Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Содержание

ММ39

Конкурсная задача ММ39 (8 баллов)

Эта задачка перекликается с задачей №29.
В качестве основания системы счисления рассматриваются натуральные числа, большие 1.

Назовем число «полукубическим», если, приписывая его себе, получим куб некоторого натурального (натуральный ряд начинается с 1).
1) Доказать, что существует бесконечно много g таких, что в системе счисления с основанием g существуют полукубические числа. (1 балл)
2) Привести пример таких a и g, что в системе счисления с основанием g число a будет трехзначным полукубическим числом. (2 балла)
3) Доказать, что существует бесконечно много g таких, что в системе счисления с основанием g существуют двузначные полукубические числа. (5 баллов)

Решение

1. Число, записанное двумя единицами в системе счисления с основанием g = a3 - 1, будет полукубическим.

2. Например, число 573 в восьмеричной системе счисления записывается цифрами 5 5 1 5 5 1.

3. Известно, что уравнение x2 - 2y2 = -1 имеет бесконечно много решений в натуральных числах. (Легко показать, что пара (xn, yn) будет его решением тогда и только тогда, когда xn + yn√2 = (1 + √2)2n-1.) Таким образом, имеется бесконечно много соотношений типа: 72 + 1 = 2*52 412 + 1 = 2*292 2392 + 1 = 2*1692 …………… xn2 + 1 = 2yn2 …………… Но каждое из этих соотношений дает двузначное полукубическое число. Таковым будет число 4yn, записанное в системе счисления с основанием xn. В самом деле, 4yn двузначно, поскольку xn < 4yn < xn2. В то же время, приписывая число 4yn, записанное в системе c основанием xn, к себе, получим число (xn2 + 1)*4yn = (2yn)3.

Обсуждение

Можно явно указать цифры двузначных полукубических чисел, построенных в приведенном решении. Первая цифра всегда будет 2, а вторая определяется рекуррентно: b0 = 2, b1 = 6, bn = 6bn-1 - bn-2.

Любопытно, что последовательность xn составляют взятые через один элементы последовательности f(n) из задачи MM38.

Разумеется, двузначные полукубические числа не исчерпываются построенными. Существуют другие двузначные полукубические числа при g = xn. Можно получать другие бесконечные серии, стартуя с уравнения x2 - d*y2 = -1, и взяв другие (отличные от двойки) d. Можно строить серии, отталкиваясь не от уравнения Пелля, а от леммы Гензеля. Этим путем пошли Влад Франк и Мигель Митрофанов. (Решение Ивана Козначеева похоже на решение автора.)

Мне неизвестно, существуют ли полукубические числа в системе счисления с заданным основанием g. В частности, я не знаю, существуют ли десятичные полукубические числа.

Обобщение задач ММ29 и ММ39 приведено в обсуждении задачи ММ209.

Награды

За правильное решение задачи Влад Франк, Мигель Митрофанов и Иван Козначеев получают по 8 призовых баллов.


 

 


Страница: [[marathon:problem_39]]

marathon/problem_39.txt · Последние изменения: 2019/10/30 13:56 — letsko
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006