|
||||||||||||||||||
|
Это старая версия документа. СодержаниеММ41Конкурсная задача ММ41 (3 балла)
Двое играют в такую игру: Решение Ясно, что математическое ожидание выигрыша положительно для тех номеров n, для которых положительно число v(n) - f(n), где v(n) - количество номеров, у которых данный номер выигрывает, а f(n) - количество номеров, которым данный номер проигрывает. Может показаться, что математическое ожидание выигрыша положительно для тех и только тех номеров, у которых сумма цифр больше математического ожидания суммы цифр произвольного номера (т.е. числа 31.5). Однако это не так.
Проиллюстрирую это на примере трехзначных номеров.
Для семизначных номеров можно рассуждать аналогичные рассуждения будут слишком громоздки. Поэтому зададим производящие функции для v(a,b,c) и f(a,b,c). Перебирая (разумеется, на компьютере и, разумеется, с точностью до порядка цифр) v(n) - f(n), для номеров, имеющих сумму цифр 30, убеждаемся, что для них мат. ожидание выигрыша всегда отрицательно. Ответ - 31. Обсуждение С точностью до перестановки цифр существует всего 7 номеров с суммой 31, для которых v(n) > f(n). Это номера 9976000, 9886000, 9877000, 9777100, 8887000, 8886100 и 8877100. Укажем модифицированный способ подсчета числа номеров проигрывающих данному, играющих с данным вничью и выигрывающих у него. Пусть наш номер - abcdefg. Раскроем скобки и приведем подобный в выражении (ax + 1 + (9-a)/x)(bx + 1 + (9-b)/x)(cx + 1 + (9-c)/x)(dx + 1 + (9-d)/x)(ex + 1 + (9-e)/x)(fx + 1 + (9-f)/x)(gx + 1 + (9-g)/x). Сумма коэффициентов при положительных степенях даст нам количество побед, которые одержит наша банкнота, свободный член - количество ничьих, а сумма коэффициентом при отрицательных степенях - количество поражений. Данная производящая функция легко обобщается на другую значность номеров и другие системы счисления.
Назовем кортеж из n цифр (в системе счисления с основанием g) парадоксальным, если номер купюры, образованный цифрами кортежа, имеет положительное математическое ожидание выигрыша и при этом сумма элементов кортежа меньше n(g-1)/2. В этой терминологии в задаче ММ41 речь идет парадоксальных номерах степени парадоксальности 1. Парадоксальные номера существуют для всех систем счисления, за исключением систем с основаниями 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 11.
В десятичной системе степень парадоксальности кортежа не может превышать 1. При достаточно больших g степень парадоксальности может быть сколь угодно велика. Коэффициент парадоксальности ограничен сверху (стремится к некому пределу с ростом g). Точного значения этого предела я не знаю. Мне известны примеры, показывающие, что коэффициент парадоксальности может быть больше 1.532754 Награды
По-видимому, я поскупился, оценив данную задачу в 3 балла. Я полагал, что буду поощрять дополнительными баллами тех марафонцев, которым удастся найти решения, менее чем вышеизложенное зависящее от компьютерного перебора. Но таковых не нашлось.
|
|||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||
|