 |
|
 |
 |
 | Карта сайта |
 | Недавние изменения |
 | Поиск |
 | Вы посетили |
 | История страницы |
 | Вход |
Различия
Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.
|
marathon:мм61-100 [2016/05/31 12:02] letsko |
marathon:мм61-100 [2020/05/27 00:32] (текущий) letsko [ММ66] |
||
|---|---|---|---|
| Строка 1: | Строка 1: | ||
| + | |||
| + | * [[ММ101-200|Задачи ММ101-200]] | ||
| + | ---- | ||
| + | ---- | ||
| + | |||
| ===== ММ100 ===== | ===== ММ100 ===== | ||
| Строка 81: | Строка 86: | ||
| - Хорошо. Дальше.\\ | - Хорошо. Дальше.\\ | ||
| - Так... Каждое из чисел представлялось в виде суммы двух натуральных | - Так... Каждое из чисел представлялось в виде суммы двух натуральных | ||
| - | квадратов. Что еще? Ах, да! По крайней мере два из них были простыми... \\ | + | квадратов.\\ |
| - | А еще У двух чисел были одинаковые значения функции Эйлера...\\ | + | - Что еще? Ах, да! По крайней мере два из них были простыми... \\ |
| - | Все! Больше ничего не помню. | + | - А еще У двух чисел были одинаковые значения функции Эйлера...\\ |
| + | - Все! Больше ничего не помню. | ||
| 1. Помогите Васе спасти человечество.\\ | 1. Помогите Васе спасти человечество.\\ | ||
| Строка 648: | Строка 654: | ||
| В k-круговом шахматном блицтурнире приняли участие n шахматистов. | В k-круговом шахматном блицтурнире приняли участие n шахматистов. | ||
| В итоговой таблице никакие два участника не набрали поровну очков (т.е. | В итоговой таблице никакие два участника не набрали поровну очков (т.е. | ||
| - | в терминах задачи 48 турнир оказался правильным).\\ | + | в терминах задачи 48 турнир оказался строгим).\\ |
| На торжественном закрытии турнира участник, занявший последнее место, | На торжественном закрытии турнира участник, занявший последнее место, | ||
| заметил, что, если бы очки начислялись так же как в футболе, он занял бы | заметил, что, если бы очки начислялись так же как в футболе, он занял бы | ||
| Строка 777: | Строка 783: | ||
| ===== ММ66 ===== | ===== ММ66 ===== | ||
| - | Это задача не входит в тематический конкурс. | + | Эта задача не входит в тематический конкурс. |
| Результат учитывется только в основном зачете Марафона. | Результат учитывется только в основном зачете Марафона. | ||
| Строка 949: | Строка 955: | ||
| x<sub>n+1</sub> = x<sub>n</sub>a (mod m). | x<sub>n+1</sub> = x<sub>n</sub>a (mod m). | ||
| - | Начав с некоторого x<sub>1</sub>1, Триша посчитал x<sub>2</sub>, x<sub>3</sub> и x<sub>4</sub>. Но x<sub>4</sub> оказалось равно x<sub>1</sub>. | + | Начав с некоторого x<sub>1</sub>, Триша посчитал x<sub>2</sub>, x<sub>3</sub> и x<sub>4</sub>. Но x<sub>4</sub> оказалось равно x<sub>1</sub>. |
| Тогда он взял другое (не встречавшееся ранее) число в качестве x<sub>1</sub>. Но последовательность опять зациклилась на третьем шаге. Треья попытка привела Тришу к тому же результату. | Тогда он взял другое (не встречавшееся ранее) число в качестве x<sub>1</sub>. Но последовательность опять зациклилась на третьем шаге. Треья попытка привела Тришу к тому же результату. | ||
| Строка 1117: | Строка 1123: | ||
| (2 балла) | (2 балла) | ||
| - | 3) Обозначим через d(n) количество мест, которые может занять Миролюбов, сыграв вничью, все партии строгого турнира при n участниках. | + | 3) Обозначим через d(n) количество мест, которые может занять Миролюбоевич, сыграв вничью, все партии строгого турнира при n участниках. |
| Найти явное выражение для d(n). (3 балла) | Найти явное выражение для d(n). (3 балла) | ||
| Строка 1140: | Строка 1146: | ||
| 45.1) Доказать, что существует бесконечно много n, для которых f(n) = 500501. (5 баллов)\\ | 45.1) Доказать, что существует бесконечно много n, для которых f(n) = 500501. (5 баллов)\\ | ||
| - | 46.1) Найти явную формулу для f(3k). (4 балла)\\ | + | 46.1) Найти явную формулу для f(3<sup>k</sup>). (4 балла)\\ |
| 46.2) Описать все такие n, для которых f(n) определяется на n+1-вом шаге, (т. е. все числа будут отмечены по разу, прежде чем какое-то будет отмечено повторно). Найти явное выражение f(n) для таких n. (4 балла)\\ | 46.2) Описать все такие n, для которых f(n) определяется на n+1-вом шаге, (т. е. все числа будут отмечены по разу, прежде чем какое-то будет отмечено повторно). Найти явное выражение f(n) для таких n. (4 балла)\\ | ||
| 46.3) Доказать, что на множестве нечетных простых чисел f(n) инъективна (т.е. f(p) не может равняться f(q), если p и q - различные нечетные простые числа). (7 баллов)\\ | 46.3) Доказать, что на множестве нечетных простых чисел f(n) инъективна (т.е. f(p) не может равняться f(q), если p и q - различные нечетные простые числа). (7 баллов)\\ | ||
| Строка 1390: | Строка 1396: | ||
| =====ММ25===== | =====ММ25===== | ||
| - | **Конкурсная задача ММ25** (4 баллов) | + | **Конкурсная задача ММ25** (4 балла) |
| Единичный квадрат перегнули по прямой, проходящей через его центр. Какова наибольшая возможная площадь получившейся фигуры? | Единичный квадрат перегнули по прямой, проходящей через его центр. Какова наибольшая возможная площадь получившейся фигуры? | ||
| Строка 1623: | Строка 1629: | ||
| =====ММ9===== | =====ММ9===== | ||
| - | **Конкурсная задача ММ9** 93 баллов) | + | **Конкурсная задача ММ9** (9 баллов) |
| Пусть k - фиксированное натуральное число.\\ | Пусть k - фиксированное натуральное число.\\ | ||
| Строка 1743: | Строка 1749: | ||
| ---- | ---- | ||
| + | ---- | ||
| + | |||
| + | * [[ММ101-200|Задачи ММ101-200]] | ||
| + | * [[http://www-old.fizmat.vspu.ru/konkurs/archive.htm| Архив MM1-MM60 в HTML]] | ||