Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

--- marathon:about [2021/05/16 08:30]
letsko [ММ266]
+++ marathon:about [2024/12/26 12:08] (текущий)
letsko [Математический марафон]
@@ Строка 8: / Строка 8: @@
 ----
+**Завершен XXVIII конкурс в рамках Математического марафона**
-Предлагаю вашему вниманию **задачи очередного XXVII марафонского конкурса!**
+**Мои поздравления победителю конкурса, Мерабу Левиашвили, призерам, Виктору Филимоненкову и Константину Шамсутдинову, а также всем тем, кто составил им достойную конкуренцию!**
-Напоминаю, что в былые времена проходило по два конкурса в год. Будет ли так в 2021 году, покажет время.
+**В настоящий момент Марафон поставлен на паузу.** Но когда и если Марафон продолжится...\\
 Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания, выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными, а другие - не очень. На вкус и на цвет...
@@ Строка 23: / Строка 24: @@
  Ведущий Марафона
 --- //[[val-etc@yandex.ru|Vladimir letsko]]//
+[[Afterword XXVII |Послесловие к XXVII конкурсу]]
 ----
 ====== Текущие задачи ======
 ----
+**На данный момент отсутствуют.**
 ----
-=====
-Вектором граней выпуклого многогранника P назовем набор [f<sub>3</sub>, f<sub>4</sub>, …, f<sub>s</sub>], где f<sub>i</sub> – количество i-угольных граней P, а s - наибольшее число сторон грани. Будем говорить, что P относится к классу m, если max(f<sub>i</sub>) = m.
-===== ММ270 =====
- **Конкурсная задача ММ270** (16 баллов)
-Решения принимаются до __22.05.2021__
-Найти наибольшее возможное количество граней многогранника класса m.
-----
 ====== Разбор задач ======
 ----
-===== ММ269 =====
+См. архив
- **Конкурсная задача ММ269** (11 баллов)
-Какова максимальная возможная степень вершины выпуклого многогранника\\
-a) класса 3;\\
-b) класса 4?
-**Решение**
-Привожу решения {{:marathon:mm269_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}}, {{:marathon:kazmerchuk_mm_269.pdf|Анатолия Казмерчука}} и {{:marathon:shamsutdinov_mm269.docx|Константина Шамсутдинова}}.
-**Обсуждение**
-Согласно традициям Марафона последние задачи каждого конкурса имеют повышенную сложность. Эта традиция сохранилась и в данном конкурсе.
-Результатом этого усложнения чаще всего был отток значительной части конкурсантов. А эта традиция неожиданно была нарушена! Из тех, кто регулярно участвовал в нынешнем конкурсе, не прислали решения ММ269 всего два человека. А остальные порадовали, но не пощадили ведущего :-) Впрочем, после моей мольбы, все же сжалились, сократив самое длинное из решений на 40(!) страниц.
-Разумеется, основные страсти кипели вокруг обобщения задачи, очевидного по постановке вопроса. Но только по постановке. Да-да, ответ 3m-3 не годится!
-В какой-то момент у меня имелось три решения, в которых приводилась и обосновывалась точная формула для максимальной возможной степени вершины m-многогранника. Точнее, три разных формулы, дающих разные ответы :-)\\
-Понимая, что ситуация, когда "Вася и Петя оба правы", маловероятна, ведущий был вынужден углубиться в многостраничные трактаты, воспользовавшись удачно подвернувшейся просьбой продлить срок приема решений. Дополнительное время не пропало даром. И ведущий и конкурсанты обнаружили некоторые ошибки и неточности в решениях. Во всех, кроме одного, в котором ошибок найти не удалось (или, все же, пока не удалось?). Желающие могут попробовать определить это решение из приводимого ниже списка начисленных призовых баллов (а также попытаться найти ошибки и в этом решении).
-**Награды**
-За решение задачи ММ269 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\
-Олег Полубасов - 18;\\
-Мераб Левиашвили - 16;\\
-Анатолий Казмерчук - 13;\\
-Константин Шамсутдинов - 13;\\
-Василий Дзюбенко - 11;\\
-Александр Романов - 11;\\
-Виктор Филимоненков - 11;\\
-Денис Овчинников - 7.
-**Эстетическая оценка задачи - 4.7 балла**
 ----
+=====
-===== ММ268 =====
- **Конкурсная задача ММ268** (9 баллов)
-Назовем натуральное число m допустимым, если существует такое n, что из чисел 1,2,…,n можно составить сумму произведений, в которой каждое число встречается ровно один раз, равную m. Сколько существует недопустимых чисел?
-Примечание: в суммах произведений допускаются одиночные слагаемые. Например, число 148 допустимо, поскольку 148=1·3 + 2·5·8 + 4 + 6·9 + 7.
-**Решение**
-Привожу решения {{:marathon:fiviol_мм268.docx|Виктора Филимоненкова}} (для поклонников сестры таланта), {{:marathon:kazmerchuk_mm_268.pdf|Анатолия Казмерчука}} и {{:marathon:мм268-решение-м.л.docx|Мераба Левиашвили}}.
-**Обсуждение**
-К устаканившемуся составу конкурсантов присоединился еще один участник. Точнее, это они к нему присоединились: Михаил Ватник прислал свое решение ММ268 сразу после обнародования задач XXVII конкурса.
-Больших затруднений задача не вызвала (вопреки тому, что казалась мне непростой).
-Мне понравился ответ к этой задаче. Набор 4, 8, 13 на первый взгляд кажется случайным. И лишь при погружении в задачу становится ясно, что это уменьшенные на 2 треугольные числа.
-Влад Франк отметил и обосновал интуитивно очевидный факт: для подходящих достаточно больших чисел количество представлений может быть сколь угодно большим.\\
-Анатолий Казмерчук и Мераб Левиашвили напротив сосредоточили внимание на числах, допускающих малое количество представлений. При этом представления, отличающиеся лишь порядком слагаемых, разумеется, не различались. А вот представления, полученные переброской сомножителя 1 в другое слагаемое, Анатолий считал различными. А Мераб рассмотрел обе возможные трактовки. При этом Мераб рассмотрел не только числа, имеющие единственное представление, но и допускающие по два, по три... представления. Правда, как ему удалось обнаружить второе представление для числа 12, для меня осталось загадкой :-)
-**Награды**
-За решение задачи ММ268 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\
-Мераб Левиашвили - 12;\\
-Анатолий Казмерчук - 11;\\
-Владислав Франк - 10;\\
-Василий Дзюбенко - 9;\\
-Денис Овчинников - 9;\\
-Александр Романов - 9;\\
-Константин Шамсутдинов - 9;\\
-Виктор Филимоненков - 9;\\
-Олег Полубасов - 9;\\
-Владимир Дорофеев - 9;\\
-Михаил Ватник - 9.
-**Эстетическая оценка задачи - 4 балла**
-----
-===== ММ267 =====
-**Конкурсная задача ММ267** (7 баллов)
-Вася и Петя поспорили. Вася уверен, что среди представлений натурального числа n в виде суммы натуральных слагаемых чаще встречаются те, у которых каждое слагаемое присутствует не более двух раз, чем те, у которых все слагаемые не кратны 3. Петя уверен в обратном. Кто из них прав?
-**Решение**
-Привожу решения {{:marathon:мм267_fiviol.docx|Виктора Филимоненкова}} (с примером, добавленным Виктором по моей просьбе), {{:marathon:kazmerchuk_mm_267_1_.pdf|Анатолия Казмерчука}} и {{:marathon:mm267_romanov.pdf|Александра Романова}}.
-**Обсуждение**
-В условие ММ267 ведущим (неосознанно) была заложена (очередная) логико-лингвистическая бомба. Итак, в чем же уверен Петя?!\\
-Я уверен, что Петя уверен, будто представления первого вида встречаются **реже**, чем представления второго. Ведь именно "реже" (а отнюдь не "не чаще") является обратным бинарным отношением к отношению "чаще". Разумеется, при такой интерпретации Петя не прав.\\
-Большинство же конкурсантов полагают, что Петя уверен в том, что Вася не прав. Ясно, что в этом случае Петя прав.\\
-В результате ведущему вновь пришлось прибегать к "соломонову решению". Точнее, к решению мудреца из анекдота, который заверил каждого из спорщиков, что он прав. Правы и те, кто считает, что Петя прав, и те, что полагает, что он не прав, и те, кто рассмотрел оба подхода, и те (нашлись и такие дипломаты), кто не упомянул вопрос о Петиной правоте в своем решении. Главное, чтобы в решении было показано, что представлений каждого вида поровну.
-В большинстве решений строилась биекция между множествами представлений. При этом одни конкурсанты строили биекцию между исходными множествами, другие - между их дополнениями, третьи - между теоретико-множественными разностями исходных множеств. В приводимых решениях отражены и иные подходы.
-Я не поощрял дополнительными баллами очевидные обобщения, в которых 3 заменено произвольным натуральным числом. А вот более хитрые изыскания Мераба и Анатолия отметил.
-**Награды**
-За решение задачи ММ267 участники Марафона получают следующие призовые баллы:\\
-Анатолий Казмерчук - 9;\\
-Мераб Левиашвили - 9;\\
-Василий Дзюбенко - 7;\\
-Денис Овчинников - 7;\\
-Владислав Франк - 7;\\
-Александр Романов - 7;\\
-Константин Шамсутдинов - 7;\\
-Виктор Филимоненков - 7;\\
-Олег Полубасов - 7;\\
-Владимир Дорофеев - 7.
-**Эстетическая оценка задачи - 4.6 балла**
-----
-===== ММ266 =====
-**Конкурсная задача ММ266** (7 баллов)
-Вася Пупкин выписал дни рождения семерых своих однокурсников, родившихся в январе одного и того же года, что и Вася, и, поэкспериментировав с выписанными числами, заметил два факта:\\
-) τ(n<sup>3</sup> )=τ(n)<sup>2</sup>, где n – произведение всех выписанных чисел;\\
-) сумма кубов составных чисел больше суммы кубов остальных\\.
-Найдите дни рождения Васиных товарищей, если известно, что все они младше Васи.
-Примечание: при сравнении возрастов учитываются дни, но не часы рождения.
-[[problem 266|Решение задачи ММ266]]
-**Решение**
-Привожу решения {{:marathon:mm266.pdf|Василия Дзюбенко}}, {{:marathon:kazmerchuk_mm_266.pdf|Анатолия Казмерчука}} и {{:marathon:мм266-решение-м.л.docx|Мераба Левиашвили}}.
-**Обсуждение**
-Вскоре после опубликования условий задач XXVII Марафонского конкурса Олег Полубасов поднял вопрос о неоднозначности ответа в ММ266. Тут бы ведущему и проверить условие еще раз.
-Но события развивались по другому сценарию. Ведущий, используя аргументацию с стиле Паниковского ("А какие же они по-вашему?!") сумел переубедить Олега столь радикально, что тот уменьшил количество решений до одного.\\
-Но победа ведущего оказалась пирровой, поскольку, на самом деле, решений оказалось два (я потерял решение с одним составным числом).
-Очередной (и не последний) раз размышляя, как разруливать возникшую ситуацию я пришел к такому "соломонову" решению: нашедшим одно решение ставить за задачу полный балл (ведь они решили задачу не хуже ведущего, да и итог обсуждения с Олегом как-бы подсказывал, что второго решения искать не надо), а нашедших оба решения поощрять дополнительным баллом (как обычно дополнительные баллы раздаются более скупо, чем основные).
-Обобщать задачу взялись два конкурсанта. Причем в принципиально разных (перпендикулярных) направлениях.\\
-Мераб Левиашвили, оставив незыблемым условие τ(n<sup>3</sup> )=τ(n)<sup>2</sup> (а значит, и попарную взаимную простоту дней рождения), занялся рассмотрением задачи в других календарях.\\
-Анатолий Казмерчук, наоборот, сосредоточил свое внимание на на уравнении τ(n<sup>a</sup> )=τ(n)<sup>b</sup> \\
-Рассуждения Анатолия представляются мне более интересными (менее искусственными). Впрочем, возможно, это лишь моя субъективная "кочка зрения".
-**Награды**
-За решение задачи ММ266 участники Марафона получают следующие призовые баллы:\\
-Анатолий Казмерчук - 10;\\
-Мераб Левиашвили - 9;\\
-Василий Дзюбенко - 8;\\
-Денис Овчинников - 8;\\
-Владислав Франк - 8;\\
-Александр Романов - 8;\\
-Константин Шамсутдинов - 8;\\
-Виктор Филимоненков - 8;\\
-Олег Полубасов - 7;\\
-Владимир Дорофеев - 7.
-**Эстетическая оценка задачи - 4.3  балла**
-----
-===== ММ265 =====
-**Конкурсная задача ММ265** (5 баллов)
-Разрезать правильный треугольник на наименьшее возможное количество прямоугольных треугольников так, чтобы никакие два из возникших треугольников не были подобны.
-[[problem 265|Решение задачи ММ265]]
-----
-===== ММ264 =====
-**Конкурсная задача ММ264** (4 балла)
-Назовем пару натуральных чисел a и b аддитивной, если τ(a+b)=τ(a)+τ(b),σ(a+b)=σ(a)+σ(b)  и φ(a+b)=φ(a)+φ(b).
-Доказать, что существует бесконечно много аддитивных пар.\\
-(τ(n), σ(n), φ(n) - количество натуральных делителей, сумма натуральных делителей и функция Эйлера соответственно.)
-[[problem 264|Решение задачи ММ264]]
-----
-===== ММ263 =====
- **Конкурсная задача ММ263** (4 балла)
-Сколько решений может иметь уравнение [3x]{x} – [x]{3x} = c, в зависимости от значения параметра c?\\
-([x] и {x} означают соответственно целую часть (пол) и дробную часть числа x.)
-[[problem 263|Решение задачи ММ263]]
-----
-===== ММ262 =====
-**Конкурсная задача ММ262** (3 балла)
-Разносторонний треугольник назовем прогрессивным, если длины его сторон образуют арифметическую прогрессию.
-Доказать, что треугольник прогрессивен тогда и только тогда, когда прямая, проходящая через точку Нагеля и центр Шпикера, параллельна средней стороне.
-Примечание: тривиальное решение (недаром цена задачи всего 3 балла) на ЕГЭ бы не приняли, но у нас, слава Богу, не ЕГЭ :-)
-[[problem 262|Решение задачи ММ262]]
-----
-===== ММ261 =====
-**Конкурсная задача ММ261** (4 балла)
-Натуральные числа 1, 2, 3, ..., 100 разбили на 10 групп по 10 чисел. Найти наибольшую возможную сумму НОД этих десяток.
-[[problem 261|Решение задачи ММ261]]
-----
 ~~NOTOC~~