marathon:archive [2019/09/07 12:43] letsko |
marathon:archive [2021/03/29 07:54] (текущий) letsko |
| |
---- | ---- |
| |
| ===== ММ260 ===== |
| **Конкурсная задача ММ260** (12 баллов) |
| |
| __Задача ММ260 обобщает и развивает ММ231__ |
| |
| Пусть ABC - некоторый треугольник, точки K, L, M лежат соответственно на прямых AB, BC и AC, а s - некоторое действительное число, отличное от 0 и 1. Треугольник KLM будем называть подобно-вписанным в ?ABC, если\\ |
| AK=sAB, BL=sBC, CM=sCA;\\ |
| треугольник KLM подобен треугольнику ABC.\\ |
| Сколько подобно вписанных треугольников может быть у произвольного треугольника? |
| |
| [[problem 260|Решение задачи ММ260]] |
| |
| ---- |
| |
| |
| ===== ММ259 ===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ259** (8 баллов) |
| |
| Может ли треугольник с вершинами в центроиде и центрах вписанной и описанной окружностей некоторого треугольника быть\\ |
| a) равновелик;\\ |
| б) подобен;\\ |
| в) равен \\ |
| исходному? |
| |
| [[problem 259|Решение задачи ММ259]] |
| |
| ---- |
| |
| |
| ===== ММ258 ===== |
| **Конкурсная задача ММ258** (7 баллов) |
| |
| Сколько элементов содержит множество сумм квадратов цифр квадратов чисел, в десятичной записи которых присутствуют по одному разу ровно три ненулевых цифры: 1, 4, 9? (Нулей может быть сколько угодно). |
| |
| [[problem 258|Решение задачи ММ258]] |
| |
| ---- |
| |
| |
| ===== ММ257 ===== |
| **Конкурсная задача ММ257** (9 баллов) |
| |
| __Задача ММ257 сюжетно связана с ММ237__ |
| |
| Студент математического факультета Вася Пупкин пропустил (по уважительной причине) занятие по дискретной математике. Однокурсники рассказали, что на занятии рассматривался некий граф. Но ни один из них не зафиксировал этот граф ни с помощью гаджетов, ни на бумагу. Впрочем, Васины однокурсники, утверждают, что это не страшно, поскольку они и так помнят этот граф. В подтверждение своих слов они наперебой кинулись вспоминать характеристики графа:\\ |
| Аня: В графе было ровно 3 связных компоненты.\\ |
| Ваня: Причем во всех связных компонентах графа имелись циклы.\\ |
| Даня: А еще среди связных компонент не было изоморфных.\\ |
| Маня: Число ребер в одной из компонент было равно половине общего числа ребер.\\ |
| Саня: При этом число ребер было равно сумме количеств вершин и связных компонент.\\ |
| Таня: В графе была всего одна вершина степени 3.\\ |
| Зина: А всего в графе было не более 13 вершин.\\ |
| Лина: И при этом не было висячих вершин. \\ |
| Нина: А степень одной из вершин не менее чем на 2 превосходила степень каждой из остальных вершин.\\ |
| Фаина: Зина, Лина и Нина правы.\\ |
| Услышавший эти реплики преподаватель сказал, что память подвела ровно одного человека.\\ |
| Сможет ли Вася (умница и отличник) однозначно восстановить граф?\\ |
| |
| [[problem 257|Решение задачи ММ257]] |
| |
| ---- |
| |
| |
| ===== ММ256 ===== |
| **Конкурсная задача ММ256** (8 баллов) |
| |
| При каком наименьшем натуральном n уравнение n{x}<sup>2</sup> +{x}=[x] имеет не менее 1000000 решений в рациональных числах? |
| |
| __Примечание: {x} – дробная часть числа x, [x] – целая часть (пол) числа x.__ |
| |
| [[problem 256|Решение задачи ММ256]] |
| |
| ---- |
| |
| |
| ===== ММ255 ===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ255** (7 баллов) |
| |
| Найти наименьшее натуральное число, имеющее ровно 7 представлений в виде произведения наибольшего возможного количества попарно различных натуральных сомножителей. |
| |
| [[problem 255|Решение задачи ММ255]] |
| |
| ---- |
| |
| |
| ===== ММ254 ===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ254** (6 баллов) |
| |
| Вася вписал круг в треугольник со сторонами 3, 4, 5. И вписывает новые круги так, что каждый последующий касается двух сторон треугольника и одного из предыдущих кругов. Может ли суммарная площадь кругов превысить 80% от площади треугольника и на каком шаге (круге) может случиться это событие? |
| |
| [[problem 254|Решение задачи ММ254]] |
| |
| ---- |
| |
| ===== ММ253 ===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ253** (5 баллов) |
| |
| Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA<sub>1</sub>B<sub>1</sub>C<sub>1</sub> равна 2. Сечение призмы, проходящее через середину отрезка AB<sub>1</sub> перпендикулярно ему имеет площадь 28sqrt(39)/81. Найти объем призмы? |
| |
| [[problem 253|Решение задачи ММ253]] |
| |
| ---- |
| ===== ММ252 ===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ252** (3 балла) |
| |
| Для числа 90 существуют две пары представлений в виде произведения трех сомножителей таких, что суммы сомножителей внутри каждой пары одинаковы: |
| 90=1⋅9⋅10=2⋅3⋅15, 1+9+10=2+3+15;\\ |
| 90=2⋅5⋅9=3⋅3⋅10, 2+5+9=3+3+10.\\ |
| Доказать, что существует бесконечно много натуральных чисел вида p<sup>k</sup>q (p, q – простые, k – натуральное), обладающих таким свойством. |
| |
| [[problem 252|Решение задачи ММ252]] |
| |
| ---- |
| |
| |
| ===== ММ251 ===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ251** (3 балла) |
| |
| Из книги вырвано несколько страниц. Сумма номеров оставшихся страниц 5001. Пусть n – наименьшее возможное число страниц, которое могло быть в этой книге изначально. Найдите наибольший возможный номер отсутствующей страницы, при условии, что в книге было n страниц. |
| |
| [[problem 251|Решение задачи ММ251]] |
| |
| ---- |
| |
| |
| ===== ММ250 ===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ250** (14 баллов) |
| |
| Найти наименьшее возможное количество ребер выпуклого многогранника, у которого сумма длин ребер равна сумме длин диагоналей. |
| |
| [[problem 250|Решение задачи ММ250]] |
| |
| ---- |
| |
| ===== ММ249 ===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ249** (10 баллов) |
| |
| Пусть k – натуральное число и a – некоторая перестановка 2020-элементного множества. Может ли уравнение x<sup>k</sup>=a иметь ровно 2020 решений? |
| |
| [[problem 249|Решение задачи ММ249]] |
| |
| ---- |
| |
| ===== ММ248 ===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ248** (8 баллов) |
| |
| Найти наименьшее натуральное k такое, что во множестве {(τ(kn))/(τ(n))|n ∈ N} ровно 13 целых чисел. |
| |
| [[problem 248|Решение задачи ММ248]] |
| |
| ---- |
| |
| ===== ММ247 ===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ247** (7 баллов) |
| |
| |
| Пусть k – фиксированное натуральное число. Для натуральных n определим функцию f<sub>k</sub>(n)=lcm(n, n+1,..., n+k-1)/lcm(n+1, n+2,..., n+k)} |
| Найти наименьшие значения f<sub>5</sub>(n) и f<sub>9</sub>(n). |
| |
| [[problem 247|Решение задачи ММ247]] |
| |
| ---- |
| |
| ===== ММ246 ===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ246** (7 баллов) |
| |
| |
| Сколько (с точностью до подобия) существует разносторонних треугольников, разрезаемых на два равнобедренных более чем одним способом? |
| |
| [[problem 246|Решение задачи ММ246]] |
| |
| ---- |
| |
| ===== ММ245 ===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ245** (5 баллов) |
| |
| В остроугольном треугольнике ABC провели высоту BH. |
| Найти отношение площадей треугольников ABH и CBH, если первый из них подобен треугольнику из своих медиан, а второй – треугольнику из своих высот. |
| |
| [[problem 245|Решение задачи ММ245]] |
| ---- |
| |
| ===== ММ244 ===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ244** (6 баллов) |
| |
| Галя предложила Ане, Боре и Васе такую загадку:\\ |
| - Я задумала три попарно различных ненулевых цифры. Сейчас я по секрету сообщу Ане сумму квадратов, Боре произведение, а Варе сумму задуманных цифр. Попробуйте отгадать эти цифры. |
| Узнав сумму квадратов произведение и сумму, Аня, Боря и Вася сначала задумались, а затем разговорились: \\ |
| А: Я не могу определить, что это за цифры.\\ |
| Б: И я не могу.\\ |
| В: И я тоже.\\ |
| A: Тогда я их знаю!\\ |
| Б: После этой реплики и я их знаю.\\ |
| Что это за тройка цифр? \\ |
| Примечание: У Ани, Бори и Васи все хорошо с арифметикой и логикой. |
| |
| |
| [[problem 244|Решение задачи ММ244]] |
| ---- |
| |
| ===== ММ243 ===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ243** (5 баллов)⊥ |
| |
| |
| В треугольнике ABC a<b<c и a⋅l<sub>a</sub>=c⋅l<sub>c</sub> Найти угол β. |
| |
| [[problem 243|Решение задачи ММ243]] |
| |
| ---- |
| |
| ===== ММ242 ===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ242** (5 баллов) |
| |
| На сайте проводится опрос, кого из m номинированных футболистов посетители сайта считают лучшим по итогам сезона. Каждый посетитель голосует один раз за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого футболиста - доля голосов, отданных за него, в процентах, округленных до целого числа. После того, как проголосовали n посетителей, суммарный рейтинг номинантов составил 95%.\\ |
| a) При каком наименьшем m такое возможно?\\ |
| b) При каком наименьшем n такое возможно?\\ |
| c) При каком наименьшем m+n такое возможно? |
| |
| [[problem 242|Решение задачи ММ242]] |
| ---- |
| |
| ===== ММ241 ===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ241** (4 балла) |
| |
| При каких натуральных n множество {1, 2, …, n} можно разбить на два подмножества так, что произведение элементов первого подмножества равно сумме элементов второго? |
| |
| |
| [[problem 241|Решение задачи ММ241]] |
| ---- |
| |
| |
| ===== ММ240 ===== |
| **Конкурсная задача ММ240** (13 баллов) |
| |
| Проективную плоскость разбили несколькими прямыми общего положения. При этом образовалось ровно 17 треугольников. Сколько пятиугольников могло при этом получиться? |
| |
| [[problem 240|Решение задачи ММ240]] |
| |
| ---- |
| |
| |
| ===== ММ239 ===== |
| **Конкурсная задача ММ239** (10 баллов) |
| |
| Существует ли выпуклый многогранник, у которого:\\ |
| a) не менее половины граней - семиугольники;\\ |
| b) более половины граней - семиугольники; \\ |
| с) не менее половины граней - восьмиугольники;\\ |
| d) более половины граней - восьмиугольники;\\ |
| e) не менее половины граней - девятиугольники? |
| |
| //Примечание: Если у вас получается, что ответ на пункт «а» отрицательный, а на пункт «b» - положительный, подумайте еще.// |
| |
| |
| [[problem 239|Решение задачи ММ239]] |
| |
| ---- |
| |
| |
| |
===== ММ238 ===== | ===== ММ238 ===== |
**Конкурсная задача ММ238** (7 баллов) | **Конкурсная задача ММ238** (7 баллов) |
**Конкурсная задача ММ236** (7 баллов) | **Конкурсная задача ММ236** (7 баллов) |
| |
Натуральные числа от 1 до 4n разбили на четыре группы по n чисел в каждой. Оказалось, что произведение всех чисел из первой группы равно произведениям всех чисел из второй и третьей групп. Найти наименьшую возможную сумму чисел четвертой группы.Существует ли выпуклый многогранник, у которого равны: количество ребер; количество диагоналей; суммарное количество диагоналей граней? | Натуральные числа от 1 до 4n разбили на четыре группы по n чисел в каждой. Оказалось, что произведение всех чисел из первой группы равно произведениям всех чисел из второй и третьей групп. Найти наименьшую возможную сумму чисел четвертой группы. |
| |
[[problem 236|Решение задачи ММ236]] | [[problem 236|Решение задачи ММ236]] |
| |
**Конкурсная задача ММ233** (6 баллов)\\ | **Конкурсная задача ММ233** (6 баллов)\\ |
| |
Очередной отголосок ЕГЭ в Марафоне | Очередной отголосок ЕГЭ в Марафоне |
| |