Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

marathon:about [2020/05/02 11:35]
letsko [ММ252]
marathon:about [2021/06/17 17:02] (текущий)
letsko [Текущие задачи]
Строка 8: Строка 8:
  
 ---- ----
 +**Завершен XXVII конкурс вамках Математического марафона**
  
-Стартовал **XXVI ​конкурс в рамках Математического марафона!**+**Мои поздравления победителю ​конкурса, Мерабу Левиашвили,​ призерам, Анатолию Казмерчуку и Олегу Полубасову, ​а также всем тем, кто составил им достойную конкуренцию**
  
-Активная фаза (разбор задач),​ как обычно,​ начнется осенью. Но решения можно (и нужно) присылать прямо сейчас. ​ 
  
 Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания,​ выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными,​ а другие - не очень. На вкус и на цвет... Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания,​ выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными,​ а другие - не очень. На вкус и на цвет...
  
-Но если любите поломать голову над нестандартными задачами,​ участвуйте,​ не стесняйтесь.+Но если ​вы любите поломать голову над нестандартными задачами,​ участвуйте,​ не стесняйтесь.
  
 Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас. Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас.
  
 Не забывайте,​ пожалуйста,​ присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале. ​ Не забывайте,​ пожалуйста,​ присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале. ​
----- 
  
  ​Ведущий Марафона  ​Ведущий Марафона
 --- //​[[val-etc@yandex.ru|Vladimir letsko]]// --- //​[[val-etc@yandex.ru|Vladimir letsko]]//
  
 +[[Afterword XXVII |Послесловие к XXVII конкурсу]]
 +
 +----
  
  
 ====== Текущие задачи ====== ====== Текущие задачи ======
 +----
 +**На данный момент отсутствуют.**
 +----
  
-===== ММ251 ===== 
  
- **Конкурсная задача ММ251** (3 балла)+====== Разбор задач ====== 
 +---- 
 +===== 
 +Вектором граней выпуклого многогранника P назовем набор [f<​sub>​3</​sub>,​ f<​sub>​4</​sub>,​ …, f<​sub>​s</​sub>​],​ где f<​sub>​i</​sub>​ – количество i-угольных граней P, а s - наибольшее число сторон грани. Будем говорить,​ что P относится к классу m, если max(f<​sub>​i</​sub>​= m.
  
-Решения принимаются до __05.09.2020__+----
  
-Из книги вырвано несколько страниц. Сумма номеров оставшихся страниц 5001. Пусть n –наименьшее возможное число страниц,​ которое могло быть в этой книге изначально. Найдите наибольший возможный номер отсутствующей страницы,​ при условии,​ что в книге было n страниц. 
  
-===== ММ252 =====+**Конкурсная задача ​ММ270** (16 баллов)
  
- **Конкурсная задача ММ252** (4 балла)+Найти наибольшее возможное количество граней многогранника класса m.
  
-Решения принимаются до __12.09.2020__+**Решение**
  
-Для числа 90 существуют две пары представлений в виде произведения трех сомножителей таких, что суммы ​сомножителей внутри каждой пары одинаковы:\\  +Привожу решения призеров ​конкурса, {{:​marathon:​mm_270_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}} и {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_270.pdf|Анатолия Казмерчука}}, а также обобщение ​задачи победителя конкурса {{:​marathon:​обобщение-мм270.docx|Мераба ​Левиашвили}} ​.
-90=1⋅9⋅10=2⋅3⋅15, ​ 1+9+10=2+3+15;​\\ +
-90=2⋅5⋅9=3⋅3⋅10, ​ 2+5+9=3+3+10.\\ +
-Доказать, что существует бесконечно много натуральных чисел вида p<​sup>​k</​sup>​q (p, q – простые, k – натуральное),​ обладающих таким свойством.+
  
-===== ММ253 =====+**Обсуждение**
  
- **Конкурсная задача ​ММ253** ​(5 баллов)+В отличие от ММ269, где вопрос задачи был сформулирован для частных значений m, а обобщали его сами конкурсанты, в ММ270 сразу же был сформулирован общий вопрос. Объясняется это просто. В ММ269 ответа на общий вопрос ведущий на момент опубликования задачи не знал (и даже склонялся, но, к счастью не "​доказал"​ неверный ответ). А для ММ270 у меня был верный обоснованный ответ.
  
-Решения принимаются до __19.09.2020__+Эта ситуация выбила почву из под ног большинства любителей обобщений. Да, практически все, решившие ММ270, ​нашли заодно и наибольшие количества вершин и ребер m-многогранников. Но ответы на эти вопросы становятся очевидны ​при ​успешном решении основной задачи. Единственным, кто изыскал возможности пообобщать стал Мераб Левиашвили. Он перешел от рассмотрения многогранников к рассмотрению простых (каждая вершина имеет степень n) политопов размерностей,​ больших 3. У таких политопов существуют грани разных размерностей. Соответственно можно рассматривать разные аналоги m-многогранников. Мераб остановился на случае ​двумерных граней. На основании известных соотношений Дена-Соммервиля он получил наименьшие значения m, для которых существуют n-мерные политопы класса m и верхние оценки для числа граней таких политопов для n \in {4, 5}, а также некоторые оценки для n \in {6, 7, 8}Я привожу только обобщение задачи (присланное Мерабом отдельным документом),​ в том числе, и по причине слишком большого веса основного решения.
  
-Сторона основания ​правильной треугольной призмы ABCA<​sub>​1</​sub>​B<​sub>​1</​sub>​C<​sub>​1</​sub>​ равна 2Сечение призмы, ​проходящее через ​середину отрезка ​AB<​sub>​1</​sub>​ перпендикулярно ​ему имеет площадь 28✔(39)/​81. Найти объем призмы?+Во всех присланных решениях имеется содержится ​ответ 7m-4 для больших значений mРазнятся эти решения степенью гипотетичности и обоснованности ​данного ответа, а также количеством частных значений m, подтверждающих данную гипотезу (это ​касается ​решений, где 7m-4 именно гипотеза).
  
-===== ММ254 ===== 
  
- **Конкурсная задача ММ254** (6 баллов)+**Награды**
  
-Решения принимаются до __26.09.2020__+За решение задачи ММ270 участники Марафона получают следующие ​призовые баллы:​\\ 
 +Мераб Левиашвили - 18;\\ 
 +Олег Полубасов - 16;\\ 
 +Анатолий Казмерчук - 16;\\ 
 +Александр Романов - 16;\\ 
 +Константин Шамсутдинов - 10;\\ 
 +Виктор Филимоненков - 10;\\ 
 +Денис Овчинников - 8.\\
  
-Вася вписал круг в треугольник со сторонами 3, 4, 5. И вписывает новые круги так, что каждый последующий ​касается двух сторон треугольника и одного из предыдущих круговМожет ли суммарная площадь кругов превысить 80% от площади треугольника и на каком шаге (круге) может случиться это событие?​+Эстетическая оценка задачи - 4.8 балла
  
-===== ММ255 =====+----
  
- ​**Конкурсная задача ММ255** (7 баллов) 
  
-Решения принимаются до __04.10.2020__+===== ММ269 =====
  
-Найти ​наименьшее натуральное число, имеющее ровно 7 представлений в виде произведения наибольшего возможного количества попарно различных натуральных сомножителей.  + ​**Конкурсная задача ​ММ269** (11 баллов)
-  +
-===== ММ256 =====+
  
- **Конкурсная задача ММ256** (8 баллов) +Какова максимальная возможная степень вершины выпуклого многогранника\\  
- +a) класса ​3;\\ 
-Решения принимаются до __11.10.2020__ +b) класса ​4?
- +
-При каком наименьшем натуральном n уравнение n{x}<​sup>​2</​sup>​ +{x}=[x] имеет не менее 1000000 решений в рациональных числах?​ +
- +
-Примечание: {x} – дробная часть числа x, [x]  – целая часть (пол) числа x. +
- +
-===== ММ257 ===== +
- +
- ​**Конкурсная задача ММ257** (9 баллов) +
- +
-Решения принимаются до __18.10.2020__ +
- +
-Задача ММ257 сюжетно связана с ММ237 +
- +
-Студент математического факультета Вася Пупкин пропустил (по уважительной причине) занятие по дискретной математике. Однокурсники рассказали,​ что на занятии рассматривался некий граф. Но ни один из них не зафиксировал этот граф ни с помощью гаджетов, ни на бумагу. Впрочем,​ Васины однокурсники,​ утверждают,​ что это не страшно, ​поскольку они и так помнят этот граф. В подтверждение своих слов они наперебой кинулись вспоминать характеристики графа:​\\ +
- +
-Аня: В графе было ровно 3 связных компоненты.\\ +
-Ваня: Причем во всех связных ​компонентах графа имелись циклы.\\ +
-Даня: А еще среди связных ​ компонент не было изоморфных.\\ +
-Маня: Число ребер в одной из компонент было равно половине общего числа ребер.\\ +
-Саня: При этом число ребер было равно сумме количеств вершин и связных компонент.\\ +
-Таня: В графе была всего одна вершина степени 3.\\ +
-Зина: А всего в графе было ​не более 13 вершин.\\ +
-Лина: И при этом не было висячих вершин. \\ +
-Нина: А степень одной из вершин не менее чем на 2 превосходила степень ​каждой из остальных вершин.\\ +
-Фаина: Зина, Лина и Нина правы.\\ +
- +
-Услышавший эти реплики преподаватель сказал,​ что память подвела ровно одного человека.\\  +
-Сможет ли Вася (умница и отличникоднозначно восстановить граф?​\\ +
- +
-===== ММ258 ===== +
- +
- ​**Конкурсная задача ММ258** (7 баллов) +
- +
-Решения принимаются до __24.10.2020__ +
- +
-Сколько элементов ​содержит множество сумм квадратов цифр квадратов чисел, в десятичной записи которых присутствуют по одному разу ровно три ненулевых цифры: 1, 4, 9? (Нулей может быть сколько угодно). +
- +
-===== ММ259 ===== +
- +
- ​**Конкурсная задача ММ259** (8 баллов) +
- +
-Решения принимаются до __31.10.2020__ +
- +
-Может ли треугольник с вершинами в центроиде и центрах вписанной и описанной окружностей некоторого треугольника быть\\  +
-a) равновелик;\\ +
-бподобен;​\\ +
-в) равен \\ +
-исходному?​ +
- +
-===== ММ260 ===== +
- +
- ​**Конкурсная задача ММ260** (12 баллов) +
- +
-Решения принимаются до __14.11.2020__ +
- +
- +
-Задача ММ260 обобщает и развивает ММ231 +
- +
-Пусть ABC – некоторый треугольник,​ точки K, L, M лежат соответственно на прямых AB, AC и BC, а s – некоторое действительное число, отличное от 0 и 1. Треугольник KLM будем называть подобно-вписанным в ∆ABC, если +
-AK=sAB, BL=sBC, CM=sCA; +
-треугольник KLM подобен треугольнику ABC. +
-Сколько подобно вписанных треугольников может быть у произвольного треугольника? +
- +
----- +
- +
-====== Разбор задач ====== +
----- +
-===== ММ250 ===== +
-  +
-**Конкурсная задача ММ250** (14 баллов) +
- +
-Найти наименьшее возможное количество ребер выпуклого многогранника,​ у которого сумма длин ребер равна сумме длин диагоналей.+
  
 **Решение** **Решение**
  
-Привожу решения {{:​marathon:​fiviol_мм250.docx|Виктора Филимоненкова}}, {{:​marathon:​mm250_shamsutdinov.docx|Константина Шамсутдинова}}, {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_250_.pdf|Анатолия Казмерчука}} и {{:​marathon:​мм250.pdfвторское}}.+Привожу решения {{:​marathon:​mm269_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}},​ {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_269.pdf|Анатолия Казмерчука}} и {{:​marathon:​shamsutdinov_mm269.docx|Константина Шамсутдинова}}.
  
 **Обсуждение** ​ **Обсуждение** ​
  
-При составлении задач ​XXV конкурса ​в рамках Математического марафона я долго не мог найти подходящую кандидатуру на роль ударной заключительной задачи.\\ +Согласно традициям Марафона последние задачи каждого ​конкурса ​имеют повышенную ​сложность. Эта традиция сохранилась и в данном ​конкурсе.  
-Придумав (но еще ​не решив) обсуждаемую ​задачу, я полагал, что ​она не тянет на заключительную. Почему? Я почему-то сразу уверовал, что верный ответ - 14Существование подходящего многогранника легко ​обосновывается. Остается проверитьчто многогранники с меньшим числом ребер не годятся. И я начал проверять. И проверил 21 из 22 типов 13-реберных многогранников. При этом только один раз обоснование того, что ​сумма длин диагоналей меньше ​суммы длин ребер, потребовало ​некоторых ухищрений. Остальное - сплошная ​рутина. Оставался последний случай. И... тут я понялчто задача вполне годится для юбилейной. Решение стало ​в разы ​короче, ​а подходящий ответ - единственным!+Результатом этого усложнения чаще всего был отток значительной части конкурсантов. ​А эта традиция ​неожиданно была нарушена! Из техкто регулярно ​участвовал в нынешнем конкурсе, не прислали ​решения ММ269 всего два человека. А остальные порадовали, но не пощадили ведущего :-) Впрочем, после моей ​мольбы, все же сжалились, сократив самое длинное из решений на 40(!) страниц.
  
-Как обычно, последний (и самый ​трудный) участок дистанции дался не всем. Поступило всего 5 решений ММ250, из которых верны лишь 4.  +Разумеется, ​основные страсти кипели вокруг обобщения задачи, очевидного по постановке вопроса. Но только по постановке. Дааответ 3m-3 не годится! 
- +В какой-то момент у меня имелось ​три решения, в которых приводилась ​и обосновывалась точная формула для ​максимальной возможной степени ​вершины m-многогранника. Точнее, три разных формулы, дающих разные ответы :-)\\ 
-"​Ощущая дыхание в спину" со стороны преследователей Анатолий Казмерчук мощно спуртовал, рассмотрев несколько аналогов задачи.\\ +Понимая, что ситуация,​ когда "Вася и Петя оба правы", маловероятна, ведущий был вынужден углубиться в многостраничные трактатывоспользовавшись удачно подвернувшейся просьбой продлить срок приема решений. Дополнительное время ​не пропало даром. И ведущий и конкурсанты обнаружили некоторые ​ошибки и неточности ​в решениях. Во всех, кроме одного, в котором ошибок ​найти не удалось (или, все жепока не удалось?). Желающие могут попробовать определить это ​решение ​из приводимого ниже списка ​начисленных призовых баллов ​(а также попытаться найти ошибки и в этом решении)
-Не исключено, что не меньше красот ​имеется и в решении Мераба Левиашвили. Но я вынужден ​признать, что мне не удалось продраться сквозь два десятка страниц: без единого рисунка (для сравнения - у Анатолия, кроме чертежей в основном тексте, имеется ​приложение ​с тремя десятками рисунков); с многочисленными формулами, набранными обычным ​текстом; массой собственных обозначений, отличных от стандартных; списком опечаток на страницу, присланным ​отдельно...\\ +
-Точнее, удалось, но лишь настолько, чтобы ​понять, что задача решена и обоснована единственность (с точностью до топологической эквивалентности) требуемого многогранника.  +
- +
-В конце ​решения Анатолия Казмерчука имеется отсылка к плоскому ​аналогу задачи. Приведенные там рассуждения,​ по сути, повторяют решение ​MM2. Было бы красивее, если бы ММ1, ​но составляя ММ1 (как, впрочем, и ММ2) я еще не задумывался над ММ250.+
  
 **Награды** **Награды**
  
-За решение задачи ММ250 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ +За решение задачи ММ269 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ 
-Анатолий Казмерчук 17;\\ +Олег Полубасов ​18;\\ 
-Мераб Левиашвили - 15;\\ +Мераб Левиашвили - 16;\\ 
-Константин Шамсутдинов - 15;\\ +Анатолий Казмерчук - 13;\\ 
-Виктор Филимоненков - 14;\\ +Константин Шамсутдинов - 13;\\ 
-Владислав Франк - 6.+Василий Дзюбенко - 11;\\ 
 +Александр Романов - 11;\\ 
 +Виктор Филимоненков - 11;\\ 
 +Денис Овчинников 7.
  
-**Эстетическая оценка задачи - баллов **+**Эстетическая оценка задачи - 4.7 балла**
 ---- ----
  
-===== ММ249 ===== 
  
-**Конкурсная задача ​ММ249** (10 баллов)+===== ММ268 =====
  
-Пусть k – натуральное число и a – некоторая перестановка 2020-элементного множестваМожет ​ли уравнение x<​sup>​k</​sup>​=a иметь ровно 2020 решений?​+**Конкурсная ​задача ММ268** (9 баллов)
  
-**Решение**+Назовем натуральное число m допустимым,​ если существует такое n, что из чисел 1,2,…,n можно составить сумму произведений,​ в которой каждое число встречается ровно один раз, равную m. Сколько существует недопустимых чисел? 
  
-Привожу решения {{:marathon:мм249-решение-м.л.docx|Мераба Левиашвили}},​ {{:​marathon:​shamsutdinov_mm249.docx|Константина Шамсутдинова}} и {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_249.docx|Анатолия Казмерчука}}.+Примечаниев суммах произведений допускаются одиночные слагаемыеНапримерчисло 148 допустимо, поскольку 148=1·3 + 2·5·8 + 4 + 6·9 + 7.
  
-**Обсуждение** +[[problem 268|Решение ​задачи ММ268]]
  
-Как обычно,​ (и как это бывает в настоящем марафоне к концу дистанции) к последним задачам ряды марафонцев поредели. Впрочем,​ не столь катастрофически,​ как это бывало в предыдущих конкурсах. +----
-В то же время, неожиданно обострилась борьба в лидирующей группе. К середине конкурса казалось очевидным,​ что лидеру,​ Анатолию Казмерчуку,​ может составить конкуренцию только Константин Шамсутдинов. Однако,​ на финише мощно спуртует Мераб Левиашвили,​ который уже настиг Константина и приблизился к Анатолию. И это при том, что ни Константин,​ ни Анатолий темп не снижали. ​+
  
-Честно признаюсь,​ что я не вник во все детали решения Мераба,​ в котором только перечисление принятых условных обозначений занимает 2 страницы (а формулы набраны текстом :-()). Думаю, рискнувшие заглянуть в его решение,​ меня поймут. ​ 
-Впрочем,​ и того, в чем удалось разобраться хватило для самой высокой оценки за ММ249. 
  
-Как и ожидалось,​ большинство конкурсантов не ограничились одним подходящим примером. Дополнительные примеры принесли дополнительные баллы (иногда отрицательные). 
-Но разнообразие сводилось лишь к виду перестановки a. А с показателем степени никто, кроме Мераба,​ особо не заморачивался. Хватило двойки. 
  
-**Награды**+===== ММ267 =====
  
-За решение задачи ММ249 ​участники Марафона получают следующие призовые баллы:​\\  +**Конкурсная задача ММ267** (7 баллов)
-Мераб Левиашвили - 15;\\ +
-Константин Шамсутдинов - 12;\\ +
-Анатолий Казмерчук - 12;\\ +
-Виктор Филимоненков - 10;\\ +
-vpb - 10;\\ +
-Владислав Франк - 9.+
  
-**Эстетическая оценка ​задачи - 4.баллов ** +Вася и Петя поспорили. Вася уверен, ​что среди представлений натурального числа n в виде суммы ​натуральных слагаемых чаще встречаются те, у которых ​каждое слагаемое присутствует не более ​двух раз, чем те, у которых все слагаемые не кратны 3Петя уверен в обратном. Кто из них прав?
-----+
  
-===== ММ248 =====+[[problem 267|Решение задачи ​ММ267]]
  
-**Конкурсная задача ММ248** (8 баллов)+----
  
-Найти наименьшее натуральное k такое, что во множестве {(τ(kn))/​(τ(n))|n ∈ N} ровно 13 целых чисел. ​+===== ММ266 =====
  
-**Решение**+**Конкурсная задача ММ266** (7 баллов)
  
-Привожу решения ​{{:​marathon:​frank_248.pdf|Владислава Франка}},​ {{:​marathon:​merab-мм248.docx|Мераба Левиашвили}} и {{:​marathon:​fiviol_мм248.docx|Виктора Филимоненкова}}. +Вася ​Пупкин выписал дни рождения семерых своих однокурсников, родившихся в январе одного ​и того же года, что и Васяи, поэкспериментировав с выписанными числами, ​заметил два ​факта:\\  
-(Решение ​Анатолия Казмерчука, как всегда, не только верно, но и замечательно оформлено,​ но надо же знакомить публику ​и новыми лицами Марафона. Впрочем, новому участнику среди ​приведенных решений принадлежит только одно.+1) τ(n<​sup>​3</​sup>​ )=τ(n)<​sup>​2</​sup>,​ где n – произведение всех выписанных чисел;\\ 
 +2) сумма кубов составных ​чисел больше суммы кубов остальных\\. 
 +Найдите дни рождения Васиных ​товарищей, если известно, что все ​они младше Васи.
  
-**Обсуждение**  +Примечание: при сравнении возрастов учитываются дни, но не часы рождения.
- +
-ММ248 далась не всем конкурсантам.  +
-Доказательство того факта, что при любом натуральном k существует бесконечно много значений n, для которых рассматриваемая дробь будет целым числом, ​разумеется, ​не означает, таких целых чисел для каждого k будет бесконечно много. Но сам факт, что такая подмена понятий случилась не однажды - свидетельство объективной трудности задачи. +
-Поэтому, на всякий случай, еще раз - во множестве {2, 2, 2,...} ровно один элемент - двойка! +
-Ответ, превышающий правильный в неприлично большое (1230 десятичных знаков) количество раз тоже был оценен невысоко. +
-В остальном,​ все решения идейно были близки (но при этом почему-то многократно отличались по размерам). +
- +
-К моему удивлениюлишь двое участников обратили внимание на тот очевидный факт, что на месте 13 в условии могло быть любое другое число.  +
-(Хотя нельзя исключить,​ что это ведущий проморгал это наблюдение в дебрях длинных решений.+
- +
-**Награды**+
  
-За решение задачи ММ248 участники Марафона получают следующие призовые баллы:  +[[problem 266|Решение задачи ММ266]]
-Владислав Франк - 9; +
-vpb - 9; +
-Анатолий Казмерчук - 8; +
-Константин Шамсутдинов - 8; +
-Виктор Филимоненков - 8; +
-Мераб Левиашвили - 8; +
-Александр Домашенко - 3; +
-Владимир Дорофеев - 1; +
-Анна Букина - 1.+
  
-**Эстетическая оценка задачи - 5 баллов ** 
 ---- ----
  
-===== ММ247 =====+===== ММ265 =====
  
-**Конкурсная задача ММ247** (баллов)+**Конкурсная задача ММ265** (баллов)
  
 +Разрезать правильный треугольник на наименьшее возможное количество прямоугольных треугольников так, чтобы никакие два из возникших треугольников не были подобны.
  
-Пусть k – фиксированное натуральное число. Для ​натуральных n определим функцию f<​sub>​k</​sub>​(n)=lcm(n,​ n+1,..., n+k-1)/​lcm(n+1,​ n+2,..., n+k)} +[[problem 265|Решение задачи ​ММ265]]
-Найти наименьшие значения f<​sub>​5</​sub>​(n) ​и f<​sub>​9</​sub>​(n).+
  
-**Решение**+----
  
-Привожу решения {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_247.docx|Анатолия Казмерчука}} и {{:​marathon:​bukina_mm247_.pdf|Анны Букиной}}. ​+===== ММ264 =====
  
-**Обсуждение** +**Конкурсная задача ММ264** (4 балла)
  
-ММ247 - обещанное продолжение ММ238. +Назовем пару натуральных чисел ​и аддитивной, если ​τ(a+b)(a)(b),σ(a+b)=σ(a)+σ(b и φ(a+b)=φ(a)(b).  
-Большинство конкурсантов (ряды коих к финишу традиционно ​начали потихоньку редеть) справились с задачей.  +Доказать, что ​существует бесконечно ​много аддитивных пар.\\
-Некоторые изъятия баллов связаны с недостаточной обоснованностью ответа,​ ошибкой в арифметике и загадочное утверждение о простоте числа 289 (я специально подбирал, чтобы второй ответ был квадратом первого ​и, надо же - простое?!) +
-Поощрения сделаны за некоторые обобщения.\\ +
-Хотя я рассчитывал (и намекал на это при обсуждении ММ238)что участники не ограничатся заменой чисел и 9 на произвольное k. +
-Ограничились :-(\\ +
-Тогда сам сформулирую интересные (на мой взгляд вопросы):\\ +
-Сколько целых значений принимает f<​sub>​k</​sub>​(nи какие целые числа могут быть этими значениями? ​(Целые значения f<​sub>​5</​sub>​(n- 1,5,7,11. Но напрашивающаяся гипотеза о ф(sup(f<​sub>​k</​sub>​(n))) целых значениях f<​sub>​k</​sub>​(nне подтвердилась)\\ +
-Ясно, что ​каждое свое значение f<​sub>​k</​sub>​(n) принимает ​конечное число раз. Можно ли, зная k без прямого ​перебора указать какое(какие) это будет значение и сколько ​раз оно достигается?​+
  
-**Награды**+(τ(n), σ(n), φ(n) - количество натуральных ​делителей,​ сумма натуральных делителей и функция Эйлера соответственно.)
  
-За решение задачи ММ247 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ +[[problem 264|Решение задачи ММ264]]
-Анатолий Казмерчук - 9;\\ +
-Владислав Франк - 9;\\ +
-Константин Шамсутдинов - 9;\\ +
-Владимир Дорофеев - 8;\\ +
-Анна Букина - 7;\\ +
-Мераб Левиашвили - 7;\\ +
-Валентин Пивоваров - 6;\\ +
-Александр Домашенко - 6;\\ +
-waxter - 6;\\ +
-Виктор Филимоненков - 5.+
  
-**Эстетическая оценка задачи - 4.6 балла** 
 ---- ----
  
 +===== ММ263 =====
 + ​**Конкурсная задача ММ263** (4 балла)
  
-===== ММ246 =====+Сколько решений может иметь уравнение [3x]{x} – [x]{3x} ​c, в зависимости от значения параметра c?\\
  
-**Конкурсная задача ​ММ246** ​(баллов)+([x] и {x} означают соответственно целую ​часть ​(пол) и дробную часть числа x.)
  
 +[[problem 263|Решение задачи ММ263]]
  
-Сколько (с точностью до подобия) существует разносторонних треугольников,​ разрезаемых на два равнобедренных более чем одним способом?​+----
  
-**Решение** 
  
-Привожу решения {{:​marathon:​shamsutdinov_mm246.docx|Константина Шамсутдинова}}, {{:​marathon:​fiviol_мм246.docx|Виктора Филимоненкова}} и {{:​marathon:​mm246.pdf|авторское}}. ​+===== ММ262 ===== 
 +  
 +**Конкурсная задача ММ262** (3 балла)
  
-**Обсуждение** +Разносторонний треугольник назовем прогрессивным,​ если длины его сторон образуют арифметическую прогрессию.  
 +Доказать,​ что треугольник прогрессивен тогда и только тогда, когда прямая,​ проходящая через точку Нагеля и центр Шпикера, параллельна средней стороне
  
-ММ246 оказалась трудным орешком. ​Половина конкурсантов потеряли нужные ашли лишниетреугольники+Примечаниетривиальное решение ​(недаром цена задачи всего ​3 баллана ЕГЭ бы не приняли, но у нас, слава ​Богуне ЕГЭ :-)
-Особенно странным оказалось именно приобретение ​лишних решений. Ведь, в отличие от потери нужных,​ эта ошибка легко проверяется. +
-Правда, ​за один (наиболее удививший меня) лишний треугольник я не стал штрафовать ​нашедшего его участника. Речь идет о прямоугольном равнобедренном треугольникекоторый,​ в силу своей равнобедренности,​ в ответ включен не был, но в остальном, по мнению приведшего его ​участника, удовлетворял условию (?!).+
  
-Кстати,​ требование разносторонности треугольника попало в условие только на основании того, что я так и не смог решить считать ли, например, биссектрисы углов при основании треугольника с углами 36, 72, 72 градуса разными разрезами.+[[problem 262|Решение ​задачи ММ262]]
  
-Мне представляется, что ​задача ​становится проще, а перебор прозрачнее, если сразу договориться об упорядочивании углов исходного треугольника.  +---- 
-К моему удивлению этим путем пошли менее половины участников. Тем не менее, некоторые из тех, кто не упорядочивал углы исходного треугольника,​ добрались до верного ответа ;-)+===== ММ261 ===== 
 +  
 +**Конкурсная задача ​ММ261** (4 балла)
  
-Любопытно,​ что в ответ пошло два треугольника, где требуемые разрезы выходят ​из разных вершин,​ и один ​с разрезами,исходящими из одной вершины. +Натуральные ​числа 123, ...100 разбили на 10 групп по 10 чисел. Найти наибольшую возможную сумму ​НОД этих десяток.
- +
-К вопросу о красоте. \\ +
-ММ246с моей точки зренияодна из лучших в текущем конкурсеНо с этим мнением согласны не всеЧто жкак говорится, о вкусах не спорят.\\ +
-Спорить не буду, но попробую проаргументировать свои предпочтения.\\ +
-Часто наличие ​нескольких, ​а не одного решения - безусловный минус задачи. Так было бы, например, с ММ244. И я был бы согласен с теми, кто ​поставил мне в вину наличие нескольких решений, если бы решений на самом деле было больше одного. +
-Но для ММ246 наличие трех решений кажется украшением, а не дефектом задачи. Ведь они - принципиально разные. +
-Например,​ два равнобедренных треугольника с углами 36, 72, 72 (градусов) и 36, 36, 108 (градусов) - разные,​ но не принципиально. Каждый из них возникает при разрезании другого на два равнобедренных. +
-А для разносторонних,​ попавших в ответ это не так. +
-Ну и треугольник с наименьшим углом п/13, IMHO, сам по себе красив в качестве ответа.\\ +
-Свою позицию я прояснил. Готов выслушать аргументы противоположного толка. +
- +
-**Награды** +
- +
-За решение задачи ММ246 ​участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ +
-Александр Домашенко - 7;\\ +
-Анатолий Казмерчук - 7;\\ +
-Константин Шамсутдинов - 7;\\ +
-Мераб Левиашвили - 7;\\ +
-Виктор Филимоненков - 7;\\ +
-Валентина Колыбасова - 5;\\ +
-Валентин Пивоваров - 5;\\ +
-Владислав Франк - 5;\\ +
-Анна Букина - 5;\\ +
-Владимир Дорофеев - 4.\\ +
- +
-**Эстетическая оценка задачи - 4.7 балла** +
-----+
  
 +[[problem 261|Решение задачи ММ261]]
  
 ---- ----
 

 


Страница: [[marathon:about]]

marathon/about.1588408526.txt · Последние изменения: 2020/05/02 11:35 — letsko
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006