Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

marathon:about [2019/11/30 12:33]
letsko [ММ250]
marathon:about [2020/11/15 22:43] (текущий)
letsko [ММ260]
Строка 9: Строка 9:
 ---- ----
  
-Завершаен **XXV юбилейный ​конкурс в рамках Математического марафона!**+Завершен **XXVI конкурс в рамках Математического марафона!**
  
-Лауреатом стал ​опытный марафонец ​**Анатолий Казмерчук!**  +Его лауреатом стал **Анатолий Казмерчук**! Мои поздравления победителю и его достойным конкурентам!
- +
-Серьезную конкуренцию Анатолию составили ​новички **Константин Шамсутдинов** и **Мераб Левиашвили**,​ поделившие второе ​место. ​+
  
 Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания,​ выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными,​ а другие - не очень. На вкус и на цвет... Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания,​ выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными,​ а другие - не очень. На вкус и на цвет...
Строка 22: Строка 20:
  
 Не забывайте,​ пожалуйста,​ присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале. ​ Не забывайте,​ пожалуйста,​ присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале. ​
----- 
  
  ​Ведущий Марафона  ​Ведущий Марафона
 --- //​[[val-etc@yandex.ru|Vladimir letsko]]// --- //​[[val-etc@yandex.ru|Vladimir letsko]]//
  
 +----
  
  
-====== Текущие задачи ====== 
  
-На данный момент текущих задач ​нет.+====== Текущие задачи ====== 
 +---- 
 +Будут!
 ---- ----
  
 ====== Разбор задач ====== ====== Разбор задач ======
----- 
-===== ММ250 ===== 
-  
-**Конкурсная задача ММ250** (14 баллов) 
  
-Найти наименьшее возможное ​количество ребер выпуклого многогранника, у которого сумма длин ребер равна сумме длин диагоналей.+===== ММ260 ===== 
 + ​**Конкурсная задача ММ260** (12 баллов) 
 + 
 +__Задача ММ260 обобщает и развивает ММ231__ 
 + 
 +Пусть ABC - некоторый треугольник, точки K, L, M лежат соответственно на прямых AB, BC и AC, а s - некоторое действительное ​число, отличное от 0 и 1. Треугольник KLM будем называть ​подобно-вписанным в ?ABC, если\\ 
 +AK=sABBL=sBC, CM=sCA;\\ 
 +треугольник KLM подобен треугольнику ABC.\\ 
 +Сколько подобно вписанных треугольников может быть у произвольного треугольника?
  
 **Решение** **Решение**
  
-Привожу решения {{:​marathon:​fiviol_мм250.docx|Виктора Филимоненкова}}, {{:​marathon:​mm250_shamsutdinov.docx|Константина Шамсутдинова}}, {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_250_.pdf|Анатолия Казмерчука}} и {{:​marathon:​мм250.pdf|авторское}}.+Привожу решения {{:​marathon:​mm260_dendr81.pdf|Дениса Овчинникова}}, {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_260.pdf|Анатолия Казмерчука}} и {{:​marathon:​mm260_val.pdf|авторское}}.
  
 **Обсуждение** ​ **Обсуждение** ​
  
-При составлении задач XXV конкурса в рамках Математического марафона я долго не мог найти подходящую кандидатуру на роль ударной заключительной задачи.\\ +ММ260 - плод присущего ведущему духу противоречия. Это ответ на реакцию ряда марафонцев на ММ231, ​не усмотревших у этой задачи интересных обобщений.\\ 
-Придумав о еще не решив) обсуждаемую задачу, ​я полагал,​ что она не тянет на заключительную. Почему?​ Я почему-то сразу уверовал, что верный ответ - 14. Существование подходящего многогранника легко обосновывается. Остается проверить, что многогранники с меньшим числом ребер не годятся. И я начал проверять. И проверил 21 из 22 типов 13-реберных ​многогранниковПри этом только один раз ​обоснование ​того, что сумма длин диагоналей меньше суммы длин реберпотребовало некоторых ​ухищрений. Остальное - сплошная рутина. Оставался последний ​случай. И... тут я понял, что задача вполне годится для юбилейнойРешение стало в разы короче,​ а подходящий ответ - единственным!+Судя по тому, ​что ММ260 конкурсантам понравилась, "месть" ​удалась.
  
-Как обычно, ​последний (и самый трудный) участок дистанции ​дался не всем. Поступило всего ​5 решений ММ250из которых верны лишь 4+Некоторые затруднения,​ возникшие у участников, оказались связаны с исследованием частного случая, когда исходный треугольник равнобедренный, но не равносторонний.  
 +Все марафонцы заметили, что количество подобно-вписанных ​треугольников для таких треугольников меньше, чем для разносторонних, не все правильно выяснили на сколько меньше.
  
-"​Ощущая дыхание в спину"​ со стороны преследователей Анатолий Казмерчук мощно спуртовал, ​рассмотрев несколько аналогов задачи.\\ +В то же времяникто не прошел мимо класса автомедианных (см. авторское решение) треугольников. ​Я столкнулся с этим классом треугольников ​именно при решении ​данной задачи. То, что ​они называются автомедианными я узнал ​позжеот А. Д. Блинкова (хотя сразу обнаружил, что эти треугольники подобны треугольникам из своих медиан). 
-Не исключено, что не меньше ​красот имеется ​и в решении ​Мераба Левиашвили. Но я вынужден признать, что ​мне не удалось продраться сквозь два десятка страниц: без ​единого рисунка (для сравнения ​у Анатолия,кроме чертежей в основном тексте, имеется приложение с тремя десятками рисунков); с многочисленными формулами,​ набранными обычным текстом; массой собственных обозначений, отличных от стандартных; списком опечаток на страницу, присланным отдельно...\\ +Кроме того, мне сразу бросилась в глаза масса замечательных свойств этих треугольников. Часть ​этих свойств приведена в авторском решении. Позже мы с Ярославом Сысосевым обнаружили еще море свойств (большинство из которых оказались нигде ранее не описаны).  
-Точнее,​ удалось, но лишь настолько,​ чтобы понять,​ что ​задача решена и обоснована единственность (с точностью до топологической эквивалентности) требуемого многогранника.  +Возможноони пригодятся для новых марафонских задач. Поэтому я не буду приводить их здесь.
- +
-В конце ​решения Анатолия Казмерчука имеется отсылка к плоскому аналогу задачи. Приведенные там рассуждения,​ по сути, повторяют решение MM2. Было бы красивееесли бы ММ1, ​но составляя ММ1 (как, ​впрочем, и ММ2) ​я еще ​не задумывался над ММ250.+
  
 **Награды** **Награды**
  
-За решение задачи ММ250 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ +За решение задачи ММ260 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ 
-Анатолий Казмерчук - 17;\\ +Анатолий Казмерчук - 13\\ 
-Мераб Левиашвили - 15;\\ +Денис Овчинников ​13\\ 
-Константин Шамсутдинов - 15;\\ +Константин Шамсутдинов - 12\\ 
-Виктор Филимоненков - 14;\\ +Виктор Филимоненков - 11\\ 
-Владислав Франк - 6.+Владислав Франк - 10\\
  
 **Эстетическая оценка задачи - 5 баллов ** **Эстетическая оценка задачи - 5 баллов **
 ---- ----
  
-===== ММ249 ===== 
  
-**Конкурсная задача ММ249** (10 баллов)+===== ММ259 ===== 
 + 
 +**Конкурсная задача ММ259** (баллов)
  
-Пусть k – натуральное число и a – некоторая перестановка 2020-элементного множества. Может ли уравнение x<​sup>​k</​sup>​=a иметь ровно ​2020 решений?+Может ли треугольник с вершинами в центроиде и центрах вписанной и описанной окружностей некоторого треугольника быть\\  
 +a) равновелик;\\ 
 +б) подобен;\\ 
 +в) равен \\ 
 +исходному?
  
 **Решение** **Решение**
  
-Привожу решения {{:​marathon:​мм249-решение-м.л.docx|Мераба Левиашвили}}{{:​marathon:​shamsutdinov_mm249.docx|Константина Шамсутдинова}} и {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_249.docx|Анатолия Казмерчука}}.+Привожу решения {{:​marathon:​mm259_dendr81.pdf|Дениса Овчинникова}} и {{:​marathon:​frank_mm259.pdf|Владислава Франка}}. С рншением ​Анатолия Казмерчука ​можно ознакомиться [[https://​dxdy.ru/​post1490274.html#​p1490274]|тут]].
  
 **Обсуждение** ​ **Обсуждение** ​
  
-Как обычно, ​(и как это бывает в настоящем марафоне к концу дистанции) к последним задачам ряды марафонцев поредели. Впрочем, не столь катастрофически, как это бывало в предыдущих конкурсах+Как обычно,​ к концу соревнования (или очередного этапа, кому как нравитсямарафонцы начали потихоньку уставать и сходить с дистанции
-В то же время, неожиданно обострилась борьба в лидирующей группе. К середине конкурса казалось очевидным, что лидеруАнатолию Казмерчуку, может составить конкуренцию только Константин ШамсутдиновОднако, на финише мощно спуртует Мераб ​Левиашвили, который ​уже настиг Константина и приблизился к Анатолию. И это при том, что ни Константинни Анатолий ​темп не снижали. +Зато оставшиеся участники порадовали разнообразием подходов
 +Например, ​Влад Франк ​прибегнул к комплексной параметризации. Аналогичный прием, примененный ​при решении ​ММ157 (см. ​разбор), привел к короткому изящному решению. Удалось ли добиться ​такого же эффекта для ММ259судите сами.
  
-Честно признаюсь, что я не вник во все детали решения Мерабав котором только перечисление ​принятых условных обозначений занимает 2 страницы (а формулы ​набраны текстом :-()). Думаю, ​рискнувшие заглянуть в его ​решениеменя поймут.  +Некоторое расхождение в оценках связано со строгостью обоснования последнего пункта
-Впрочем, и того, в чем удалось разобраться хватило для самой высокой оценки за ММ249.+За одним исключением. У Виктора Филимоненкова все обосновано строго. Но он почему-то ​рассмотрел треугольник с вершинами в центрах вписанной и описанной окружностей и в ортоцентре (а не центориде, как было в условии). 
 +Такой ​треугольник не может быть не только равен, но и подобен исходному.
  
-Как и ожидалось, большинство конкурсантов не ограничились одним подходящим примером. Дополнительные примеры принесли дополнительные баллы (иногда отрицательные)+Для полноты картины замечу,​ что треугольник с вершинами в центроиде, инцентре и ортоцентре,​ так же как и треугольник из условия, может быть равновелик ​и подобен, но не равен исходному. 
-Но разнообразие сводилось лишь к виду перестановки ​aА с показателем ​степени никто, кроме ​Мераба, особо не заморачивался. Хватило двойки.+В параметризации A(-1;0), B(1;0), C(x;y), где 0≤x<1, (x+1)<​sup>​2</​sup>​+y<​sup>​2</​sup>​ ≤4, единственному треугольнику с вершинами в центроиде, ​инцентре и ортоцентре, ​подобному ​исходному соответствует С(0.6367873395...;​ 0.5201582408...).  
 +Наконец,​ треугольника с вершинами в центроиде, ортоцентре и центре описанной окружности не существует,​ поскольку эти точки лежат ​на прямой Эйлера
 + 
 +Любопытно, что, если в указанной параметризации взять C(0.3246129395...,​ 0.4677703801...),​ треугольник с вершинами в ортоцентре ​и двух точках Аполлония (изодинамических центрах) подобен исходному с коэффициентов подобия довольно близким к 1. 
 + 
 +Я полагаю, что никакой треугольник не может быть равен треугольнику с вершинами в каких-то трех своих замечательных точках. Но пока проверил ​не все сочетания ​замечательных точек из ETC (а там порядка 40000 центров) по три :-) 
  
 **Награды** **Награды**
  
-За решение задачи ММ249 участники Марафона получают следующие призовые баллы:​\\  +За решение задачи ММ259 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ 
-Мераб Левиашвили - 15;\\ +Анатолий Казмерчук - 9\\ 
-Константин Шамсутдинов - 12;\\ +Владислав Франк - 8\\ 
-Анатолий Казмерчук - 12;\\ +Денис Овчинников ​8\\ 
-Виктор Филимоненков - 10;\\ +Константин Шамсутдинов - 7\\ 
-vpb - 10;\\ +Виктор Филимоненков - 5\\ 
-Владислав Франк - 9.+ 
 +**Эстетическая оценка задачи ​4.8  балла **
  
-**Эстетическая оценка задачи - 4.7 баллов ** 
 ---- ----
  
-===== ММ248 ===== 
  
-**Конкурсная задача ММ248** (баллов)+===== ММ258 ===== 
 + **Конкурсная задача ММ258** (баллов)
  
-Найти наименьшее натуральное ​такое, ​что во множестве {(τ(kn))/​(τ(n))|n ∈ N} ровно ​13 целых ​чисел. +Сколько элементов содержит множество сумм квадратов цифр ​квадратов чиселв десятичной записи которых присутствуют по одному разу ​ровно ​три ненулевых цифры: 1, 4, 9? (Нулей может быть сколько угодно).
  
 **Решение** **Решение**
  
-Привожу решения {{:​marathon:​frank_248.pdf|Владислава Франка}},​ {{:​marathon:​merab-мм248.docx|Мераба Левиашвили}} и {{:​marathon:​fiviol_мм248.docx|Виктора Филимоненкова}}. +Привожу решения {{:​marathon:​мм258_fiviol.docx|Виктора Филимоненкова}}, {{:​marathon:​mm258_dendr81.pdf|Дениса ​Овчинникова}} и {{:​marathon:​bukina_mm258.pdf|Анны Букиной}}.
-(Решение Анатолия Казмерчука,​ как всегда, не только ​верно, но и замечательно оформлено, но надо же знакомить публику и новыми лицами Марафона. Впрочем, ​новому участнику среди приведенных решений принадлежит только одно.+
  
 **Обсуждение** ​ **Обсуждение** ​
  
-ММ248 далась ​не всем конкурсантам.  +ММ258 не вызвала ​затруднений ни у кого ​из тех, кто ​прислал решения. Интересночто ​в большинстве присланных решений перебор ​минимизирован настолькочто его вполне можно осуществить вручную.
-Доказательство того факта, что при любом натуральном k существует бесконечно много значений nдля ​которых рассматриваемая дробь будет целым числом, ​разумеется, не означает, таких целых чисел для каждого k будет бесконечно много. Но сам факт, что такая подмена понятий случилась не однажды - свидетельство объективной трудности задачи. +
-Поэтому, на всякий случай,​ еще раз - во множестве {2, 2, 2,​...} ​ровно один элемент - двойка+
-Ответ, превышающий правильный в неприлично большое (1230 десятичных знаков) количество раз тоже был ​оценен невысоко. +
-В остальном, все решения идейно были близки (но при этом почему-то многократно отличались по размерам).+
  
-К моему удивлениюлишь двое ​участников обратили внимание на тот очевидный ​факт, что на месте ​13 в условии могло быть любое другое число.  +Естественные ​обобщения задачи рассмотрели Олег Полубасов и Анатолий Казмерчук. Процитирую Олега:​ 
-отя нельзя исключитьчто это ведущий проморгал это наблюдение в дебрях длинных решений.)+ 
 +"Если рассмотреть всевозможные тройки {a, b, c} от {1, 1, 1} до {9, 9, 9}, то окажется, что размеры множеств сумм могут принимать следующие значения: 
 +2-38, 40, 42-49, 52, 56, 57, 60.  
 +Двухэлементное множество сумм даёт тройка {1, 1, 1}, а 60-элементное – тройка {7, 8, 9}.  
 +Чаще всего (13 раз) встречается размер 24. Размер 25 встречается 7 раз."​ 
 + 
 +Эта техническая ​и достаточно рутинная задача возникла как побочный ​продукт из попытки решить более содержательную задачу.\\ 
 +Легко понять, что ​суммы квадратов цифр ​натурального числа может быть любым натуральным числом (достаточно ограничиться рассмотрением репьюнитов).\\ 
 +Немногим ​сложнее обосновывается,​ что сумма цифр квадрата натурального числа может ​быть любым натуральным числом, сравнимым с 0, 1, 4, 7 (квадратами) по модулю 9.\\ 
 +А вот с суммами квадратов цифр квадратов натуральных ​чисел дело обстоит интереснее.  
 +По-видимому,​ они могут принимать любые ​значения за исключением 23, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 20.\\ 
 +При попытке обосновать ​это ​утверждение и возникла данная задача. Почему именно 1, 4, 9?\\ 
 +Во-первых, сумма число 149 приводит 13, а 1049 - к 19 (эти числа ​наряду с 15, 17 и 18 входят в список небольших чисел, имеющих нетривиальные требуемые представления). 
 +А во-вторых,​ 1, 4, 9 (фигурирующие в условии) - это все ненулевые цифры, являющиеся квадратами,​ а 25 (фигурирующее в ответе) тоже квадрат. Мне показалось,​ что это ​будет уместно в задаче про сумму **квадратов** цифр **квадратов** чисел
 + 
 +Сама же попытка обоснования приведенного предположения утонула в переборе переборов и к задаче не привела.
  
 **Награды** **Награды**
  
-За решение задачи ММ248 участники Марафона получают следующие призовые баллы: ​ +За решение задачи ММ258 участники Марафона получают следующие призовые баллы: ​\\ 
-Владислав Франк - 9; +Анатолий Казмерчук - 8\\ 
-vpb - 9; +Олег Полубасов - 8\\ 
-Анатолий Казмерчук - 8; +Владислав Франк - 8\\ 
-Константин Шамсутдинов - 8; +Константин Шамсутдинов - 7\\ 
-Виктор Филимоненков - 8; +Денис Овчинников - 7\\ 
-Мераб Левиашвили ​- 8; +Виктор Филимоненков - 7\\ 
-Александр Домашенко ​- 3; +Анна Букина - 7.
-Владимир Дорофеев - 1; +
-Анна Букина - 1.+
  
-**Эстетическая оценка задачи - баллов **+**Эстетическая оценка задачи - балла ** 
 +---- 
 +PS: Владислав Франк прислал мне строгое доказательство того, что каждое натуральное число, большее 20, есть сумма квадратов цифр некоторого квадрата.
 ---- ----
  
-===== ММ247 ===== 
  
-**Конкурсная задача ММ247** (баллов)+===== ММ257 ===== 
 + **Конкурсная задача ММ257** (баллов)
  
 +__Задача ММ257 сюжетно связана с ММ237__
  
-Пусть ​k – фиксированное натуральное ​число. Для натуральных ​определим ​функцию f<​sub>​k</​sub>​(n)=lcm(n,​ n+1,..., n+k-1)/​lcm(n+1,​ n+2,..., n+k)} +Студент математического факультета Вася ​Пупкин пропустил (по уважительной причине) занятие по дискретной математике. Однокурсники рассказали,​ что на занятии рассматривался ​некий граф. Но ни один из них не зафиксировал этот граф ​ни с помощью гаджетов, ни на бумагу. Впрочем, Васины однокурсники,​ утверждают,​ что это не страшно,​ поскольку они и так помнят этот граф. В подтверждение своих ​слов они наперебой кинулись вспоминать характеристики графа:​\\ 
-Найти наименьшие значения ​f<​sub>​5</​sub>​(n) и f<​sub>​9</​sub>​(n).+Аня: В графе было ровно 3 связных компоненты.\\ 
 +Ваня: Причем во всех связных компонентах графа имелись циклы.\\ 
 +Даня: А еще среди связных ​ компонент не было изоморфных.\\ 
 +Маня: Число ​ребер в одной из компонент было равно половине общего числа ребер.\\ 
 +Саня: При этом число ребер было равно сумме количеств вершин и связных ​компонент.\\ 
 +Таня: В графе была всего одна вершина степени 3.\\ 
 +Зина: А всего в графе было не более 13 вершин.\\ 
 +Лина: И при этом не было висячих вершин\\ 
 +Нина: А степень одной из вершин не менее чем ​на 2 превосходила степень ​каждой из остальных вершин.\\ 
 +Фаина: Зина, Лина и Нина правы.\\ 
 +Услышавший эти реплики преподаватель сказал, что память подвела ровно одного человека.\\  
 +Сможет ли Вася (умница и отличникоднозначно восстановить граф?\\
  
 **Решение** **Решение**
  
-Привожу решения {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_247.docx|Анатолия Казмерчука}} и {{:​marathon:​bukina_mm247_.pdf|Анны Букиной}}. +Привожу решения {{:​marathon:​fiviol_mm257.docx|Виктора Филимоненкова}} и {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_257.pdf|Анатолия Казмерчука}}.
  
 **Обсуждение** ​ **Обсуждение** ​
  
-ММ247 - обещанное продолжение ММ238. +Сразу несколько участников покритиковали ведущего за то, что он не уточнил, что имеет в виду под "графом".  
-Большинство конкурсантов ​(ряды коих к финишу традиционно начали ​потихоньку редеть) справились с задачей.  +Сначала меня удивила такая реакция: ведь в предудыщих марафонских ​турнирах графы фигурировали десятки раз и подобных вопросов не возникало
-Некоторые изъятия баллов связаны с недостаточной ​обоснованностью ответа, ​ошибкой ​в арифметике и загадочное ​утверждение о простоте числа 289 (я специально ​подбирал, чтобы второй ответ был ​квадратом первого и, надо же простое?!) +Задумавшись я понял, что в большинстве предыдущих задач структура графа, возникающего на том или ином множестве, вводилась ​прямо в условии. 
-Поощрения сделаны за некоторые обобщения.\\ +Впрочем, в ряде задач (ММ105, ММ116, ММ146, ММ153, ММ156) так же как ​и в ММ257 рассматривались абстрактные графы, ​но к неоднозначности это не приводило. А меожет, и приводило... Давно это было, 100 задач назад. 
-Хотя я рассчитывал (и намекал на это при обсуждении ММ238), что участники ​не ограничатся заменой чисел 5 и 9 на произвольное k. +В общем, на будущее: под графом я всегда имею в виду классический граф: непустое ​(обычно конечное) множество вершин и множество ребер, каждое из которых есть двухэлементое множество вершин
-Ограничились :-(\\ +Это не значит, что я зарекаюсь использовать будущих задачах, ​орграфы, ​мультиграфы, гиперграфы, бинарные ​отношения и даже матроиды. Но когда я буду ​использовать такие ​структуры, я отдельно заострю на этом внимание
-Тогда сам сформулирую интересные ​(на мой взгляд вопросы):\\ + 
-Сколько целых значений принимает f<​sub>​k</​sub>​(n) и какие ​целые числа могут быть ​этими значениями? (Целые значения f<​sub>​5</​sub>​(n) - 1,5,7,11. Но напрашивающаяся гипотеза ​о ф(sup(f<​sub>​k</​sub>​(n))) целых значениях f<​sub>​k</​sub>​(n) не подтвердилась)\\ +Составляя задачу, я вдохновлялся ММ237. И начал с того, что продублировал реплику Фаины. Дальнейшие реплики ​подбирались так, чтобы, ​с одной стороны, не было лишних, ​а с другой - граф определялся однозначно. 
-Ясно, что каждое свое значение f<​sub>​k</​sub>​(n) ​принимает конечное число разМожно лизная k без прямого перебора указать ​какое(какие) это будет значение и сколько раз оно достигается?+Вроде, удалось. Хотя задача ​понравилась далеко не всем. Но мне понравиласьПоэтому я, все же, намерен в одном из грядущих ​конкурсов ​заставить Васю и его друзей ​обсудить новый математический объект. 
 + 
 +У тех, кто отозвался, ​задача затруднений не вызвала. Единственный балл ​изъят за излишнее увлечение сестрой таланта. ​  
  
 **Награды** **Награды**
  
-За решение задачи ММ247 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ +За решение задачи ММ257 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ 
-Анатолий Казмерчук - 9;\\ +Анатолий Казмерчук - 10\\ 
-Владислав Франк - 9;\\ +Константин Шамсутдинов - 9\\ 
-Константин Шамсутдинов - 9;\\ +Владислав Франк - 9\\ 
-Владимир Дорофеев - 8;\\ +Денис Овчинников - 9\\ 
-Анна Букина ​7;\\ +Виктор Филимоненков - 9\\ 
-Мераб Левиашвили - 7;\\ +Олег Полубасов - 8.
-Валентин Пивоваров - 6;\\ +
-Александр Домашенко - 6;\\ +
-waxter - 6;\\ +
-Виктор Филимоненков - 5.+
  
-**Эстетическая оценка задачи - 4.балла**+**Эстетическая оценка задачи - 4.балла **
 ---- ----
  
  
-===== ММ246 =====+===== ММ256 ===== 
 +**Конкурсная задача ММ256** (8 баллов)
  
-**Конкурсная задача ММ246** (7 баллов)+При каком наименьшем натуральном n уравнение n{x}<​sup>​2</​sup>​ +{x}=[x] имеет не менее 1000000 решений в рациональных ​числах?
  
 +__Примечание:​ {x} – дробная часть числа x, [x]  – целая часть (пол) числа x.__
  
-Сколько (с точностью до подобия) существует разносторонних треугольников,​ разрезаемых на два равнобедренных более чем одним способом?​ 
  
 **Решение** **Решение**
  
-Привожу решения {{:​marathon:​shamsutdinov_mm246.docx|Константина Шамсутдинова}}{{:​marathon:​fiviol_мм246.docx|Виктора Филимоненкова}} и {{:​marathon:​mm246.pdf|авторское}}+Привожу решения {{:​marathon:​mm256_dendr81.pdf|Дениса Овчинникова}} ​и {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_256.pdf|Анатолия Казмерчука}}. ​С решением **vpb** можно познакомиться в разборе ММ256 на [[https://​dxdy.ru/​post1486803.html#​p1486803 | dxdy.ru]]
  
 **Обсуждение** ​ **Обсуждение** ​
  
-ММ246 оказалась трудным орешком. Половина конкурсантов потеряли нужные ашли лишниетреугольники. +В Марафоне ​неоднократно встречались задачи про функции [x] и {x} (ММ79, ММ176, ММ202, ММ263...)\\ 
-Особенно странным ​оказалось именно приобретение лишних решений. Ведь, в отличие от потери нужных,​ эта ошибка легко проверяется. +Маскируется под них и ММ256Но прозорливые конкурсанты верно разглядели ​в ней ​задачку по арифметике ​(теории чисел). И уверенно ​справились. 
-Правда, за один (наиболее удививший меня) лишний треугольник я не стал штрафовать нашедшего его участника. Речь идет ​о прямоугольном равнобедренном треугольнике, который, в силу своей равнобедренности, в ответ включен не был, ​но в остальном, по мнению приведшего ​его участника, удовлетворял условию (?!).+А вот попыток ​изучить аналоги и обобщения ​было меньше обычного. Единственным, кто ​преуспел в этом оказался (и это не стало неожиданностью ​для ​ведущего) Анатолий Казмерчук.
  
-Кстати, требование ​разносторонности треугольника попало в условие только на основании того, что я так и не смог решить считать ли, например,​ биссектрисы ​углов при основании треугольника с углами 36, 72, 72 градуса разными разрезами. +На этот раз конкурсанты были довольно единодушны при оценивании задачи. ​Соглашусь с ними и я :-) 
- +
-Мне представляется,​ что задача становится проще, а перебор прозрачнее,​ если сразу договориться об упорядочивании углов исходного треугольника.  +
-К моему удивлению этим путем пошли менее половины участников. Тем не менее, некоторые из тех, кто не упорядочивал углы ​исходного треугольника,​ добрались ​до верного ответа ;-) +
- +
-Любопытно,​ что в ответ пошло два треугольника, где требуемые разрезы выходят из разных вершин, и один ​с разрезами,​исходящими из одной вершины. +
- +
-К вопросу о красоте. \\ +
-ММ246, с моей точки зрения,​ одна из лучших в текущем конкурсе. Но с этим мнением согласны не все. Что ж, как говорится,​ о вкусах не спорят.\\ +
-Спорить не буду, но попробую проаргументировать свои предпочтения.\\ +
-Часто наличие нескольких,​ а не одного решения - безусловный минус ​задачи. ​Так было бы, например,​ с ММ244. И я был бы согласен с теми, кто поставил мне в вину наличие нескольких решений,​ если бы решений на самом деле было больше одного. +
-Но для ММ246 наличие трех решений кажется украшением,​ а не дефектом задачи. Ведь они ​принципиально разные. +
-Например,​ два равнобедренных треугольника с углами 36, 72, 72 (градусови 36, 36, 108 (градусов) - разные,​ но не принципиально. Каждый из них возникает при разрезании другого на два равнобедренных. +
-А для разносторонних,​ попавших в ответ это не так. +
-Ну и треугольник с наименьшим углом п/13, IMHO, сам по себе красив в качестве ответа.\\ +
-Свою позицию я прояснил. Готов выслушать аргументы противоположного толка.+
  
 **Награды** **Награды**
  
-За решение задачи ММ246 участники Марафона получают следующие призовые баллы: ​\\ +За решение задачи ММ256 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ 
-Александр Домашенко - 7;\\ +Анатолий Казмерчук - 10\\ 
-Анатолий Казмерчук - 7;\\ +Константин Шамсутдинов - 8\\ 
-Константин Шамсутдинов - 7;\\ +Олег Полубасов - 8\\ 
-Мераб Левиашвили - 7;\\ +Владислав Франк - 8\\ 
-Виктор Филимоненков - 7;\\ +Денис Овчинников 8\\ 
-Валентина Колыбасова 5;\\ +Виктор Филимоненков - 8\\ 
-Валентин Пивоваров - 5;\\ +vpb - 8.
-Владислав Франк - 5;\\ +
-Анна Букина ​5;\\ +
-Владимир Дорофеев - 4.\\+
  
-**Эстетическая оценка задачи - 4.7 балла**+**Эстетическая оценка задачи - 4.7 балла **
 ---- ----
  
-===== ММ245 ===== 
  
-**Конкурсная задача ММ245** (баллов)+===== ММ255 ===== 
 +**Конкурсная задача ММ255** (баллов)
  
-В остроугольном треугольнике ABC провели высоту BH.  +Найти наименьшее натуральное ​число, имеющее ровно 7 представлений в виде ​произведения наибольшего ​возможного количества попарно различных натуральных сомножителей
-Найти отношение площадей треугольников ABH и CBH, если ​первый из них подобен треугольнику ​из своих медиана второй – треугольнику из своих ​высот.+
  
 **Решение** **Решение**
  
-Привожу решения {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_245.docx|Анатолия Казмерчука}}, {{:​marathon:​ariadna_mm245.pdf|Валентины Колыбасовой}} (оба, как обычно,​ подробные,​ с чертежами) ​и {{:​marathon:​fiviol_мм25.docx|Виктора Филимоненкова}} (как обычно,​ краткое, хотя ​и не самое краткое)+Привожу решения {{:​marathon:​fiviol_мм255.docx|Виктора Филимоненкова}}, {{:​marathon:​mm255_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}} и {{:​marathon:​mm255_shamsutdinov.docx|Константина ​Шамсутдинова}}.
  
 **Обсуждение** ​ **Обсуждение** ​
  
-ММ245 ​не вызвала ​больших затруднений у участников. Изъятые баллы - следствие, скореенедостаточной аккуратности. +Несложное обоснование существования чисел, имеющих в точности k представлений в виде произведения наибольшего возможного количества попарно различных ​сомножителей, оценивалось в один дополнительный ​балл. ​Еще 1 или ​два балла начислялись за нахождение наименьших чисел для других значений k
-Хотя у меня были сомнения, стоит ли вообще ​изымать баллыВедь в условии сказано просто "найти ​отношение ​площадей",​ а не "найти отношение площади первого к площади второго"​+
  
-Дополнительный балл добавлен за переформулировку задачи ​таким образом, чтобы ​ответ стал единственным. +ММ255 еще раз продемонстрировала ​полярность вкусов ​и предпочтений конкурсантов. Впрочемиз усредненной эстетической оценки ​видно, что тех, ​кому задача понравилась - большинство. В любом случае еще ​раз ​призываю конкурсантов не забывать присылать свои оценки задач. И использовать шкалу оценок по полнойОценка по однобалльной шкале не позволит ведущему учесть ваши предпочтения при составлении новых задач (хотя предпочтея ведущего, по-видимому, в любом случае будут иметь приоритет).
-У меня тоже возникало желание добиться ​единственности ответа. Но я не стал ​делать этого, решив отловить тех, кто потеряет один ответ. Капкан не сработал.+
  
 **Награды** **Награды**
  
-За решение задачи ММ245 участники Марафона получают следующие призовые баллы:​\\  +За решение задачи ММ255 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ 
-Александр Домашенко - 6;\\ +Константин Шамсутдинов - 10\\ 
-Анатолий Казмерчук - 5;\\ +Олег Полубасов ​9\\ 
-Константин Шамсутдинов 5;\\ +Анатолий Казмерчук - 8\\ 
-Мераб Левиашвили - 5;\\ +Владислав Франк 8\\ 
-Виктор Филимоненков - 5;\\ +Денис Овчинников ​8\\ 
-Анна Букина - 5;\\ +Виктор Филимоненков - 7\\ 
-Валентина Колыбасова - 5;\\ +Владимир Дорофеев - 4. 
-Владимир Дорофеев - 5;\\ + 
-Владислав Франк - 4;\\ +**Эстетическая оценка задачи ​- 4.4 балла **
-Валентин Пивоваров - 4.+
  
-**Эстетическая оценка задачи - 4.3 балла** 
 ---- ----
  
-===== ММ244 ===== 
  
-**Конкурсная задача ​ММ244** (6 баллов)+===== ММ254 =====
  
-Галя предложила Ане, Боре и Васе такую ​загадку:\\ +**Конкурсная задача ММ254** (6 баллов
-- Я задумала три попарно различных ненулевых цифры. Сейчас я по секрету сообщу Ане сумму квадратов, ​Боре произведение, а Варе сумму задуманных цифр. Попробуйте отгадать эти цифры. ​  + 
-Узнав сумму ​квадратов произведение и сумму, Аня, Боря и Вася сначала задумались, а затем ​разговорились:​ \\ +Вася ​вписал круг в треугольник ​со сторонами 3, 4, 5. И вписывает новые круги такчто каждый ​последующий касается двух сторон треугольника ​и одного из предыдущих кругов. Может ли суммарная ​площадь ​кругов превысить ​80% от площади треугольника и на каком шаге руге) может ​случиться это событие?
-А: Я не могу определить, что это за цифры.\\ +
-Б: И я не могу.\\ +
-В: И я тоже.\\ +
-A: Тогда я их знаю!\\ +
-Б: После этой реплики ​и я их знаю.\\ +
-Что это за тройка цифр? \\ +
-Примечание: У Ани, Бори и Васи все хорошо с арифметикой и логикой.+
  
 **Решение** **Решение**
  
-Привожу решения {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_244.docx|Анатолия Казмерчука}} ​и {{:​marathon:​shamsutdinov_mm244.docx|Константина Шамсутдинова}}. +Привожу решения {{:​marathon:​мм254_fiviol.docx|Виктора Филимоненкова}}{{:​marathon:​mm254_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}} и {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_254.pdf|Анатолия Казмерчука}}.
  
 **Обсуждение** ​ **Обсуждение** ​
  
-ММ244 ​оказалась первой задачей юбилейного конкурсавызвавшей серьезные затруднения у участников. В отличие ​от большинства трудных ​задач из предыдущих конкурсов, затруднения не остановили конкурсантов ​и они прислали решения +В отличие от прошлой задачи, при решении ММ254 избежали технических ​ошибок (хотя ошибиться было где). Но неожиданно вернулись проблемы ​с пониманием условия и вопроса задачи. 
-Тем ​самым, трудности возникли уже у ведущего:\\  +И если для ММ251 такие проблемы были вполне ожидаемы (я уже объяснял, почему ​сознательно не стал доскональнее прописывать условие той ​задачи), то ММ254 ​представлялась мне сформулированной ясно и однозначно
-найти ошибку ​в длинном правдоподобном ​решении;\\ +Единственный нюанс - учитывать ​ли первый ​круг. Для придания однозначности я продублировал ​слово "шагов",​ словом "кругов",​ поясняя,​ что первый круг тоже следует считать. Тем ​не менеесосчитали его не все. Но я заранее решил, что не буду ​считать это за ошибку
-разобраться ​в программе, написанной на неизвестном языкеи присланной вместо решения;\\ +Я не снижал баллы и за отсутствие явного указания на то, что Вася ​может и не добраться ​до 80% даже при бесконечном числе шагов (ведь в задаче спрашивалось "​может ли площадь кругов превысить 80%", а не "​превысит ли"​). 
-как оценивать логическую ошибку при верной арифметике;\\ +Теперь ​о замечаниях, за которые баллы снимались. 
-как оценивать арифметическую ошибку при верной логике, не повлиявшую на ответ;\\ +Валентин Пивоваров почему-то решил, что за один шаг обязательно вписывается сразу по 3 круга (в каждый из углов треугольника). Перечитав условие я убедился, что ​в нем нет ​намеков на такое толкование. Тем не менее, я счел возможным поставить Валентину достаточно высокий балл, поскольку параметры трех геометрических прогрессий были определены ​верно, то есть, было сделано практически все, что нужно для решения
-как оценивать арифметическую ошибку при верной логике, повлиявшую на ответ;\\ +Еще два участника почему-то ограничились нахождением наименьшего количества ​кругов, покрывающих более 80% площади треугольника. Проанализировав условие, я пришел к выводу,​ что вина за такую трактовку лежит исключительно на этих участниках :-) 
-наконец, ​как оценить верный ответ при отсутствии ​решения+Наконец, ​в одном из решений превышение 80% на любом кругеначиная с 6-го, отмечается,​ но отдельно не обосновывается. Хотя легко подобрать начальные данные так, что правильным ​ответом будет, например, такой "требуемый процент будет превышен ​на 3-м, 4-м или 5-м шаге"​.
  
-Отмечу, ​что перечисленные ситуации (наряду с темукоторые не вызвали ​вопросов) встречаются в присланных решениях+Анатолий Казмерчук нашел диапазонв котором может изменяться отношение площади треугольника к предельной сумме площадей ​кругов в зависимости от формы треугольника. 
 +Олег Полубасов показал, как приближаться к границам этого диапазона, но не обосновал непреодолимость этих границ.  
 +Владислав Франк получил нижнюю границу.
  
-Наиболее коварный момент в задаче - второе заявление ​Бори.  +Отдельно отмечу замечательное наблюдение ​Олега Полубасова - поразительную близость отношения площади египетского треугольника к сумме площадей вписанного круга и трех кругов, вписанных ​в углы треугольника, к π/2
-Сразу несколько конкурсантов проигнорировали начало этого заявления... и получили лишние решения. Меня удивило, что это их не удивило (иначе они бы перепроверили свои рассуждения).+
  
-Представленные ​ниже призовые баллы - плод моих мучительных раздумий и рандомных порывов. Так что, не судите строго (как старался делать ​и я). +Участники поставили передо мной непростую задачу: зачастую те решения,​ которые содержали обобщения задачи, одновременно имели перечисленные выше ​недостатки. Во что вылилось ​добавление ​дополнительных ​баллов при одновременном вычитании основных см. ниже.
- +
-На [[https://​www.facebook.com/​groups/​mathpuz/​1378859588956546/?​comment_id=1378879308954574&​reply_comment_id=1379017442274094&​notif_id=1569669688346425&​notif_t=group_comment_mention|FB]] можно найти несколько разновидностей ММ244, ​предложенных Константином Кнопом. Там же есть решение ​Олега Полубасова (ушедшего в марафонское подполье)+
  
 **Награды** **Награды**
  
-За решение задачи ММ244 участники Марафона получают следующие призовые баллы:​\\  +За решение задачи ММ254 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ 
-Анатолий Казмерчук - 7;\\ +Анатолий Казмерчук - 7\\ 
-Константин Шамсутдинов - 6;\\ +Владислав Франк - 7\\ 
-Мераб Левиашвили - 6;\\ +Олег Полубасов - 7\\ 
-Владислав Франк - 6;\\ +Константин Шамсутдинов - 6\\ 
-Виктор Филимоненков - 5;\\ +Виктор Филимоненков - 6\\ 
-Анна Букина - 4;\\ +Денис Овчинников - 5\\ 
-Валентин Пивоваров - 4;\\ +Валентин ​Пивоваров - 4.
-Валентина Колыбасова - 3;\\ +
-Антон Никонов - 3;\\ +
-Александр Домашенко - 3;\\ +
-Лев Песин ​3.+
  
-**Эстетическая оценка задачи - 4.4 балла** +**Эстетическая оценка задачи - 4.4 балла **
-----+
  
 +----
  
-===== ММ243 ===== +===== ММ253 =====
- +
-**Конкурсная задача ММ243** (5 баллов)⊥+
  
 +**Конкурсная задача ММ253** (5 баллов)
  
-В треугольнике ABC a<b<c и a⋅l<sub>a</​sub>​=c⋅l<sub>c</​sub> ​Найти угол β+Сторона основания правильной ​треугольной призмы ABCA<sub>1</sub>B<sub>1</​sub>​C<sub>1</​sub> ​равна 2. Сечение призмы,​ проходящее через середину отрезка AB<​sub>​1</​sub>​ перпендикулярно ему имеет площадь 28sqrt(39)/​81Найти объем призмы?​
  
 **Решение** **Решение**
  
-Привожу решения {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_243.docx|Анатолия Казмерчука}}, {{:​marathon:​ariadna_mm243.pdf|Валентины Колыбасовой}} и {{:​marathon:​bukina_mm243.pdf|Анны Букиной}} (только они не поленились сделать чертежи)+Привожу решения {{:​marathon:​mm253_shamsutdinov.docx|Константина Шамсутдинова}} амечательное своей краткостью), ​{{:​marathon:​mm253_dziubenko.pdf|Василия Дзюбенко}} (замечательное своей основательностью)и {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_253.pdf|Анатолия Казмерчука}} ​(как всегда, замечательное ​во всех отношениях).
- +
-Еще одно решение ({{:​marathon:​fiviol_мм243.docx|Виктора Филимоненкова}}) - пример одного из наиболее кратких решений+
  
 **Обсуждение** ​ **Обсуждение** ​
  
-Задача не вызвала затруднений у конкурсантов.  +Предлагая эту ​задачу, я изначально был уверен, что ​участники не попадутся в небольшую ловушку - наличие двух случаев. Но некоторые ответы на ММ251 эту уверенность поколебали
-Зато присланные решения довольно разннобразны. \\ +Как выяснилось, зря. Все ​присланные решения ​содержат по два ответа. Правда,​ в некоторых из решений по одному (разному) ответу ​оказались неверны ​из-за вычислительных ошибок. 
-Тем самым, они оправдали ​ожидания ведущегополучившего данный результат в качестве ​побочного продукта при решении более сложной задачи. + 
-Соответственнои решение ММ243 получилось весьма громоздким. Искать ​более простые решения ​ведущий ​не стал (хотя подозревал, что они есть), доверив ​это участникам Марафона. ​+Составляя задачу, я долго ​бился ​над тем, чтобы оба ответа были "​приличными"​. Если под приличностью ​понимать отсутствие многоэтажных радикалов,​ то задуманное осуществить удалось.  
 +Но сделать оба ​ответа совсем компактными я так и не смог. Остановился на варианте, когда более сложный случай пятиугольного сечения приводит к более простому ответу
 + 
 +Анатолий Казмерчук исследовал ​вопрос о количестве решений задачи в зависимости от соотношения между стороной основания призмы и площадью сечения
  
 **Награды** **Награды**
  
-За решение задачи ММ243 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ +За решение задачи ММ253 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ 
-Анатолий Казмерчук - 6;\\ +Анатолий Казмерчук - 6\\ 
-Александр ​Домашенко - 5;\\ +Денис Овчинников - 5\\ 
-Константин Шамсутдинов - 5;\\ +Василий Дзюбенко ​- 5\\ 
-Мераб Левиашвили - 5;\\ +Владислав Франк - 5\\ 
-Владислав Франк - 5;\\ +Константин ​Шамсутдинов - 5\\ 
-Валентина ​Колыбасова - 5;\\ +Валентин Пивоваров - 5\\ 
-Анна Букина - 5;\\ +Олег Полубасов - 4\\ 
-Валентин Пивоваров - 5;\\ +Виктор Филимоненков - 4.
-Виктор Филимоненков - 5;\\ +
-Антон Никонов - 3.+
  
-**Эстетическая оценка задачи - 4.балла**+**Эстетическая оценка задачи - 4.балла **
 ---- ----
  
  
-===== ММ242 ===== +---- 
- +===== ММ252 ===== 
-**Конкурсная задача ММ242** (баллов)+  
 +**Конкурсная задача ММ252** (балла)
  
-На сайте проводится опрос, кого из m номинированных футболистов посетители сайта ​считают лучшим по итогам сезона. Каждый посетитель голосует один раз за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого футболиста - доля голосов,​ отданных за него, в процентах, округленных ​до целого ​числа. После тогокак ​проголосовали n посетителейсуммарный рейтинг номинантов составил 95%.\\ +Для числа 90 существуют две пары представлений в виде произведения трех сомножителей таких, что ​суммы сомножителей внутри каждой пары одинаковы:  
-a) При каком наименьшем m такое возможно?​\\ +90=1⋅9⋅10=2⋅3⋅15, ​ 1+9+10=2+3+15;​\\ 
-b) При каком наименьшем n такое ​возможно?​\\  +90=2⋅5⋅9=3⋅3⋅10, ​ 2+5+9=3+3+10.\\ 
-c) При каком наименьшем m+n такое ​возможно?+Доказать, что существует бесконечно много натуральных чисел вида p<​sup>​k</​sup>​q (pq – простые, k – натуральное), обладающих таким ​свойством.
  
 **Решение** **Решение**
  
-Привожу решения {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_242.docx|Анатолия Казмерчука}} и {{:​marathon:​ariadna_mm242.pdf|Валентины Колыбасовой}}.+Привожу решения {{:​marathon:​mm252_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}},​ {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_252.pdf|Анатолия Казмерчука}} и {{:​marathon:​mm252_ovcvinnikov.pdf|Дениса Овчинникова}}.
  
 **Обсуждение** ​ **Обсуждение** ​
  
-Судьбу ​задачи ММ242 решал ответ на 3-й вопрос. Придумав условие, я сразу для себя решил, что если в наименьшем m+n не будут участвовать ни наименьшее m, ни наименьшее n, то задача ​будет достаточно интереснаа в противном случае скучна. О том, ​что можно будет заменить в условии число 95 (взятое от фонаря) я в тот момент почему-то не думал.+На задачу ММ252 поступило существенно меньше решений,​ чем ​на ММ251 :-( \\ 
 +И это ​вопреки тому, что добавилось ​два новых участника: ​один относительно новый (в рамках текущего конкурса)а другой - новый участник Марафона в целом.\\ 
 +Некоторые ​из "​пропавших"​ (надеюсь, все же, отлучившихся) конкурсантов признались, что они не справились с ММ252. При томчто задача, на мой взгляд, весьма проста. Ведь бесконечная серия подходящих чисел строится из одного подходящего числа тривиально. По-видимому, ​проблема ​в нахождении одного подходящего примера.\\ 
 +В этой ​связи еще раз подчеркну (в первую очередь, для тех, кто присоединился ​к Марафону недавно) принципиальное отличие Марафона от олимпиадыпроводимой "​здесь и сейчас"​. Решение марафонских задач предполагает использование любых источников. Использование вычислительной мощи компьютера тоже не считается зазорным.  
  
-Я был уверен, что наиболее сложен пункт c, и ожидал ошибок ​именно там. К чести конкурсантов ​с этим пунктом справились все. Но одному из участников неожиданно не покорился пункт b. Еще ​более неожиданной ​для меня были две попытки дать неверный ответ к пункту a, в связи с альтернативной ​трактовкой термина "округление"Мудрые составители ЕГЭ-шной ​задачи оей навеяна ММ242) дали полное определение правил округления прямо в условии, а я был ​уверен, ​что у конкурсантов с этим проблем ​не будет...+Анатолий Казмерчук доказал, что среди степеней простых чисел нет чисел с рассматриваемым свойством.\\ 
 +Денис Овчинников предпринял попытку доказать, что таковых нет и среди чисел p<​sup>​k</​sup>​q, ​при p > 2. Правда,​ в его рассуждении (это признает и сам Денис) есть "темное пятно"​. Но, возможно, доказательство можно довести до ума. 
 +Олегу Полубасову удалось построить ​более одной ​серии рассматриваемых чисел. Для этого Олег ​подловил ​ведущего ​на неаккуратной ​формулировке (ох уж эти формулировки!)В самом ​деле, в условии ​сказано, что исходное число - натуральное. Но про натуральность сомножителей (которую имел в виду ведущий и почти все ​конкурсанты) ничего не говорится.
  
-Любопытны примерыприведенные участниками в подтверждение ответа 11 к пункту a. В них встретились следующие значения n:\\ +Интересноявляется ли найденная серия единственной если, все жерассматривать ​разложения на натуральные сомножители
-29 - 3 раза;\\ + Полагаю, что ​для всех подходящих ​серий p = 2, но при этом допускаю, что серий может быть много. Впрочем, это только мои предположения
-31 - 2 раза;​\\ +
-67 - 1 раз;\\ +
-73 - 1 раз;\\ +
-201 - 2 раза;​\\ +
-10000 - 2 рвза. +
- +
-Я не стал штрафовать ​участников ни за неверное утверждение, что минимальное n, при котором достигается m = 11, равно 31 (ведь в задаче про это ​не спрашивалось), ​ни за краткость в обоснованиях, полагая, что ​ссылка на перебор,​ с правильным указанием границ перебора ​является (при наличии верного ответа) ​достаточным обоснованием. +
- +
-Я ожидал достаточно массового упоминания ​того факта, что суммарный рейтинг ​может быть ​любым целым числом в пределах ​от 0 (например, каждый из 201 номинантов получил по 1 голосу) до 200 (напримеркаждый из 200 номинантов получил по 1 голосу). Однако данное утверждение ​обнаружилось лишь в одной работе ​и было ​поощрено дополнительным баллом.+
  
 **Награды** **Награды**
  
-За решение задачи ММ242 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ +За решение задачи ММ252 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ 
-Анатолий Казмерчук - 6;\\ +Анатолий Казмерчук - 5\\ 
-Владимир Дорофеев - 6;\\ +Олег Полубасов - 5\\ 
-Александр Домашенко - 5;\\ +Денис Овчинников - 5\\ 
-Константин Шамсутдинов - 5;\\ +Виктор Филимоненков - 4\\ 
-Мераб Левиашвили - 5;\\ +Василий Дзюбенко ​4\\ 
-Владислав Франк - 5;\\ +Владислав Франк - 4\\ 
-Валентина ​Колыбасова - 5;\\ +Константин ​Шамсутдинов - 4\\ 
-Антон Никонов - 5;\\ +Валентин Пивоваров - 1.
-Анна Букина - 5;\\ +
-Валентин Пивоваров - 5;\\ +
-Виктор Филимоненков - 4.+
  
-**Эстетическая оценка задачи - 4.балла**+**Эстетическая оценка задачи - 3.балла **
 ---- ----
  
-===== ММ241 ===== 
  
-**Конкурсная задача ММ241** (балла)+===== ММ251 ===== 
 +  
 +**Конкурсная задача ММ251** (балла)
  
-При ​каких ​натуральных n множество {1, 2, …, n} можно ​разбить на два подмножества такчто произведение ​элементов первого подмножества равно сумме элементов второго?+Из книги вырвано несколько страниц. Сумма номеров оставшихся страниц 5001. Пусть n – наименьшее ​возможное число ​страницкоторое ​могло быть в этой книге изначально. Найдите наибольший ​возможный номер отсутствующей страницы, при ​условии, что в книге было n страниц.
  
 **Решение** **Решение**
  
-Привожу решения {{:​marathon:​domashenko_mm241.docxлександра Домашенко}} и {{:​marathon:​ariadna_mm241.pdf|Валентины Колыбасовой}}.+Привожу решения {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_251.pdf|Анатолия Казмерчука}} и {{:​marathon:​mm251_fomina.docx|Елены Фоминой}} ​(новичка Марафона).
  
-**Обсуждение**+**Обсуждение** ​
  
-На первую ​задачу юбилейного Марафонского конкурса ​поступило 10 решений+Совершенно неожиданно ​задача ММ251, которую я считал ​легкой и поместил в конкурс "​для разогрева", вызвала затруднения у значительного ​числа ​конкурсантов, в том числе ​у признанных асов. 
-Радует ​появление сразу троих новых участников. Огорчает ​исчезновение примерно такого же числа участников предыдущего ​конкурса. Призываю их подключиться к конкурсу ​со следующей задачи.+Кроме неверных ​решений ​я получил также некоторые упреки за неоднозначность формулировки:\\ 
 +Из книги нельзя ​вырвать страницы - только листы;\\ 
 +Не уточнено, подходит ли одна страница под формулировку "несколько ​страниц";​\\ 
 +Не указанона какой стороне разворота книги находится ​первая ​страница;​\\ 
 +не указано, является ли печать (и соответственно нумерация) двусторонней...
  
-Задача ММ241 ​не вызвала затруднений ​у большинства конкурсантов.  +Я исходил из того, ​что на каждом листе расположены ​две страницы, причем меньший из номеров нечетен. Я ни разу ​не встречал книги, где на правом развороте ​были ​бы страницы с четными номерами (и сомневаюсь в существовании таких диковин)Переплетенные документы с односторонней печатью, я, конечно, встречал, но это были отчеты, ​дипломные работы, диссертации... и ни разу не книги. (Правда, мне указали, что ​самиздатовская книга может иметь одностороннюю печать.)\\ 
-Но был ​один момент, вызвавший разногласия участников. ​Он касается разрешимости задачи для значений n=1 и n=3. +Что касается толкования слова "​несколько", ​на мой взгляд,​ одна ​страница вполне подошла бы под это понятие. Но, поскольку я имел в виду обычную книгу с двусторонней печатьюэтот момент не важен. Каждый вырванный лист - это пара ​вырванных страниц.\\ 
-Участники разделись на категории:\\  +Я не оговорил эти ​моменты вполне сознательнополагая, что ​без этих нюансов ​задача ​станет совсем уж тривиальной. Впрочем, я был уверен, что и эти моменты не вызовут затруднений для подавляющего большинства участников. Но ошибся. Наверное, часть конкурсантов расслабились за лето и еще ​не вошли в форму.\\ 
-первые (Константин Шамсутдинов и Владислав Франк) считают, что задача разрешима для каждого из этих n;\\ +Каждый из перечисленных ​моментов,​ стал для ​кого-то камнем преткновения. Еще двое конкурсантов споткнулись о домысленное ​условие,​ что страницы вырывались подряд.
-вторые (их большинствополагают, что задача ​разрешима для n=3, но не для n=1;\\ +
-наконец Александр Домашенко придерживается ​мнения, что ​задача не разрешима для обоих упомянутых n.+
  
-Александр ​не проаргументировал свое мнение, что постановка задачи имеет смысл, начиная с n=4. Полагаюон отталкивался от бинарности ​операций сложения и умножения. +Даже некоторые из техкто пришел к верному ​ответу, рассуждали, на мой взгляд, не вполне строго. Например, вывод, что в книге ​было ​100 страниц, сделанный на основании того, что 5050 наименьшее треугольное ​число, превышающее 5001. Ведь 5050 превышает и, скажем, 5037Ноесли бы сумма оставшихся страниц была 5037, в книге изначально должно было быть больше 100 страниц 
-Аргументы Владислава и Константина - произведение элементов пустого множества равно 1поэтому для n=1 можно поместить 1 в первое подмножество, а во второе не помещать ничего. +Другим неаккуратным шагом стало отбрасывание варианта с одной страницей не на основании ​того, что на одном листе находятся две страницы, а из-за того, что "один" - это не "несколько". 
-Я согласен с аргументом про произведение ​элементов пустого множествано... В формулировке идет речь ​о разбиении. А в разбиении по определению участвуют ​только непустые подмножества+Я не стал придираться к этим моментам. 
-Поэтому (а вовсе не из конформизма) я склонен ​присоединиться к большинствуНо при этом ​не снижал баллы тем, кто ​придерживается ​альтернативных ​мнений.+
  
-Дополнительные баллы начислены за успешный поиск разбиений, не попадающих под общее описание (упоминание наличия таких ​разбиений и прведение единичного примера не учитывались)+Самым ​предусмотрительным оказался Виктор Филимоненков, рассмотревший как классические книжкитак ​и их альтернативные разновидности.\\ 
-Мераб Левиашвили предложил ​несколько простых вариаций на тему задачи. Уточняю для него и других новичков Марафона, что дополнительными баллами такие предложения оцениваются при условии, что они содержат какие-то продвижения в указанных направлениях (ну, или если покажутся ведущему неожиданными и очень красивыми).  +А единственным ​конкурсантам, рассмотревшим обобщение ​задачи стал ​Анатолий Казмерчук. Он выяснил, какие числа могут быть ​суммами номеров вырванных ​страниц.
- +
-Напоминаю как ​новичкам, так и некоторым забывчивым старожилам,​ что я жду от вас эстетических оценок предлагаемых задач.+
  
 **Награды** **Награды**
  
-За решение задачи ММ241 участники Марафона получают следующие призовые баллы:​\\  +За решение задачи ММ251 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ 
-Александр Домашенко 6;\\ +Анатолий Казмерчук - 4\\ 
-Константин Шамсутдинов - 5;\\ +Виктор Филимоненков - 3\\ 
-Анатолий Казмерчук ​4;\\ +Олег Полубасов ​3\\ 
-Мераб Левиашвили ​4;\\ +Елена Фомина - 3\\ 
-Виктор Филимоненков - 4;\\ +Владимир Дорофеев - 3\\ 
-Владислав Франк - 4;\\ +Владислав Франк - 3\\ 
-Валентина ​Колыбасова 4;\\ +Константин ​Шамсутдинов - 3\\ 
-Антон Никонов 4;\\ +Константин Кноп - 1\\ 
-Владимир Дорофеев - 4;\\ +Александр Домашенко - 1\\ 
-Анна Букина - 2.+Валентин Пивоваров - 1\\ 
 +Анна Букина - 1\\ 
 +cubaca - 1.
  
-**Эстетическая оценка задачи - 4.5 балла**+**Эстетическая оценка задачи - 4 балла **
 ---- ----
 +
  
  
 ~~NOTOC~~ ~~NOTOC~~
 

 


Страница: [[marathon:about]]

marathon/about.1575106416.txt · Последние изменения: 2019/11/30 12:33 — letsko
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006