marathon:problem_70 [2007/12/26 22:33] 127.0.0.1 внешнее изменение |
marathon:problem_70 [2016/10/12 09:39] (текущий) letsko |
В k-круговом шахматном блицтурнире приняли участие n шахматистов. | В k-круговом шахматном блицтурнире приняли участие n шахматистов. |
В итоговой таблице никакие два участника не набрали поровну очков (т.е. | В итоговой таблице никакие два участника не набрали поровну очков (т.е. |
в терминах задачи 48 турнир оказался правильным).\\ | в терминах задачи 48 турнир оказался строгим).\\ |
На торжественном закрытии турнира участник, занявший последнее место, | На торжественном закрытии турнира участник, занявший последнее место, |
заметил, что, если бы очки начислялись так же как в футболе, он занял бы | заметил, что, если бы очки начислялись так же как в футболе, он занял бы |
За победу в партии в шахматном турнире начисляется одно очко, за ничью | За победу в партии в шахматном турнире начисляется одно очко, за ничью |
пол-очка, а за поражение ноль очков.\\ | пол-очка, а за поражение ноль очков.\\ |
За победу в матче в в футбольом турнире начисляется три очка, за ничью | За победу в матче в в футбольном турнире начисляется три очка, за ничью |
одно очко, а за поражение ноль очков.\\ | одно очко, а за поражение ноль очков.\\ |
Разумеется, в турнире участвует более одного шахматиста. | Разумеется, в турнире участвует более одного шахматиста. |
Допустим, что первые s участников сыграли все партии между собой вничью. | Допустим, что первые s участников сыграли все партии между собой вничью. |
Это составит 6s*(s-1) ничьих.\\ | Это составит 6s*(s-1) ничьих.\\ |
Тогда a = s*(2x+15s+5)/2 - 6s*(s-1) = s*(3*s+2x+17)/2 приходтся на ничьи, | Тогда a = s*(2x+15s+5)/2 - 6s*(s-1) = s*(3*s+2x+17)/2 приходится на ничьи, |
сыгранные s лидерами с остальными участниками. Ясно, что это число | сыгранные s лидерами с остальными участниками. Ясно, что это число |
не должно превышать общего количества ничьих участников, занявших места с | не должно превышать общего количества ничьих участников, занявших места с |
Но это противоречит четности числа участников. | Но это противоречит четности числа участников. |
| |
Итак, в итоговом положении турнира-перевертыша с четным числом учстников | Итак, в итоговом положении турнира-перевертыша с четным числом участников |
должен быть хотя бы один просвет в 2 очка (между участниками, занявшими | должен быть хотя бы один просвет в 2 очка (между участниками, занявшими |
s-е и s+1-е места). Этот просвет отвечает скачку в 8 ничьих, т.е. участника, | s-е и s+1-е места). Этот просвет отвечает скачку в 8 ничьих, т.е. участника, |
набравшего по старой системе на два очка меньше, а по новой - на очко боьлше, | набравшего по старой системе на два очка меньше, а по новой - на очко больше, |
должно быть на 8 ничьих меньше, на 3 победы и на 5 поражений больше. | должно быть на 8 ничьих меньше, на 3 победы и на 5 поражений больше. |
Наиболее плотное распределение ничьих (от последнего места к первому): | Наиболее плотное распределение ничьих (от последнего места к первому): |
x, x+5, ..., x+5*(s-1), x+5s+3, ..., x+10s-7, x+10s-2. | x, x+5, ..., x+5*(s-1), x+5s+3, ..., x+10s-7, x+10s-2. |
(В этом случае тоже не сложно найти ограничения для x, но они не существенны | (В этом случае тоже не сложно найти ограничения для x, но они не существенны |
для дальнейних рассуждений.) | для дальнейших рассуждений.) |
| |
Как и в предыдущем случае, допустим, что s участников из верхней половины | Как и в предыдущем случае, допустим, что s участников из верхней половины |