Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

--- marathon:archive [2020/09/28 07:23]
letsko
+++ marathon:archive [2021/03/29 07:54] (текущий)
letsko
@@ Строка 6: / Строка 6: @@
 ----
+===== ММ260 =====
+ **Конкурсная задача ММ260** (12 баллов)
+__Задача ММ260 обобщает и развивает ММ231__
+Пусть ABC - некоторый треугольник, точки K, L, M лежат соответственно на прямых AB, BC и AC, а s - некоторое действительное число, отличное от 0 и 1. Треугольник KLM будем называть подобно-вписанным в ?ABC, если\\
+AK=sAB, BL=sBC, CM=sCA;\\
+треугольник KLM подобен треугольнику ABC.\\
+Сколько подобно вписанных треугольников может быть у произвольного треугольника?
+[[problem 260|Решение задачи ММ260]]
+----
+===== ММ259 =====
+**Конкурсная задача ММ259** (8 баллов)
+Может ли треугольник с вершинами в центроиде и центрах вписанной и описанной окружностей некоторого треугольника быть\\
+a) равновелик;\\
+б) подобен;\\
+в) равен \\
+исходному?
+[[problem 259|Решение задачи ММ259]]
+----
+===== ММ258 =====
+ **Конкурсная задача ММ258** (7 баллов)
+Сколько элементов содержит множество сумм квадратов цифр квадратов чисел, в десятичной записи которых присутствуют по одному разу ровно три ненулевых цифры: 1, 4, 9? (Нулей может быть сколько угодно).
+[[problem 258|Решение задачи ММ258]]
+----
+===== ММ257 =====
+ **Конкурсная задача ММ257** (9 баллов)
+__Задача ММ257 сюжетно связана с ММ237__
+Студент математического факультета Вася Пупкин пропустил (по уважительной причине) занятие по дискретной математике. Однокурсники рассказали, что на занятии рассматривался некий граф. Но ни один из них не зафиксировал этот граф ни с помощью гаджетов, ни на бумагу. Впрочем, Васины однокурсники, утверждают, что это не страшно, поскольку они и так помнят этот граф. В подтверждение своих слов они наперебой кинулись вспоминать характеристики графа:\\
+Аня: В графе было ровно 3 связных компоненты.\\
+Ваня: Причем во всех связных компонентах графа имелись циклы.\\
+Даня: А еще среди связных  компонент не было изоморфных.\\
+Маня: Число ребер в одной из компонент было равно половине общего числа ребер.\\
+Саня: При этом число ребер было равно сумме количеств вершин и связных компонент.\\
+Таня: В графе была всего одна вершина степени 3.\\
+Зина: А всего в графе было не более 13 вершин.\\
+Лина: И при этом не было висячих вершин. \\
+Нина: А степень одной из вершин не менее чем на 2 превосходила степень каждой из остальных вершин.\\
+Фаина: Зина, Лина и Нина правы.\\
+Услышавший эти реплики преподаватель сказал, что память подвела ровно одного человека.\\
+Сможет ли Вася (умница и отличник) однозначно восстановить граф?\\
+[[problem 257|Решение задачи ММ257]]
+----
+===== ММ256 =====
+**Конкурсная задача ММ256** (8 баллов)
+При каком наименьшем натуральном n уравнение n{x}<sup>2</sup> +{x}=[x] имеет не менее 1000000 решений в рациональных числах?
+__Примечание: {x} – дробная часть числа x, [x]  – целая часть (пол) числа x.__
+[[problem 256|Решение задачи ММ256]]
+----
+===== ММ255 =====
+**Конкурсная задача ММ255** (7 баллов)
+Найти наименьшее натуральное число, имеющее ровно 7 представлений в виде произведения наибольшего возможного количества попарно различных натуральных сомножителей.
+[[problem 255|Решение задачи ММ255]]
+----
+===== ММ254 =====
+**Конкурсная задача ММ254** (6 баллов)
+Вася вписал круг в треугольник со сторонами 3, 4, 5. И вписывает новые круги так, что каждый последующий касается двух сторон треугольника и одного из предыдущих кругов. Может ли суммарная площадь кругов превысить 80% от площади треугольника и на каком шаге (круге) может случиться это событие?
+[[problem 254|Решение задачи ММ254]]
+----
+===== ММ253 =====
+**Конкурсная задача ММ253** (5 баллов)
+Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA<sub>1</sub>B<sub>1</sub>C<sub>1</sub> равна 2. Сечение призмы, проходящее через середину отрезка AB<sub>1</sub> перпендикулярно ему имеет площадь 28sqrt(39)/81. Найти объем призмы?
+[[problem 253|Решение задачи ММ253]]
+----
+===== ММ252 =====
+**Конкурсная задача ММ252** (3 балла)
+Для числа 90 существуют две пары представлений в виде произведения трех сомножителей таких, что суммы сомножителей внутри каждой пары одинаковы:
+=1⋅9⋅10=2⋅3⋅15,  1+9+10=2+3+15;\\
+=2⋅5⋅9=3⋅3⋅10,  2+5+9=3+3+10.\\
+Доказать, что существует бесконечно много натуральных чисел вида p<sup>k</sup>q (p, q – простые, k – натуральное), обладающих таким свойством.
+[[problem 252|Решение задачи ММ252]]
+----
+===== ММ251 =====
+**Конкурсная задача ММ251** (3 балла)
+Из книги вырвано несколько страниц. Сумма номеров оставшихся страниц 5001. Пусть n – наименьшее возможное число страниц, которое могло быть в этой книге изначально. Найдите наибольший возможный номер отсутствующей страницы, при условии, что в книге было n страниц.
+[[problem 251|Решение задачи ММ251]]
+----
 ===== ММ250 =====