
-Владислав Франк - 5;\\ +
-Валентина Колыбасова - 5;\\ +
-Анна Букина - 5;\\ +
-Валентин Пивоваров - 5;\\ +
-Виктор Филимоненков - 5;\\ +
-Антон Никонов - 3.+
  
-**Эстетическая оценка задачи - 4.4 балла** 
 ---- ----
  
 +===== ММ263 =====
 + ​**Конкурсная задача ММ263** (4 балла)
  
-===== ММ242 =====+Сколько решений может иметь уравнение [3x]{x} – [x]{3x} ​c, в зависимости от значения параметра c?\\
  
-**Конкурсная задача ​ММ242** ​(баллов)+([x] и {x} означают соответственно целую ​часть ​(пол) и дробную часть числа x.)
  
-На сайте проводится опрос, кого из m номинированных футболистов посетители сайта считают лучшим по итогам сезона. Каждый посетитель голосует один раз ​за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого футболиста - доля голосов,​ отданных за него, в процентах,​ округленных до целого ​числа. После того, как проголосовали n посетителей,​ суммарный рейтинг номинантов составил 95%.\\ +[[problem 263|Решение задачи ​ММ263]]
-a) При каком наименьшем m такое возможно?​\\ +
-b) При каком наименьшем n такое возможно?​\\  +
-c) При каком наименьшем m+n такое возможно?​+
  
-**Решение**+----
  
-Привожу решения {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_242.docx|Анатолия Казмерчука}} и {{:​marathon:​ariadna_mm242.pdf|Валентины Колыбасовой}}. 
  
-**Обсуждение** +===== ММ262 ===== 
 +  
 +**Конкурсная задача ММ262** (3 балла)
  
-Судьбу задачи ММ242 ​решал ответ на 3-й вопрос. Придумав условие, я сразу ​для себя ​решил, что если в наименьшем m+n не будут участвовать ни наименьшее m, ни наименьшее n, то задача будет достаточно интересна, а в противном случае - скучна. О том, что можно будет заменить в условии число 95 (взятое от фонаря) я в тот момент почему-то не думал.+Разносторонний треугольник назовем прогрессивным, если ​длины ​его сторон образуют арифметическую прогрессию.  
 +Доказатьчто треугольник прогрессивен тогда и только ​тогда, когда прямая, проходящая ​через ​точку Нагеля и центр Шпикера, параллельна средней стороне. ​
  
-Я был уверен, что наиболее сложен пункт c, и ожидал ошибок именно там. К чести конкурсантов с этим пунктом справились все. Но одному из участников неожиданно не покорился пункт b. Еще более неожиданной для меня были две попытки ​дать неверный ​ответ к пункту a, в связи с альтернативной трактовкой термина "​округление". Мудрые составители ЕГЭ-шной ​задачи ​(коей навеяна ММ242) дали полное определение правил округления прямо в условии, а я был уверен, что у конкурсантов с этим проблем ​не будет...+Примечаниетривиальное решение ​(недаром ​цена задачи всего 3 балла) на ЕГЭ бы не приняли,​ но у нас, слава Богу, не ЕГЭ :-)
  
-Любопытны примеры, приведенные участниками в подтверждение ответа 11 к пункту a. В них встретились следующие значения n:\\ +[[problem 262|Решение ​задачи ​ММ262]]
-29 - 3 раза;​\\ +
-31 - 2 раза;​\\ +
-67 - 1 раз;\\ +
-73 - 1 раз;\\ +
-201 - 2 раза;​\\ +
-10000 - 2 рвза.+
  
-Я не стал штрафовать участников ни за неверное утверждение,​ что минимальное n, при котором достигается m = 11, равно 31 (ведь в задаче про это не спрашивалось),​ ни за краткость в обоснованиях,​ полагая,​ что ссылка на перебор,​ с правильным указанием границ перебора является (при наличии верного ответа) достаточным обоснованием. 
- 
-Я ожидал достаточно массового упоминания того факта, что суммарный рейтинг может быть любым целым числом в пределах от 0 (например,​ каждый из 201 номинантов получил по 1 голосу) до 200 (например,​ каждый из 200 номинантов получил по 1 голосу). Однако данное утверждение обнаружилось лишь в одной работе и было поощрено дополнительным баллом. 
- 
-**Награды** 
- 
-За решение задачи ММ242 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ 
-Анатолий Казмерчук - 6;\\ 
-Владимир Дорофеев - 6;\\ 
-Александр Домашенко - 5;\\ 
-Константин Шамсутдинов - 5;\\ 
-Мераб Левиашвили - 5;\\ 
-Владислав Франк - 5;\\ 
-Валентина Колыбасова - 5;\\ 
-Антон Никонов - 5;\\ 
-Анна Букина - 5;\\ 
-Валентин Пивоваров - 5;\\ 
-Виктор Филимоненков - 4. 
- 
-**Эстетическая оценка задачи - 4.5 балла** 
 ---- ----
 +===== ММ261 =====
 + 
 +**Конкурсная задача ММ261** (4 балла)
  
-===== ММ241 ===== +Натуральные ​числа 1, 2, 3, ..., 100 разбили на 10 групп по 10 чисел. Найти наибольшую возможную сумму НОД этих десяток.
- +
-**Конкурсная задача ММ241** (4 балла) +
- +
-При каких натуральных n множество {1, 2, n} можно разбить на два подмножества так, что произведение элементов первого подмножества равно сумме элементов второго?​ +
- +
-**Решение** +
- +
-Привожу решения {{:​marathon:​domashenko_mm241.docx|Александра Домашенко}} и {{:​marathon:​ariadna_mm241.pdf|Валентины Колыбасовой}}. +
- +
-**Обсуждение** +
- +
-На первую ​задачу юбилейного Марафонского конкурса поступило 10 решений. +
-Радует ​появление сразу троих новых участников. Огорчает исчезновение ​примерно такого же числа участников предыдущего конкурса. Призываю их подключиться к конкурсу со следующей задачи. +
- +
-Задача ММ241 не вызвала затруднений у большинства конкурсантов.  +
-Но был один момент,​ вызвавший разногласия участников. Он касается разрешимости задачи для значений n=1 и n=3. +
-Участники разделись на 3 категории:​\\  +
-первые (Константин Шамсутдинов и Владислав Франк) считают,​ что задача разрешима для каждого из этих n;\\ +
-вторые (их большинство) полагают,​ что задача разрешима для n=3, но не для n=1;\\ +
-наконец Александр Домашенко придерживается мнения,​ что задача не разрешима для обоих ​упомянутых n. +
- +
-Александр не проаргументировал свое мнение,​ что постановка задачи имеет смысл, начиная с n=4. Полагаю, он отталкивался ​от бинарности операций сложения и умножения. +
-Аргументы Владислава и Константина - произведение элементов пустого множества равно 1, поэтому для n=1 можно поместить 1 в первое подмножество,​ а во второе не помещать ничего. +
-Я согласен с аргументом про произведение элементов пустого множества,​ но... В формулировке идет речь о разбиении. А в разбиении по определению участвуют только непустые подмножества. +
-Поэтому (а вовсе не из конформизма) я склонен присоединиться к большинству. ​Но при ​этом не снижал баллы тем, кто придерживается альтернативных мнений. +
- +
-Дополнительные баллы начислены за успешный поиск разбиений,​ не попадающих под общее описание (упоминание наличия таких разбиений и прведение единичного примера не учитывались). +
-Мераб Левиашвили предложил несколько простых вариаций на тему задачиУточняю для него и других новичков Марафона,​ что дополнительными баллами такие предложения оцениваются при условии,​ что они содержат какие-то продвижения в указанных направлениях (ну, или если покажутся ведущему неожиданными и очень красивыми).  +
- +
-Напоминаю как новичкам,​ так и некоторым забывчивым старожилам,​ что я жду от вас эстетических оценок предлагаемых задач. +
- +
-**Награды**+
  
-За решение задачи ММ241 участники Марафона получают следующие призовые баллы:​\\  +[[problem 261|Решение задачи ММ261]]
-Александр Домашенко - 6;\\ +
-Константин Шамсутдинов - 5;\\ +
-Анатолий Казмерчук - 4;\\ +
-Мераб Левиашвили - 4;\\ +
-Виктор Филимоненков - 4;\\ +
-Владислав Франк - 4;\\ +
-Валентина Колыбасова - 4;\\ +
-Антон Никонов - 4;\\ +
-Владимир Дорофеев - 4;\\ +
-Анна Букина - 2.+
  
-**Эстетическая оценка задачи - 4.5 балла** 
 ---- ----
  
  
 ~~NOTOC~~ ~~NOTOC~~
 

 


Страница: [[marathon:about]]

marathon/about.1575048386.txt · Последние изменения: 2019/11/29 20:26 — letsko
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006