Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

marathon:about [2020/09/27 13:19]
letsko [ММ254]
marathon:about [2020/11/15 22:43] (текущий)
letsko [ММ260]
Строка 9: Строка 9:
 ---- ----
  
-Стартовал **XXVI конкурс в рамках Математического марафона!**+Завершен ​**XXVI конкурс в рамках Математического марафона!** 
 + 
 +Его лауреатом стал **Анатолий Казмерчук**! Мои поздравления победителю и его достойным конкурентам!
  
 Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания,​ выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными,​ а другие - не очень. На вкус и на цвет... Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания,​ выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными,​ а другие - не очень. На вкус и на цвет...
Строка 18: Строка 20:
  
 Не забывайте,​ пожалуйста,​ присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале. ​ Не забывайте,​ пожалуйста,​ присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале. ​
----- 
  
  ​Ведущий Марафона  ​Ведущий Марафона
 --- //​[[val-etc@yandex.ru|Vladimir letsko]]// --- //​[[val-etc@yandex.ru|Vladimir letsko]]//
 +
 +----
  
  
  
 ====== Текущие задачи ====== ====== Текущие задачи ======
 +----
 +Будут!
 +----
  
 +====== Разбор задач ======
  
-===== ММ255 =====+===== ММ260 ===== 
 + ​**Конкурсная задача ММ260** (12 баллов)
  
- ​**Конкурсная задача ММ255** (7 баллов)+__Задача ММ260 обобщает и развивает ММ231__
  
-Решения принимаются до __04.10.2020__+Пусть ABC - некоторый треугольник, точки K, L, M лежат соответственно на прямых AB, BC и AC, а s - некоторое действительное число, отличное от 0 и 1. Треугольник KLM будем называть подобно-вписанным в ?ABC, если\\ 
 +AK=sAB, BL=sBC, CM=sCA;\\ 
 +треугольник KLM подобен треугольнику ABC.\\ 
 +Сколько подобно вписанных треугольников может быть у произвольного треугольника?​
  
-Найти наименьшее натуральное число, имеющее ровно 7 представлений в виде произведения наибольшего возможного количества попарно различных натуральных сомножителей.  +**Решение**
-  +
-===== ММ256 =====+
  
- **Конкурсная ​задача ​ММ256** (8 баллов)+Привожу решения {{:​marathon:​mm260_dendr81.pdf|Дениса Овчинникова}}, {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_260.pdf|Анатолия Казмерчука}} и {{:​marathon:​mm260_val.pdf|авторское}}.
  
-Решения принимаются до __11.10.2020__+**Обсуждение** 
  
-При каком наименьшем натуральном n уравнение n{x}<​sup>​2</​sup>​ +{x}=[x] имеет не менее 1000000 решений ​в рациональных числах?+ММ260 - плод присущего ведущему духу противоречия. Это ответ на реакцию ряда марафонцев на ММ231, ​не усмотревших у этой задачи интересных обобщений.\\ 
 +Судя по тому, что ММ260 конкурсантам понравилась, "месть" удалась.
  
-Примечание: {x} – дробная часть числа ​x[x]  – целая часть (пол) числа x.+Некоторые затруднения,​ возникшие у участников, оказались связаны с исследованием ​частного случая, когда ​исходный треугольник равнобедренныйно не равносторонний.  
 +Все марафонцы заметили, что количество подобно-вписанных треугольников для таких треугольников меньше, ​чем для разносторонних,​ не все ​правильно выяснили на сколько меньше.
  
-===== ММ257 =====+В то же время, никто не прошел мимо класса автомедианных (см. авторское решение) треугольников. Я столкнулся с этим классом треугольников именно при решении данной задачи. То, что они называются автомедианными я узнал позже, от А. Д. Блинкова (хотя сразу обнаружил,​ что эти треугольники подобны треугольникам из своих медиан). 
 +Кроме того, мне сразу бросилась в глаза масса замечательных свойств этих треугольников. Часть этих свойств приведена в авторском решении. Позже мы с Ярославом Сысосевым обнаружили еще море свойств (большинство из которых оказались нигде ранее не описаны).  
 +Возможно,​ они пригодятся для новых марафонских задач. Поэтому я не буду приводить их здесь.
  
- **Конкурсная задача ММ257** (9 баллов)+**Награды**
  
-Решения принимаются до __18.10.2020__+За решение задачи ММ260 участники Марафона получают следующие ​призовые баллы: \\ 
 +Анатолий Казмерчук - 13\\ 
 +Денис Овчинников - 13\\ 
 +Константин Шамсутдинов - 12\\ 
 +Виктор Филимоненков - 11\\ 
 +Владислав Франк - 10\\
  
-Задача ММ257 ​сюжетно связана с ММ237+**Эстетическая оценка ​задачи - 5 баллов ** 
 +----
  
-Студент математического факультета Вася Пупкин пропустил (по уважительной причине) занятие по дискретной математике. Однокурсники рассказали,​ что на занятии рассматривался некий граф. Но ни один из них не зафиксировал этот граф ни с помощью гаджетов,​ ни на бумагу. Впрочем,​ Васины однокурсники,​ утверждают,​ что это не страшно,​ поскольку они и так помнят этот граф. В подтверждение своих слов они наперебой кинулись вспоминать характеристики графа:​\\ 
  
 +===== ММ259 =====
 +
 +**Конкурсная задача ММ259** (8 баллов)
 +
 +Может ли треугольник с вершинами в центроиде и центрах вписанной и описанной окружностей некоторого треугольника быть\\ ​
 +a) равновелик;​\\
 +б) подобен;​\\
 +в) равен \\
 +исходному?​
 +
 +**Решение**
 +
 +Привожу решения {{:​marathon:​mm259_dendr81.pdf|Дениса Овчинникова}} и {{:​marathon:​frank_mm259.pdf|Владислава Франка}}. С рншением Анатолия Казмерчука можно ознакомиться [[https://​dxdy.ru/​post1490274.html#​p1490274]|тут]].
 +
 +**Обсуждение** ​
 +
 +Как обычно,​ к концу соревнования (или очередного этапа, кому как нравится) марафонцы начали потихоньку уставать и сходить с дистанции.
 +Зато оставшиеся участники порадовали разнообразием подходов.
 +Например,​ Влад Франк прибегнул к комплексной параметризации. Аналогичный прием, примененный при решении ММ157 (см. разбор),​ привел к короткому изящному решению. Удалось ли добиться такого же эффекта для ММ259, судите сами.
 +
 +Некоторое расхождение в оценках связано со строгостью обоснования последнего пункта.
 +За одним исключением. У Виктора Филимоненкова все обосновано строго. Но он почему-то рассмотрел треугольник с вершинами в центрах вписанной и описанной окружностей и в ортоцентре (а не центориде,​ как было в условии).
 +Такой треугольник не может быть не только равен, но и подобен исходному.
 +
 +Для полноты картины замечу,​ что треугольник с вершинами в центроиде,​ инцентре и ортоцентре,​ так же как и треугольник из условия,​ может быть равновелик и подобен,​ но не равен исходному.
 +В параметризации A(-1;0), B(1;0), C(x;y), где 0≤x<1, (x+1)<​sup>​2</​sup>​+y<​sup>​2</​sup>​ ≤4, единственному треугольнику с вершинами в центроиде,​ инцентре и ортоцентре,​ подобному исходному соответствует С(0.6367873395...;​ 0.5201582408...). ​
 +Наконец,​ треугольника с вершинами в центроиде,​ ортоцентре и центре описанной окружности не существует,​ поскольку эти точки лежат на прямой Эйлера.
 +
 +Любопытно,​ что, если в указанной параметризации взять C(0.3246129395...,​ 0.4677703801...),​ треугольник с вершинами в ортоцентре и двух точках Аполлония (изодинамических центрах) подобен исходному с коэффициентов подобия довольно близким к 1.
 +
 +Я полагаю,​ что никакой треугольник не может быть равен треугольнику с вершинами в каких-то трех своих замечательных точках. Но пока проверил не все сочетания замечательных точек из ETC (а там порядка 40000 центров) по три :-) 
 +
 +**Награды**
 +
 +За решение задачи ММ259 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\
 +Анатолий Казмерчук - 9\\
 +Владислав Франк - 8\\
 +Денис Овчинников - 8\\
 +Константин Шамсутдинов - 7\\
 +Виктор Филимоненков - 5\\
 +
 +**Эстетическая оценка задачи - 4.8  балла **
 +
 +----
 +
 +
 +===== ММ258 =====
 + ​**Конкурсная задача ММ258** (7 баллов)
 +
 +Сколько элементов содержит множество сумм квадратов цифр квадратов чисел, в десятичной записи которых присутствуют по одному разу ровно три ненулевых цифры: 1, 4, 9? (Нулей может быть сколько угодно).
 +
 +**Решение**
 +
 +Привожу решения {{:​marathon:​мм258_fiviol.docx|Виктора Филимоненкова}},​ {{:​marathon:​mm258_dendr81.pdf|Дениса Овчинникова}} и {{:​marathon:​bukina_mm258.pdf|Анны Букиной}}.
 +
 +**Обсуждение** ​
 +
 +ММ258 не вызвала затруднений ни у кого из тех, кто прислал решения. Интересно,​ что в большинстве присланных решений перебор минимизирован настолько,​ что его вполне можно осуществить вручную.
 +
 +Естественные обобщения задачи рассмотрели Олег Полубасов и Анатолий Казмерчук. Процитирую Олега:
 +
 +"​Если рассмотреть всевозможные тройки {a, b, c} от {1, 1, 1} до {9, 9, 9}, то окажется,​ что размеры множеств сумм могут принимать следующие значения:​
 +2-38, 40, 42-49, 52, 56, 57, 60. 
 +Двухэлементное множество сумм даёт тройка {1, 1, 1}, а 60-элементное – тройка {7, 8, 9}. 
 +Чаще всего (13 раз) встречается размер 24. Размер 25 встречается 7 раз."​
 +
 +Эта техническая и достаточно рутинная задача возникла как побочный продукт из попытки решить более содержательную задачу.\\
 +Легко понять,​ что суммы квадратов цифр натурального числа может быть любым натуральным числом (достаточно ограничиться рассмотрением репьюнитов).\\
 +Немногим сложнее обосновывается,​ что сумма цифр квадрата натурального числа может быть любым натуральным числом,​ сравнимым с 0, 1, 4, 7 (квадратами) по модулю 9.\\
 +А вот с суммами квадратов цифр квадратов натуральных чисел дело обстоит интереснее. ​
 +По-видимому,​ они могут принимать любые значения за исключением 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 20.\\
 +При попытке обосновать это утверждение и возникла данная задача. Почему именно 1, 4, 9?\\
 +Во-первых,​ сумма число 149 приводит 13, а 1049 - к 19 (эти числа наряду с 15, 17 и 18 входят в список небольших чисел, имеющих нетривиальные требуемые представления).
 +А во-вторых,​ 1, 4, 9 (фигурирующие в условии) - это все ненулевые цифры, являющиеся квадратами,​ а 25 (фигурирующее в ответе) тоже квадрат. Мне показалось,​ что это будет уместно в задаче про сумму **квадратов** цифр **квадратов** чисел.
 +
 +Сама же попытка обоснования приведенного предположения утонула в переборе переборов и к задаче не привела.
 +
 +**Награды**
 +
 +За решение задачи ММ258 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\
 +Анатолий Казмерчук - 8\\
 +Олег Полубасов - 8\\
 +Владислав Франк - 8\\
 +Константин Шамсутдинов - 7\\
 +Денис Овчинников - 7\\
 +Виктор Филимоненков - 7\\
 +Анна Букина - 7.
 +
 +**Эстетическая оценка задачи - 4 балла **
 +----
 +PS: Владислав Франк прислал мне строгое доказательство того, что каждое натуральное число, большее 20, есть сумма квадратов цифр некоторого квадрата.
 +----
 +
 +
 +===== ММ257 =====
 + ​**Конкурсная задача ММ257** (9 баллов)
 +
 +__Задача ММ257 сюжетно связана с ММ237__
 +
 +Студент математического факультета Вася Пупкин пропустил (по уважительной причине) занятие по дискретной математике. Однокурсники рассказали,​ что на занятии рассматривался некий граф. Но ни один из них не зафиксировал этот граф ни с помощью гаджетов,​ ни на бумагу. Впрочем,​ Васины однокурсники,​ утверждают,​ что это не страшно,​ поскольку они и так помнят этот граф. В подтверждение своих слов они наперебой кинулись вспоминать характеристики графа:​\\
 Аня: В графе было ровно 3 связных компоненты.\\ Аня: В графе было ровно 3 связных компоненты.\\
 Ваня: Причем во всех связных компонентах графа имелись циклы.\\ Ваня: Причем во всех связных компонентах графа имелись циклы.\\
Строка 66: Строка 184:
 Нина: А степень одной из вершин не менее чем на 2 превосходила степень каждой из остальных вершин.\\ Нина: А степень одной из вершин не менее чем на 2 превосходила степень каждой из остальных вершин.\\
 Фаина: Зина, Лина и Нина правы.\\ Фаина: Зина, Лина и Нина правы.\\
- 
 Услышавший эти реплики преподаватель сказал,​ что память подвела ровно одного человека.\\ ​ Услышавший эти реплики преподаватель сказал,​ что память подвела ровно одного человека.\\ ​
 Сможет ли Вася (умница и отличник) однозначно восстановить граф?\\ Сможет ли Вася (умница и отличник) однозначно восстановить граф?\\
  
-===== ММ258 =====+**Решение**
  
- **Конкурсная ​задача ​ММ258** (7 баллов)+Привожу решения {{:​marathon:​fiviol_mm257.docx|Виктора Филимоненкова}} и {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_257.pdf|Анатолия Казмерчука}}.
  
-Решения принимаются до __24.10.2020__+**Обсуждение** 
  
-Сколько ​элементов ​содержит множество сумм квадратов ​цифр квадратов чисел, в десятичной записи которых присутствуют по одному разу ровно три ненулевых цифры: 14, 9? (Нулей может ​быть сколько угодно).+Сразу несколько ​участников покритиковали ведущего за то, что он не уточнил, что имеет ​в виду под рафом"​.  
 +Сначала меня удивила ​такая реакция:​ ведь в предудыщих ​марафонских турнирах графы фигурировали десятки раз и подобных ​вопросов не возникало. 
 +Задумавшись я понял, что в большинстве предыдущих задач структура графа, возникающего на том или ином множестве, вводилась прямо в условии. 
 +Впрочем, в ряде задач (ММ105, ММ116, ММ146, ММ153, ММ156) так же как и в ММ257 рассматривались абстрактные графы, но к неоднозначности это не приводило. А меожет, и приводило... Давно это было, 100 задач назад. 
 +В общем, на будущее: ​под графом я всегда ​имею в виду классический граф: непустое (обычно конечное) ​множество вершин и множество ребер, каждое из которых есть двухэлементое множество вершин. 
 +Это ​не значит, что я зарекаюсь использовать будущих задачах,​ орграфы, мультиграфы,​ гиперграфы,​ бинарные отношения и даже матроиды. Но когда я буду использовать такие ​структуры, я отдельно заострю ​на этом внимание.
  
-===== ММ259 =====+Составляя задачу,​ я вдохновлялся ​ММ237. И начал с того, что продублировал реплику Фаины. Дальнейшие реплики подбирались так, чтобы, с одной стороны,​ не было лишних,​ а с другой - граф определялся однозначно. 
 +Вроде, удалось. Хотя задача понравилась далеко не всем. Но мне понравилась. Поэтому я, все же, намерен в одном из грядущих конкурсов заставить Васю и его друзей обсудить новый математический объект.
  
- ​**Конкурсная задача ​ММ259** (8 баллов)+У тех, ​кто отозвалсязадача ​затруднений не вызвала. Единственный ​балл ​изъят за излишнее увлечение сестрой таланта. ​  
  
-Решения принимаются ​до __31.10.2020__+**Награды**
  
-Может ли треугольник с вершинами в центроиде и центрах вписанной ​и описанной окружностей некоторого треугольника быть\\  +За решение ​задачи ММ257 участники Марафона получают следующие призовые баллы\\ 
-a) равновелик;\\ +Анатолий Казмерчук - 10\\ 
-б) подобен;\\ +Константин Шамсутдинов - 9\\ 
-вравен \\ +Владислав Франк - 9\\ 
-исходному?+Денис Овчинников - 9\\ 
 +Виктор Филимоненков - 9\\ 
 +Олег Полубасов - 8.
  
-===== ММ260 =====+**Эстетическая оценка задачи - 4.3 балла ** 
 +----
  
- ​**Конкурсная задача ММ260** (12 баллов) 
  
-Решения принимаются до __14.11.2020__+===== ММ256 ===== 
 +**Конкурсная ​задача ММ256** (8 баллов)
  
 +При каком наименьшем натуральном n уравнение n{x}<​sup>​2</​sup>​ +{x}=[x] имеет не менее 1000000 решений в рациональных числах?​
  
-Задача ММ260 ​обобщает и развивает ​ММ231+__Примечание: {x} – дробная часть числа x, [x]  – целая часть (пол) числа x.__
  
-Пусть ​ABC – некоторый треугольник, точки K, L, M лежат соответственно на прямых AB, AC и BC, а s – некоторое действительное число, отличное от и 1. Треугольник KLM будем называть подобно-вписанным в ∆ABC, ​если + 
-AK=sAB, BL=sBC, CM=sCA; +**Решение** 
-треугольник ​KLM подобен треугольнику ​ABC. + 
-Сколько подобно вписанных треугольников может быть у произвольного треугольника?+Привожу решения {{:​marathon:​mm256_dendr81.pdf|Дениса Овчинникова}} и {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_256.pdf|Анатолия Казмерчука}}. С решением **vpb** можно познакомиться в разборе ММ256 ​на [[https://​dxdy.ru/​post1486803.html#​p1486803 | dxdy.ru]] 
 + 
 +**Обсуждение**  
 + 
 +В Марафоне неоднократно встречались задачи про функции [x] и {x} (ММ79, ММ176, ММ202, ММ263...)\\ 
 +Маскируется под них и ММ256. Но прозорливые конкурсанты верно разглядели в ней задачку по арифметике (теории чисел). И уверенно справились. 
 +А вот попыток изучить аналоги и обобщения было меньше обычного. Единственнымкто преуспел в этом оказался (и это не стало неожиданностью для ​ведущего) Анатолий Казмерчук. 
 + 
 +На этот раз конкурсанты были довольно ​единодушны при оценивании задачи. Соглашусь с ними и я :-)  
 + 
 +**Награды** 
 + 
 +За решение задачи ММ256 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ 
 +Анатолий Казмерчук - 10\\ 
 +Константин Шамсутдинов - 8\\ 
 +Олег Полубасов - 8\\ 
 +Владислав Франк - 8\\ 
 +Денис Овчинников - 8\\ 
 +Виктор Филимоненков - 8\\ 
 +vpb - 8. 
 + 
 +**Эстетическая оценка задачи - 4.7 балла ** 
 +---- 
 + 
 + 
 +===== ММ255 ===== 
 +**Конкурсная задача ММ255** (7 баллов) 
 + 
 +Найти наименьшее натуральное число, ​имеющее ровно 7 представлений в виде произведения наибольшего возможного количества попарно различных натуральных сомножителей.  
 + 
 +**Решение** 
 + 
 +Привожу решения {{:​marathon:​fiviol_мм255.docx|Виктора Филимоненкова}},​ {{:​marathon:​mm255_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}} и {{:​marathon:​mm255_shamsutdinov.docx|Константина Шамсутдинова}}. 
 + 
 +**Обсуждение**  
 + 
 +Несложное обоснование существования чисел, имеющих в точности k представлений в виде произведения наибольшего возможного количества попарно различных ​сомножителей,​ оценивалось в один дополнительный балл. Еще 1 или два балла начислялись за нахождение наименьших чисел для других значений k.  
 + 
 +ММ255 еще ​раз продемонстрировала полярность вкусов и предпочтений конкурсантов. Впрочем, из усредненной эстетической оценки видно, что ​тех, кому задача понравилась - большинство. В любом случае еще раз призываю конкурсантов не забывать присылать свои оценки задач. И использовать шкалу ​оценок ​по полной. Оценка по однобалльной шкале не позволит ведущему учесть ваши ​предпочтения при составлении новых задач (хотя предпочтеyия ведущего, по-видимому, в любом случае будут иметь приоритет). 
 + 
 +**Награды** 
 + 
 +За решение задачи ММ255 участники Марафона получают следующие ​призовые баллы: \\ 
 +Константин Шамсутдинов - 10\\ 
 +Олег Полубасов - 9\\ 
 +Анатолий Казмерчук - 8\\ 
 +Владислав Франк - 8\\ 
 +Денис Овчинников - 8\\ 
 +Виктор Филимоненков - 7\\ 
 +Владимир Дорофеев - 4. 
 + 
 +**Эстетическая оценка задачи - 4.4 балла **
  
 ---- ----
  
-====== Разбор задач ====== 
  
 ===== ММ254 ===== ===== ММ254 =====
Строка 127: Строка 304:
 Валентин Пивоваров почему-то решил, что за один шаг обязательно вписывается сразу по 3 круга (в каждый из углов треугольника). Перечитав условие я убедился,​ что в нем нет намеков на такое толкование. Тем не менее, я счел возможным поставить Валентину достаточно высокий балл, поскольку параметры трех геометрических прогрессий были определены верно, то есть, было сделано практически все, что нужно для решения. Валентин Пивоваров почему-то решил, что за один шаг обязательно вписывается сразу по 3 круга (в каждый из углов треугольника). Перечитав условие я убедился,​ что в нем нет намеков на такое толкование. Тем не менее, я счел возможным поставить Валентину достаточно высокий балл, поскольку параметры трех геометрических прогрессий были определены верно, то есть, было сделано практически все, что нужно для решения.
 Еще два участника почему-то ограничились нахождением наименьшего количества кругов,​ покрывающих более 80% площади треугольника. Проанализировав условие,​ я пришел к выводу,​ что вина за такую трактовку лежит исключительно на этих участниках :-) Еще два участника почему-то ограничились нахождением наименьшего количества кругов,​ покрывающих более 80% площади треугольника. Проанализировав условие,​ я пришел к выводу,​ что вина за такую трактовку лежит исключительно на этих участниках :-)
-Наконец,​ в одном из решений превышение 80% на любом круге, начиная с 6-го, отмечается,​ но отдельно не обосновывается. Хотя легко подобрать начальные данные так, что правильным ответом будет, например,​ такой "​требуемый процент будет превышен на 4-м, 5-м или ​6-м шаге"​.+Наконец,​ в одном из решений превышение 80% на любом круге, начиная с 6-го, отмечается,​ но отдельно не обосновывается. Хотя легко подобрать начальные данные так, что правильным ответом будет, например,​ такой "​требуемый процент будет превышен на 3-м, 4-м или ​5-м шаге"​.
  
 Анатолий Казмерчук нашел диапазон,​ в котором может изменяться отношение площади треугольника к предельной сумме площадей кругов в зависимости от формы треугольника. Анатолий Казмерчук нашел диапазон,​ в котором может изменяться отношение площади треугольника к предельной сумме площадей кругов в зависимости от формы треугольника.
 Олег Полубасов показал,​ как приближаться к границам этого диапазона,​ но не обосновал непреодолимость этих границ. ​ Олег Полубасов показал,​ как приближаться к границам этого диапазона,​ но не обосновал непреодолимость этих границ. ​
-Владислав Франк ​строго обосновал нижнюю границу.+Владислав Франк ​получил нижнюю границу.
  
 Отдельно отмечу замечательное наблюдение Олега Полубасова - поразительную близость отношения площади египетского треугольника к сумме площадей вписанного круга и трех кругов,​ вписанных в углы треугольника,​ к π/2.  Отдельно отмечу замечательное наблюдение Олега Полубасова - поразительную близость отношения площади египетского треугольника к сумме площадей вписанного круга и трех кругов,​ вписанных в углы треугольника,​ к π/2. 
Строка 282: Строка 459:
 ---- ----
  
-===== ММ250 ===== 
-  
-**Конкурсная задача ММ250** (14 баллов) 
- 
-Найти наименьшее возможное количество ребер выпуклого многогранника,​ у которого сумма длин ребер равна сумме длин диагоналей. 
- 
-[[problem 250|Решение задачи ММ250]] 
- 
----- 
- 
-===== ММ249 ===== 
- 
-**Конкурсная задача ММ249** (10 баллов) 
- 
-Пусть k – натуральное число и a – некоторая перестановка 2020-элементного множества. Может ли уравнение x<​sup>​k</​sup>​=a иметь ровно 2020 решений?​ 
- 
-[[problem 249|Решение задачи ММ249]] 
- 
----- 
- 
-===== ММ248 ===== 
- 
-**Конкурсная задача ММ248** (8 баллов) 
- 
-Найти наименьшее натуральное k такое, что во множестве {(τ(kn))/​(τ(n))|n ∈ N} ровно 13 целых чисел. ​ 
- 
-[[problem 248|Решение задачи ММ248]] 
- 
----- 
- 
-===== ММ247 ===== 
- 
-**Конкурсная задача ММ247** (7 баллов) 
- 
- 
-Пусть k – фиксированное натуральное число. Для натуральных n определим функцию f<​sub>​k</​sub>​(n)=lcm(n,​ n+1,..., n+k-1)/​lcm(n+1,​ n+2,..., n+k)} 
-Найти наименьшие значения f<​sub>​5</​sub>​(n) и f<​sub>​9</​sub>​(n). 
- 
-[[problem 247|Решение задачи ММ247]] 
- 
----- 
- 
- 
-===== ММ246 ===== 
- 
-**Конкурсная задача ММ246** (7 баллов) 
- 
- 
-Сколько (с точностью до подобия) существует разносторонних треугольников,​ разрезаемых на два равнобедренных более чем одним способом?​ 
- 
-[[problem 246|Решение задачи ММ246]] 
- 
----- 
  
  
 ~~NOTOC~~ ~~NOTOC~~
 

 


Страница: [[marathon:about]]

marathon/about.1601201967.txt · Последние изменения: 2020/09/27 13:19 — letsko
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006