marathon:problem_77 [2015/09/28 22:22] letsko |
marathon:problem_77 [2019/02/13 18:01] (текущий) letsko |
===== №77 ===== | ===== MM77 ===== |
| |
Решение этой задачи учитываетья дважды:\\ | Решение этой задачи учитываетья дважды:\\ |
Среди четырех идущих подряд натуральных чисел одно делится на 4. Если оно | Среди четырех идущих подряд натуральных чисел одно делится на 4. Если оно |
не делится на 8, то t(n) кратно 3 и не может равняться 4. Если же оно кратно 8, | не делится на 8, то t(n) кратно 3 и не может равняться 4. Если же оно кратно 8, |
но не равно 8, то t(n) кратно 4 и больше 4. Соседи числа 8 не имеют четырех | но не равно 8, то t(n) больше 4. Соседи числа 8 не имеют четырех |
натуральных делителей. Поэтому d(4) < 4. В то же время, числа 33, 34, 35 | натуральных делителей. Поэтому d(4) < 4. В то же время, числа 33, 34, 35 |
имеют по 4 натуральных делителя, поэтому d(4) = 3. | имеют по 4 натуральных делителя, поэтому d(4) = 3. |
Наконец, несложно убедиться, что искомая пятерка не может содержать пятых | Наконец, несложно убедиться, что искомая пятерка не может содержать пятых |
степеней простых чисел.\\ | степеней простых чисел.\\ |
В самом деле, соседи чисел 243 и 3125 не дают искомых пятерок. | В самом деле, соседи чисел 243 и 3125 не дают искомых пятерок (хотя 243 входит в четверку). |
Если же n = s<sup>5</sup>, то | Если же n = s<sup>5</sup>, то |
2p<sup>2</sup> = (s-1)*(s^4+s^3+s<sup>2</sup>+s+1), что невозможно для | 2p<sup>2</sup> = (s-1)*(s<sup>4</sup>+s<sup>3</sup>+s<sup>2</sup>+s+1), что невозможно для |
простого s, большего 3. | простого s, большего 3. |
| |
в ее справедливости. | в ее справедливости. |
| |
Обозначим через M(k) наибольшее возможное количество последовательных натуральных чисел, имеющих ровно k делителей. | |
В прилагаемой {{:marathon:equidivisible.pdf|таблице}} для всех четных k, для которых известно точное значение M(k), приведены натуральные числа, открывающие наборы из M(k) последовательных чисел, имеющих по k делителей. | |
| |
** Награды ** | ** Награды ** |
| |
** Эстетическая оценка задачи - 4 балла ** | ** Эстетическая оценка задачи - 4 балла ** |
| |
| ---- |
| [[mm_77_appendix|Приложение]] |
| ---- |
| |