Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

--- marathon:about [2020/05/02 11:26]
letsko [Математический марафон]
+++ marathon:about [2021/06/17 17:02] (текущий)
letsko [Текущие задачи]
@@ Строка 8: / Строка 8: @@
 ----
+**Завершен XXVII конкурс вамках Математического марафона**
-Стартовал **XXVI конкурс в рамках Математического марафона!**
+**Мои поздравления победителю конкурса, Мерабу Левиашвили, призерам, Анатолию Казмерчуку и Олегу Полубасову, а также всем тем, кто составил им достойную конкуренцию**
-Активная фаза (разбор задач), как обычно, начнется осенью. Но решения можно (и нужно) присылать прямо сейчас.
 Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания, выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными, а другие - не очень. На вкус и на цвет...
-Но если любите поломать голову над нестандартными задачами, участвуйте, не стесняйтесь.
+Но если вы любите поломать голову над нестандартными задачами, участвуйте, не стесняйтесь.
 Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас.
 Не забывайте, пожалуйста, присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале.
-----
  Ведущий Марафона
 --- //[[val-etc@yandex.ru|Vladimir letsko]]//
+[[Afterword XXVII |Послесловие к XXVII конкурсу]]
+----
-====== Текущие задачи ======
-На данный момент текущих задач нет.
+====== Текущие задачи ======
 ----
+**На данный момент отсутствуют.**
+----
 ====== Разбор задач ======
 ----
-===== ММ250 =====
+=====
+Вектором граней выпуклого многогранника P назовем набор [f<sub>3</sub>, f<sub>4</sub>, …, f<sub>s</sub>], где f<sub>i</sub> – количество i-угольных граней P, а s - наибольшее число сторон грани. Будем говорить, что P относится к классу m, если max(f<sub>i</sub>) = m.
-**Конкурсная задача ММ250** (14 баллов)
-Найти наименьшее возможное количество ребер выпуклого многогранника, у которого сумма длин ребер равна сумме длин диагоналей.
+----
+**Конкурсная задача ММ270** (16 баллов)
+Найти наибольшее возможное количество граней многогранника класса m.
 **Решение**
-Привожу решения {{:marathon:fiviol_мм250.docx|Виктора Филимоненкова}}, {{:marathon:mm250_shamsutdinov.docx|Константина Шамсутдинова}}, {{:marathon:kazmerchuk_mm_250_.pdf|Анатолия Казмерчука}} и {{:marathon:мм250.pdf|авторское}}.
+Привожу решения призеров конкурса, {{:marathon:mm_270_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}} и {{:marathon:kazmerchuk_mm_270.pdf|Анатолия Казмерчука}}, а также обобщение задачи победителя конкурса {{:marathon:обобщение-мм270.docx|Мераба Левиашвили}} .
 **Обсуждение**
-При составлении задач XXV конкурса в рамках Математического марафона я долго не мог найти подходящую кандидатуру на роль ударной заключительной задачи.\\
+В отличие от ММ269, где вопрос задачи был сформулирован для частных значений m, а обобщали его сами конкурсанты, в ММ270 сразу же был сформулирован общий вопрос. Объясняется это просто. В ММ269 ответа на общий вопрос ведущий на момент опубликования задачи не знал (и даже склонялся, но, к счастью не "доказал" неверный ответ). А для ММ270 у меня был верный обоснованный ответ.
-Придумав (но еще не решив) обсуждаемую задачу, я полагал, что она не тянет на заключительную. Почему? Я почему-то сразу уверовал, что верный ответ - 14. Существование подходящего многогранника легко обосновывается. Остается проверить, что многогранники с меньшим числом ребер не годятся. И я начал проверять. И проверил 21 из 22 типов 13-реберных многогранников. При этом только один раз обоснование того, что сумма длин диагоналей меньше суммы длин ребер, потребовало некоторых ухищрений. Остальное - сплошная рутина. Оставался последний случай. И... тут я понял, что задача вполне годится для юбилейной. Решение стало в разы короче, а подходящий ответ - единственным!
-Как обычно, последний (и самый трудный) участок дистанции дался не всем. Поступило всего 5 решений ММ250, из которых верны лишь 4.
+Эта ситуация выбила почву из под ног большинства любителей обобщений. Да, практически все, решившие ММ270, нашли заодно и наибольшие количества вершин и ребер m-многогранников. Но ответы на эти вопросы становятся очевидны при успешном решении основной задачи. Единственным, кто изыскал возможности пообобщать стал Мераб Левиашвили. Он перешел от рассмотрения многогранников к рассмотрению простых (каждая вершина имеет степень n) политопов размерностей, больших 3. У таких политопов существуют грани разных размерностей. Соответственно можно рассматривать разные аналоги m-многогранников. Мераб остановился на случае двумерных граней. На основании известных соотношений Дена-Соммервиля он получил наименьшие значения m, для которых существуют n-мерные политопы класса m и верхние оценки для числа граней таких политопов для n \in {4, 5}, а также некоторые оценки для n \in {6, 7, 8}. Я привожу только обобщение задачи (присланное Мерабом отдельным документом), в том числе, и по причине слишком большого веса основного решения.
-"Ощущая дыхание в спину" со стороны преследователей Анатолий Казмерчук мощно спуртовал, рассмотрев несколько аналогов задачи.\\
+Во всех присланных решениях имеется содержится ответ 7m-4 для больших значений m. Разнятся эти решения степенью гипотетичности и обоснованности данного ответа, а также количеством частных значений m, подтверждающих данную гипотезу (это касается решений, где 7m-4 именно гипотеза).
-Не исключено, что не меньше красот имеется и в решении Мераба Левиашвили. Но я вынужден признать, что мне не удалось продраться сквозь два десятка страниц: без единого рисунка (для сравнения - у Анатолия, кроме чертежей в основном тексте, имеется приложение с тремя десятками рисунков); с многочисленными формулами, набранными обычным текстом; массой собственных обозначений, отличных от стандартных; списком опечаток на страницу, присланным отдельно...\\
-Точнее, удалось, но лишь настолько, чтобы понять, что задача решена и обоснована единственность (с точностью до топологической эквивалентности) требуемого многогранника.
-В конце решения Анатолия Казмерчука имеется отсылка к плоскому аналогу задачи. Приведенные там рассуждения, по сути, повторяют решение MM2. Было бы красивее, если бы ММ1, но составляя ММ1 (как, впрочем, и ММ2) я еще не задумывался над ММ250.
 **Награды**
-За решение задачи ММ250 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\
+За решение задачи ММ270 участники Марафона получают следующие призовые баллы:\\
-Анатолий Казмерчук - 17;\\
+Мераб Левиашвили - 18;\\
-Мераб Левиашвили - 15;\\
+Олег Полубасов - 16;\\
-Константин Шамсутдинов - 15;\\
+Анатолий Казмерчук - 16;\\
-Виктор Филимоненков - 14;\\
+Александр Романов - 16;\\
-Владислав Франк - 6.
+Константин Шамсутдинов - 10;\\
+Виктор Филимоненков - 10;\\
+Денис Овчинников - 8.\\
+Эстетическая оценка задачи - 4.8 балла
-**Эстетическая оценка задачи - 5 баллов **
 ----
-===== ММ249 =====
-**Конкурсная задача ММ249** (10 баллов)
+===== ММ269 =====
+ **Конкурсная задача ММ269** (11 баллов)
-Пусть k – натуральное число и a – некоторая перестановка 2020-элементного множества. Может ли уравнение x<sup>k</sup>=a иметь ровно 2020 решений?
+Какова максимальная возможная степень вершины выпуклого многогранника\\
+a) класса 3;\\
+b) класса 4?
 **Решение**
-Привожу решения {{:marathon:мм249-решение-м.л.docx|Мераба Левиашвили}}, {{:marathon:shamsutdinov_mm249.docx|Константина Шамсутдинова}} и {{:marathon:kazmerchuk_mm_249.docx|Анатолия Казмерчука}}.
+Привожу решения {{:marathon:mm269_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}}, {{:marathon:kazmerchuk_mm_269.pdf|Анатолия Казмерчука}} и {{:marathon:shamsutdinov_mm269.docx|Константина Шамсутдинова}}.
 **Обсуждение**
-Как обычно, (и как это бывает в настоящем марафоне к концу дистанции) к последним задачам ряды марафонцев поредели. Впрочем, не столь катастрофически, как это бывало в предыдущих конкурсах.
+Согласно традициям Марафона последние задачи каждого конкурса имеют повышенную сложность. Эта традиция сохранилась и в данном конкурсе.
-В то же время, неожиданно обострилась борьба в лидирующей группе. К середине конкурса казалось очевидным, что лидеру, Анатолию Казмерчуку, может составить конкуренцию только Константин Шамсутдинов. Однако, на финише мощно спуртует Мераб Левиашвили, который уже настиг Константина и приблизился к Анатолию. И это при том, что ни Константин, ни Анатолий темп не снижали.
+Результатом этого усложнения чаще всего был отток значительной части конкурсантов. А эта традиция неожиданно была нарушена! Из тех, кто регулярно участвовал в нынешнем конкурсе, не прислали решения ММ269 всего два человека. А остальные порадовали, но не пощадили ведущего :-) Впрочем, после моей мольбы, все же сжалились, сократив самое длинное из решений на 40(!) страниц.
-Честно признаюсь, что я не вник во все детали решения Мераба, в котором только перечисление принятых условных обозначений занимает 2 страницы (а формулы набраны текстом :-()). Думаю, рискнувшие заглянуть в его решение, меня поймут.
+Разумеется, основные страсти кипели вокруг обобщения задачи, очевидного по постановке вопроса. Но только по постановке. Да-да, ответ 3m-3 не годится!
-Впрочем, и того, в чем удалось разобраться хватило для самой высокой оценки за ММ249.
+В какой-то момент у меня имелось три решения, в которых приводилась и обосновывалась точная формула для максимальной возможной степени вершины m-многогранника. Точнее, три разных формулы, дающих разные ответы :-)\\
+Понимая, что ситуация, когда "Вася и Петя оба правы", маловероятна, ведущий был вынужден углубиться в многостраничные трактаты, воспользовавшись удачно подвернувшейся просьбой продлить срок приема решений. Дополнительное время не пропало даром. И ведущий и конкурсанты обнаружили некоторые ошибки и неточности в решениях. Во всех, кроме одного, в котором ошибок найти не удалось (или, все же, пока не удалось?). Желающие могут попробовать определить это решение из приводимого ниже списка начисленных призовых баллов (а также попытаться найти ошибки и в этом решении).
-Как и ожидалось, большинство конкурсантов не ограничились одним подходящим примером. Дополнительные примеры принесли дополнительные баллы (иногда отрицательные).
-Но разнообразие сводилось лишь к виду перестановки a. А с показателем степени никто, кроме Мераба, особо не заморачивался. Хватило двойки.
 **Награды**
-За решение задачи ММ249 участники Марафона получают следующие призовые баллы:\\
+За решение задачи ММ269 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\
-Мераб Левиашвили - 15;\\
+Олег Полубасов - 18;\\
-Константин Шамсутдинов - 12;\\
+Мераб Левиашвили - 16;\\
-Анатолий Казмерчук - 12;\\
+Анатолий Казмерчук - 13;\\
-Виктор Филимоненков - 10;\\
+Константин Шамсутдинов - 13;\\
-vpb - 10;\\
+Василий Дзюбенко - 11;\\
-Владислав Франк - 9.
+Александр Романов - 11;\\
+Виктор Филимоненков - 11;\\
+Денис Овчинников - 7.
-**Эстетическая оценка задачи - 4.7 баллов **
+**Эстетическая оценка задачи - 4.7 балла**
 ----
-===== ММ248 =====
-**Конкурсная задача ММ248** (8 баллов)
+===== ММ268 =====
-Найти наименьшее натуральное k такое, что во множестве {(τ(kn))/(τ(n))|n ∈ N} ровно 13 целых чисел.
+**Конкурсная задача ММ268** (9 баллов)
-**Решение**
+Назовем натуральное число m допустимым, если существует такое n, что из чисел 1,2,…,n можно составить сумму произведений, в которой каждое число встречается ровно один раз, равную m. Сколько существует недопустимых чисел?
-Привожу решения {{:marathon:frank_248.pdf|Владислава Франка}}, {{:marathon:merab-мм248.docx|Мераба Левиашвили}} и {{:marathon:fiviol_мм248.docx|Виктора Филимоненкова}}.
+Примечание: в суммах произведений допускаются одиночные слагаемые. Например, число 148 допустимо, поскольку 148=1·3 + 2·5·8 + 4 + 6·9 + 7.
-(Решение Анатолия Казмерчука, как всегда, не только верно, но и замечательно оформлено, но надо же знакомить публику и новыми лицами Марафона. Впрочем, новому участнику среди приведенных решений принадлежит только одно.)
-**Обсуждение**
+[[problem 268|Решение задачи ММ268]]
-ММ248 далась не всем конкурсантам.
+----
-Доказательство того факта, что при любом натуральном k существует бесконечно много значений n, для которых рассматриваемая дробь будет целым числом, разумеется, не означает, таких целых чисел для каждого k будет бесконечно много. Но сам факт, что такая подмена понятий случилась не однажды - свидетельство объективной трудности задачи.
-Поэтому, на всякий случай, еще раз - во множестве {2, 2, 2,...} ровно один элемент - двойка!
-Ответ, превышающий правильный в неприлично большое (1230 десятичных знаков) количество раз тоже был оценен невысоко.
-В остальном, все решения идейно были близки (но при этом почему-то многократно отличались по размерам).
-К моему удивлению, лишь двое участников обратили внимание на тот очевидный факт, что на месте 13 в условии могло быть любое другое число.
-(Хотя нельзя исключить, что это ведущий проморгал это наблюдение в дебрях длинных решений.)
-**Награды**
-За решение задачи ММ248 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
+===== ММ267 =====
-Владислав Франк - 9;
-vpb - 9;
+**Конкурсная задача ММ267** (7 баллов)
-Анатолий Казмерчук - 8;
-Константин Шамсутдинов - 8;
+Вася и Петя поспорили. Вася уверен, что среди представлений натурального числа n в виде суммы натуральных слагаемых чаще встречаются те, у которых каждое слагаемое присутствует не более двух раз, чем те, у которых все слагаемые не кратны 3. Петя уверен в обратном. Кто из них прав?
-Виктор Филимоненков - 8;
-Мераб Левиашвили - 8;
+[[problem 267|Решение задачи ММ267]]
-Александр Домашенко - 3;
-Владимир Дорофеев - 1;
-Анна Букина - 1.
-**Эстетическая оценка задачи - 5 баллов **
 ----
-===== ММ247 =====
+===== ММ266 =====
-**Конкурсная задача ММ247** (7 баллов)
+**Конкурсная задача ММ266** (7 баллов)
+Вася Пупкин выписал дни рождения семерых своих однокурсников, родившихся в январе одного и того же года, что и Вася, и, поэкспериментировав с выписанными числами, заметил два факта:\\
+) τ(n<sup>3</sup> )=τ(n)<sup>2</sup>, где n – произведение всех выписанных чисел;\\
+) сумма кубов составных чисел больше суммы кубов остальных\\.
+Найдите дни рождения Васиных товарищей, если известно, что все они младше Васи.
-Пусть k – фиксированное натуральное число. Для натуральных n определим функцию f<sub>k</sub>(n)=lcm(n, n+1,..., n+k-1)/lcm(n+1, n+2,..., n+k)}
+Примечание: при сравнении возрастов учитываются дни, но не часы рождения.
-Найти наименьшие значения f<sub>5</sub>(n) и f<sub>9</sub>(n).
-**Решение**
+[[problem 266|Решение задачи ММ266]]
-Привожу решения {{:marathon:kazmerchuk_mm_247.docx|Анатолия Казмерчука}} и {{:marathon:bukina_mm247_.pdf|Анны Букиной}}.
+----
-**Обсуждение**
+===== ММ265 =====
-ММ247 - обещанное продолжение ММ238.
+**Конкурсная задача ММ265** (5 баллов)
-Большинство конкурсантов (ряды коих к финишу традиционно начали потихоньку редеть) справились с задачей.
-Некоторые изъятия баллов связаны с недостаточной обоснованностью ответа, ошибкой в арифметике и загадочное утверждение о простоте числа 289 (я специально подбирал, чтобы второй ответ был квадратом первого и, надо же - простое?!)
-Поощрения сделаны за некоторые обобщения.\\
-Хотя я рассчитывал (и намекал на это при обсуждении ММ238), что участники не ограничатся заменой чисел 5 и 9 на произвольное k.
-Ограничились :-(\\
-Тогда сам сформулирую интересные (на мой взгляд вопросы):\\
-Сколько целых значений принимает f<sub>k</sub>(n) и какие целые числа могут быть этими значениями? (Целые значения f<sub>5</sub>(n) - 1,5,7,11. Но напрашивающаяся гипотеза о ф(sup(f<sub>k</sub>(n))) целых значениях f<sub>k</sub>(n) не подтвердилась)\\
-Ясно, что каждое свое значение f<sub>k</sub>(n) принимает конечное число раз. Можно ли, зная k без прямого перебора указать какое(какие) это будет значение и сколько раз оно достигается?
-**Награды**
+Разрезать правильный треугольник на наименьшее возможное количество прямоугольных треугольников так, чтобы никакие два из возникших треугольников не были подобны.
-За решение задачи ММ247 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\
+[[problem 265|Решение задачи ММ265]]
-Анатолий Казмерчук - 9;\\
-Владислав Франк - 9;\\
-Константин Шамсутдинов - 9;\\
-Владимир Дорофеев - 8;\\
-Анна Букина - 7;\\
-Мераб Левиашвили - 7;\\
-Валентин Пивоваров - 6;\\
-Александр Домашенко - 6;\\
-waxter - 6;\\
-Виктор Филимоненков - 5.
-**Эстетическая оценка задачи - 4.6 балла**
 ----
+===== ММ264 =====
-===== ММ246 =====
+**Конкурсная задача ММ264** (4 балла)
-**Конкурсная задача ММ246** (7 баллов)
+Назовем пару натуральных чисел a и b аддитивной, если τ(a+b)=τ(a)+τ(b),σ(a+b)=σ(a)+σ(b)  и φ(a+b)=φ(a)+φ(b).
+Доказать, что существует бесконечно много аддитивных пар.\\
+(τ(n), σ(n), φ(n) - количество натуральных делителей, сумма натуральных делителей и функция Эйлера соответственно.)
-Сколько (с точностью до подобия) существует разносторонних треугольников, разрезаемых на два равнобедренных более чем одним способом?
+[[problem 264|Решение задачи ММ264]]
-**Решение**
+----
-Привожу решения {{:marathon:shamsutdinov_mm246.docx|Константина Шамсутдинова}}, {{:marathon:fiviol_мм246.docx|Виктора Филимоненкова}} и {{:marathon:mm246.pdf|авторское}}.
+===== ММ263 =====
+ **Конкурсная задача ММ263** (4 балла)
-**Обсуждение**
+Сколько решений может иметь уравнение [3x]{x} – [x]{3x} = c, в зависимости от значения параметра c?\\
-ММ246 оказалась трудным орешком. Половина конкурсантов потеряли нужные (нашли лишние) треугольники.
+([x] и {x} означают соответственно целую часть (пол) и дробную часть числа x.)
-Особенно странным оказалось именно приобретение лишних решений. Ведь, в отличие от потери нужных, эта ошибка легко проверяется.
-Правда, за один (наиболее удививший меня) лишний треугольник я не стал штрафовать нашедшего его участника. Речь идет о прямоугольном равнобедренном треугольнике, который, в силу своей равнобедренности, в ответ включен не был, но в остальном, по мнению приведшего его участника, удовлетворял условию (?!).
-Кстати, требование разносторонности треугольника попало в условие только на основании того, что я так и не смог решить считать ли, например, биссектрисы углов при основании треугольника с углами 36, 72, 72 градуса разными разрезами.
+[[problem 263|Решение задачи ММ263]]
-Мне представляется, что задача становится проще, а перебор прозрачнее, если сразу договориться об упорядочивании углов исходного треугольника.
+----
-К моему удивлению этим путем пошли менее половины участников. Тем не менее, некоторые из тех, кто не упорядочивал углы исходного треугольника, добрались до верного ответа ;-)
-Любопытно, что в ответ пошло два треугольника, где требуемые разрезы выходят из разных вершин, и один с разрезами,исходящими из одной вершины.
-К вопросу о красоте. \\
+===== ММ262 =====
-ММ246, с моей точки зрения, одна из лучших в текущем конкурсе. Но с этим мнением согласны не все. Что ж, как говорится, о вкусах не спорят.\\
-Спорить не буду, но попробую проаргументировать свои предпочтения.\\
+**Конкурсная задача ММ262** (3 балла)
-Часто наличие нескольких, а не одного решения - безусловный минус задачи. Так было бы, например, с ММ244. И я был бы согласен с теми, кто поставил мне в вину наличие нескольких решений, если бы решений на самом деле было больше одного.
-Но для ММ246 наличие трех решений кажется украшением, а не дефектом задачи. Ведь они - принципиально разные.
-Например, два равнобедренных треугольника с углами 36, 72, 72 (градусов) и 36, 36, 108 (градусов) - разные, но не принципиально. Каждый из них возникает при разрезании другого на два равнобедренных.
-А для разносторонних, попавших в ответ это не так.
-Ну и треугольник с наименьшим углом п/13, IMHO, сам по себе красив в качестве ответа.\\
-Свою позицию я прояснил. Готов выслушать аргументы противоположного толка.
-**Награды**
+Разносторонний треугольник назовем прогрессивным, если длины его сторон образуют арифметическую прогрессию.
+Доказать, что треугольник прогрессивен тогда и только тогда, когда прямая, проходящая через точку Нагеля и центр Шпикера, параллельна средней стороне.
-За решение задачи ММ246 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\
+Примечание: тривиальное решение (недаром цена задачи всего 3 балла) на ЕГЭ бы не приняли, но у нас, слава Богу, не ЕГЭ :-)
-Александр Домашенко - 7;\\
-Анатолий Казмерчук - 7;\\
+[[problem 262|Решение задачи ММ262]]
-Константин Шамсутдинов - 7;\\
-Мераб Левиашвили - 7;\\
-Виктор Филимоненков - 7;\\
-Валентина Колыбасова - 5;\\
-Валентин Пивоваров - 5;\\
-Владислав Франк - 5;\\
-Анна Букина - 5;\\
-Владимир Дорофеев - 4.\\
-**Эстетическая оценка задачи - 4.7 балла**
 ----
+===== ММ261 =====
+**Конкурсная задача ММ261** (4 балла)
+Натуральные числа 1, 2, 3, ..., 100 разбили на 10 групп по 10 чисел. Найти наибольшую возможную сумму НОД этих десяток.
+[[problem 261|Решение задачи ММ261]]
 ----