Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

marathon:about [2020/10/05 11:08]
letsko
marathon:about [2020/11/15 22:43] (текущий)
letsko [ММ260]
Строка 9: Строка 9:
 ---- ----
  
-Продолжается ​**XXVI конкурс в рамках Математического марафона!**+Завершен ​**XXVI конкурс в рамках Математического марафона!** 
 + 
 +Его лауреатом стал **Анатолий Казмерчук**! Мои поздравления победителю и его достойным конкурентам!
  
 Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания,​ выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными,​ а другие - не очень. На вкус и на цвет... Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания,​ выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными,​ а другие - не очень. На вкус и на цвет...
Строка 27: Строка 29:
  
 ====== Текущие задачи ====== ====== Текущие задачи ======
 +----
 +Будут!
 ---- ----
  
 +====== Разбор задач ======
  
-  +===== ММ260 ===== 
-===== ММ256 =====+ ​**Конкурсная задача ММ260** (12 баллов)
  
- ​**Конкурсная задача ММ256** (8 баллов)+__Задача ММ260 обобщает и развивает ММ231__
  
-Решения принимаются до __11.10.2020__+Пусть ABC - некоторый треугольник, точки K, L, M лежат соответственно на прямых AB, BC и AC, а s - некоторое действительное число, отличное от 0 и 1. Треугольник KLM будем называть подобно-вписанным в ?ABC, если\\ 
 +AK=sAB, BL=sBC, CM=sCA;\\ 
 +треугольник KLM подобен треугольнику ABC.\\ 
 +Сколько подобно вписанных треугольников может быть у произвольного треугольника?​
  
-При каком наименьшем натуральном n уравнение ​n{x}<​sup>​2</​sup>​ +{x}=[x] имеет не менее 1000000 решений в рациональных числах?​+**Решение**
  
-Примечание: {x} – дробная часть ​числа x[x]  – целая часть (полчисла x.+Привожу решения {{:​marathon:​mm260_dendr81.pdf|Дениса Овчинникова}}{{:​marathon:​kazmerchuk_mm_260.pdf|Анатолия Казмерчука}} ​и {{:​marathon:​mm260_val.pdf|авторское}}.
  
-===== ММ257 =====+**Обсуждение** ​
  
- **Конкурсная задача ММ257** (9 баллов)+ММ260 - плод присущего ведущему духу противоречия. Это ответ ​на реакцию ряда марафонцев на ММ231, не усмотревших у этой ​задачи интересных обобщений.\\ 
 +Судя по тому, что ​ММ260 конкурсантам понравилась, "​месть"​ удалась.
  
-Решения ​принимаются до __18.10.2020__+Некоторые затруднения,​ возникшие у участников, оказались связаны с исследованием частного ​случая, когда исходный треугольник равнобедренный,​ но не равносторонний 
 +Все марафонцы заметили,​ что количество подобно-вписанных треугольников для таких треугольников меньше,​ чем для разносторонних,​ не все правильно выяснили на сколько меньше.
  
-Задача ММ257 ​сюжетно ​связана с ММ237+В то же время, никто не прошел мимо класса автомедианных (см. ​авторское решение) треугольников. Я столкнулся с этим классом треугольников именно при решении данной задачи. То, что они называются автомедианными я узнал позже, от А. Д. Блинкова (хотя сразу обнаружил, что эти треугольники подобны треугольникам из своих медиан). 
 +Кроме того, мне сразу бросилась в глаза масса замечательных свойств этих треугольников. Часть этих свойств приведена в авторском решении. Позже мы с Ярославом Сысосевым обнаружили еще море свойств (большинство из которых оказались нигде ранее не описаны).  
 +Возможно,​ они пригодятся для новых марафонских задач. Поэтому я не буду приводить их здесь.
  
-Студент математического факультета Вася Пупкин пропустил (по уважительной причине) занятие по дискретной математике. Однокурсники рассказали,​ что на занятии рассматривался некий граф. ​Но ни один из них не зафиксировал этот ​граф ни с помощью гаджетов, ни на бумагу. Впрочем,​ Васины однокурсники,​ утверждают,​ что это не страшно,​ поскольку они и так помнят этот граф. В подтверждение своих слов они наперебой кинулись вспоминать характеристики графа:​\\+**Награды**
  
 +За решение задачи ММ260 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\
 +Анатолий Казмерчук - 13\\
 +Денис Овчинников - 13\\
 +Константин Шамсутдинов - 12\\
 +Виктор Филимоненков - 11\\
 +Владислав Франк - 10\\
 +
 +**Эстетическая оценка задачи - 5 баллов **
 +----
 +
 +
 +===== ММ259 =====
 +
 +**Конкурсная задача ММ259** (8 баллов)
 +
 +Может ли треугольник с вершинами в центроиде и центрах вписанной и описанной окружностей некоторого треугольника быть\\ ​
 +a) равновелик;​\\
 +б) подобен;​\\
 +в) равен \\
 +исходному?​
 +
 +**Решение**
 +
 +Привожу решения {{:​marathon:​mm259_dendr81.pdf|Дениса Овчинникова}} и {{:​marathon:​frank_mm259.pdf|Владислава Франка}}. С рншением Анатолия Казмерчука можно ознакомиться [[https://​dxdy.ru/​post1490274.html#​p1490274]|тут]].
 +
 +**Обсуждение** ​
 +
 +Как обычно,​ к концу соревнования (или очередного этапа, кому как нравится) марафонцы начали потихоньку уставать и сходить с дистанции.
 +Зато оставшиеся участники порадовали разнообразием подходов.
 +Например,​ Влад Франк прибегнул к комплексной параметризации. Аналогичный прием, примененный при решении ММ157 (см. разбор),​ привел к короткому изящному решению. Удалось ли добиться такого же эффекта для ММ259, судите сами.
 +
 +Некоторое расхождение в оценках связано со строгостью обоснования последнего пункта.
 +За одним исключением. У Виктора Филимоненкова все обосновано строго. Но он почему-то рассмотрел треугольник с вершинами в центрах вписанной и описанной окружностей и в ортоцентре (а не центориде,​ как было в условии).
 +Такой треугольник не может быть не только равен, но и подобен исходному.
 +
 +Для полноты картины замечу,​ что треугольник с вершинами в центроиде,​ инцентре и ортоцентре,​ так же как и треугольник из условия,​ может быть равновелик и подобен,​ но не равен исходному.
 +В параметризации A(-1;0), B(1;0), C(x;y), где 0≤x<1, (x+1)<​sup>​2</​sup>​+y<​sup>​2</​sup>​ ≤4, единственному треугольнику с вершинами в центроиде,​ инцентре и ортоцентре,​ подобному исходному соответствует С(0.6367873395...;​ 0.5201582408...). ​
 +Наконец,​ треугольника с вершинами в центроиде,​ ортоцентре и центре описанной окружности не существует,​ поскольку эти точки лежат на прямой Эйлера.
 +
 +Любопытно,​ что, если в указанной параметризации взять C(0.3246129395...,​ 0.4677703801...),​ треугольник с вершинами в ортоцентре и двух точках Аполлония (изодинамических центрах) подобен исходному с коэффициентов подобия довольно близким к 1.
 +
 +Я полагаю,​ что никакой треугольник не может быть равен треугольнику с вершинами в каких-то трех своих замечательных точках. Но пока проверил не все сочетания замечательных точек из ETC (а там порядка 40000 центров) по три :-) 
 +
 +**Награды**
 +
 +За решение задачи ММ259 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\
 +Анатолий Казмерчук - 9\\
 +Владислав Франк - 8\\
 +Денис Овчинников - 8\\
 +Константин Шамсутдинов - 7\\
 +Виктор Филимоненков - 5\\
 +
 +**Эстетическая оценка задачи - 4.8  балла **
 +
 +----
 +
 +
 +===== ММ258 =====
 + ​**Конкурсная задача ММ258** (7 баллов)
 +
 +Сколько элементов содержит множество сумм квадратов цифр квадратов чисел, в десятичной записи которых присутствуют по одному разу ровно три ненулевых цифры: 1, 4, 9? (Нулей может быть сколько угодно).
 +
 +**Решение**
 +
 +Привожу решения {{:​marathon:​мм258_fiviol.docx|Виктора Филимоненкова}},​ {{:​marathon:​mm258_dendr81.pdf|Дениса Овчинникова}} и {{:​marathon:​bukina_mm258.pdf|Анны Букиной}}.
 +
 +**Обсуждение** ​
 +
 +ММ258 не вызвала затруднений ни у кого из тех, кто прислал решения. Интересно,​ что в большинстве присланных решений перебор минимизирован настолько,​ что его вполне можно осуществить вручную.
 +
 +Естественные обобщения задачи рассмотрели Олег Полубасов и Анатолий Казмерчук. Процитирую Олега:
 +
 +"​Если рассмотреть всевозможные тройки {a, b, c} от {1, 1, 1} до {9, 9, 9}, то окажется,​ что размеры множеств сумм могут принимать следующие значения:​
 +2-38, 40, 42-49, 52, 56, 57, 60. 
 +Двухэлементное множество сумм даёт тройка {1, 1, 1}, а 60-элементное – тройка {7, 8, 9}. 
 +Чаще всего (13 раз) встречается размер 24. Размер 25 встречается 7 раз."​
 +
 +Эта техническая и достаточно рутинная задача возникла как побочный продукт из попытки решить более содержательную задачу.\\
 +Легко понять,​ что суммы квадратов цифр натурального числа может быть любым натуральным числом (достаточно ограничиться рассмотрением репьюнитов).\\
 +Немногим сложнее обосновывается,​ что сумма цифр квадрата натурального числа может быть любым натуральным числом,​ сравнимым с 0, 1, 4, 7 (квадратами) по модулю 9.\\
 +А вот с суммами квадратов цифр квадратов натуральных чисел дело обстоит интереснее. ​
 +По-видимому,​ они могут принимать любые значения за исключением 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 20.\\
 +При попытке обосновать это утверждение и возникла данная задача. Почему именно 1, 4, 9?\\
 +Во-первых,​ сумма число 149 приводит 13, а 1049 - к 19 (эти числа наряду с 15, 17 и 18 входят в список небольших чисел, имеющих нетривиальные требуемые представления).
 +А во-вторых,​ 1, 4, 9 (фигурирующие в условии) - это все ненулевые цифры, являющиеся квадратами,​ а 25 (фигурирующее в ответе) тоже квадрат. Мне показалось,​ что это будет уместно в задаче про сумму **квадратов** цифр **квадратов** чисел.
 +
 +Сама же попытка обоснования приведенного предположения утонула в переборе переборов и к задаче не привела.
 +
 +**Награды**
 +
 +За решение задачи ММ258 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\
 +Анатолий Казмерчук - 8\\
 +Олег Полубасов - 8\\
 +Владислав Франк - 8\\
 +Константин Шамсутдинов - 7\\
 +Денис Овчинников - 7\\
 +Виктор Филимоненков - 7\\
 +Анна Букина - 7.
 +
 +**Эстетическая оценка задачи - 4 балла **
 +----
 +PS: Владислав Франк прислал мне строгое доказательство того, что каждое натуральное число, большее 20, есть сумма квадратов цифр некоторого квадрата.
 +----
 +
 +
 +===== ММ257 =====
 + ​**Конкурсная задача ММ257** (9 баллов)
 +
 +__Задача ММ257 сюжетно связана с ММ237__
 +
 +Студент математического факультета Вася Пупкин пропустил (по уважительной причине) занятие по дискретной математике. Однокурсники рассказали,​ что на занятии рассматривался некий граф. Но ни один из них не зафиксировал этот граф ни с помощью гаджетов,​ ни на бумагу. Впрочем,​ Васины однокурсники,​ утверждают,​ что это не страшно,​ поскольку они и так помнят этот граф. В подтверждение своих слов они наперебой кинулись вспоминать характеристики графа:​\\
 Аня: В графе было ровно 3 связных компоненты.\\ Аня: В графе было ровно 3 связных компоненты.\\
 Ваня: Причем во всех связных компонентах графа имелись циклы.\\ Ваня: Причем во всех связных компонентах графа имелись циклы.\\
Строка 61: Строка 184:
 Нина: А степень одной из вершин не менее чем на 2 превосходила степень каждой из остальных вершин.\\ Нина: А степень одной из вершин не менее чем на 2 превосходила степень каждой из остальных вершин.\\
 Фаина: Зина, Лина и Нина правы.\\ Фаина: Зина, Лина и Нина правы.\\
- 
 Услышавший эти реплики преподаватель сказал,​ что память подвела ровно одного человека.\\ ​ Услышавший эти реплики преподаватель сказал,​ что память подвела ровно одного человека.\\ ​
 Сможет ли Вася (умница и отличник) однозначно восстановить граф?\\ Сможет ли Вася (умница и отличник) однозначно восстановить граф?\\
  
-===== ММ258 =====+**Решение**
  
- **Конкурсная ​задача ​ММ258** (7 баллов)+Привожу решения {{:​marathon:​fiviol_mm257.docx|Виктора Филимоненкова}} и {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_257.pdf|Анатолия Казмерчука}}.
  
-Решения принимаются до __24.10.2020__+**Обсуждение** 
  
-Сколько ​элементов ​содержит множество сумм квадратов ​цифр квадратов чисел, в десятичной записи которых присутствуют по одному разу ровно три ненулевых цифры: 14, 9? (Нулей может ​быть сколько угодно).+Сразу несколько ​участников покритиковали ведущего за то, что он не уточнил, что имеет ​в виду под рафом"​.  
 +Сначала меня удивила ​такая реакция:​ ведь в предудыщих ​марафонских турнирах графы фигурировали десятки раз и подобных ​вопросов не возникало. 
 +Задумавшись я понял, что в большинстве предыдущих задач структура графа, возникающего на том или ином множестве, вводилась прямо в условии. 
 +Впрочем, в ряде задач (ММ105, ММ116, ММ146, ММ153, ММ156) так же как и в ММ257 рассматривались абстрактные графы, но к неоднозначности это не приводило. А меожет, и приводило... Давно это было, 100 задач назад. 
 +В общем, на будущее: ​под графом я всегда ​имею в виду классический граф: непустое (обычно конечное) ​множество вершин и множество ребер, каждое из которых есть двухэлементое множество вершин. 
 +Это ​не значит, что я зарекаюсь использовать будущих задачах,​ орграфы, мультиграфы,​ гиперграфы,​ бинарные отношения и даже матроиды. Но когда я буду использовать такие ​структуры, я отдельно заострю ​на этом внимание.
  
-===== ММ259 =====+Составляя задачу,​ я вдохновлялся ​ММ237. И начал с того, что продублировал реплику Фаины. Дальнейшие реплики подбирались так, чтобы, с одной стороны,​ не было лишних,​ а с другой - граф определялся однозначно. 
 +Вроде, удалось. Хотя задача понравилась далеко не всем. Но мне понравилась. Поэтому я, все же, намерен в одном из грядущих конкурсов заставить Васю и его друзей обсудить новый математический объект.
  
- ​**Конкурсная задача ​ММ259** (8 баллов)+У тех, ​кто отозвалсязадача ​затруднений не вызвала. Единственный ​балл ​изъят за излишнее увлечение сестрой таланта. ​  
  
-Решения принимаются ​до __31.10.2020__+**Награды**
  
-Может ли треугольник с вершинами в центроиде и центрах вписанной ​и описанной окружностей некоторого треугольника быть\\  +За решение ​задачи ММ257 участники Марафона получают следующие призовые баллы\\ 
-a) равновелик;\\ +Анатолий Казмерчук - 10\\ 
-б) подобен;\\ +Константин Шамсутдинов - 9\\ 
-вравен \\ +Владислав Франк - 9\\ 
-исходному?+Денис Овчинников - 9\\ 
 +Виктор Филимоненков - 9\\ 
 +Олег Полубасов - 8.
  
-===== ММ260 =====+**Эстетическая оценка задачи - 4.3 балла ** 
 +----
  
- ​**Конкурсная задача ММ260** (12 баллов) 
  
-Решения принимаются до __14.11.2020__+===== ММ256 ===== 
 +**Конкурсная ​задача ММ256** (8 баллов)
  
 +При каком наименьшем натуральном n уравнение n{x}<​sup>​2</​sup>​ +{x}=[x] имеет не менее 1000000 решений в рациональных числах?​
  
-Задача ММ260 ​обобщает и развивает ​ММ231+__Примечание: {x} – дробная часть числа x, [x]  – целая часть (пол) числа x.__
  
-Пусть ABC – некоторый треугольник,​ точки K, L, M лежат соответственно на прямых AB, AC и BC, а s – некоторое действительное число, отличное от 0 и 1. Треугольник KLM будем называть подобно-вписанным в ∆ABC, если 
-AK=sAB, BL=sBC, CM=sCA; 
-треугольник KLM подобен треугольнику ABC. 
-Сколько подобно вписанных треугольников может быть у произвольного треугольника?​ 
  
 +**Решение**
 +
 +Привожу решения {{:​marathon:​mm256_dendr81.pdf|Дениса Овчинникова}} и {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_256.pdf|Анатолия Казмерчука}}. С решением **vpb** можно познакомиться в разборе ММ256 на [[https://​dxdy.ru/​post1486803.html#​p1486803 | dxdy.ru]]
 +
 +**Обсуждение** ​
 +
 +В Марафоне неоднократно встречались задачи про функции [x] и {x} (ММ79, ММ176, ММ202, ММ263...)\\
 +Маскируется под них и ММ256. Но прозорливые конкурсанты верно разглядели в ней задачку по арифметике (теории чисел). И уверенно справились.
 +А вот попыток изучить аналоги и обобщения было меньше обычного. Единственным,​ кто преуспел в этом оказался (и это не стало неожиданностью для ведущего) Анатолий Казмерчук.
 +
 +На этот раз конкурсанты были довольно единодушны при оценивании задачи. Соглашусь с ними и я :-) 
 +
 +**Награды**
 +
 +За решение задачи ММ256 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\
 +Анатолий Казмерчук - 10\\
 +Константин Шамсутдинов - 8\\
 +Олег Полубасов - 8\\
 +Владислав Франк - 8\\
 +Денис Овчинников - 8\\
 +Виктор Филимоненков - 8\\
 +vpb - 8.
 +
 +**Эстетическая оценка задачи - 4.7 балла **
 ---- ----
  
-====== Разбор задач ====== 
  
 ===== ММ255 ===== ===== ММ255 =====
 

 


Страница: [[marathon:about]]

marathon/about.1601885327.txt · Последние изменения: 2020/10/05 11:08 — letsko
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006