— |
marathon:problem_268 [2021/05/16 08:33] (текущий) letsko создано |
| ===== ММ268 ===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ268** (9 баллов) |
| |
| Назовем натуральное число m допустимым, если существует такое n, что из чисел 1,2,…,n можно составить сумму произведений, в которой каждое число встречается ровно один раз, равную m. Сколько существует недопустимых чисел? |
| |
| Примечание: в суммах произведений допускаются одиночные слагаемые. Например, число 148 допустимо, поскольку 148=1·3 + 2·5·8 + 4 + 6·9 + 7. |
| |
| **Решение** |
| |
| Привожу решения {{:marathon:fiviol_мм268.docx|Виктора Филимоненкова}} (для поклонников сестры таланта), {{:marathon:kazmerchuk_mm_268.pdf|Анатолия Казмерчука}} и {{:marathon:мм268-решение-м.л.docx|Мераба Левиашвили}}. |
| |
| **Обсуждение** |
| |
| К устаканившемуся составу конкурсантов присоединился еще один участник. Точнее, это они к нему присоединились: Михаил Ватник прислал свое решение ММ268 сразу после обнародования задач XXVII конкурса. |
| |
| Больших затруднений задача не вызвала (вопреки тому, что казалась мне непростой). |
| |
| Мне понравился ответ к этой задаче. Набор 4, 8, 13 на первый взгляд кажется случайным. И лишь при погружении в задачу становится ясно, что это уменьшенные на 2 треугольные числа. |
| |
| Влад Франк отметил и обосновал интуитивно очевидный факт: для подходящих достаточно больших чисел количество представлений может быть сколь угодно большим.\\ |
| Анатолий Казмерчук и Мераб Левиашвили напротив сосредоточили внимание на числах, допускающих малое количество представлений. При этом представления, отличающиеся лишь порядком слагаемых, разумеется, не различались. А вот представления, полученные переброской сомножителя 1 в другое слагаемое, Анатолий считал различными. А Мераб рассмотрел обе возможные трактовки. При этом Мераб рассмотрел не только числа, имеющие единственное представление, но и допускающие по два, по три... представления. Правда, как ему удалось обнаружить второе представление для числа 12, для меня осталось загадкой :-) |
| |
| **Награды** |
| |
| За решение задачи ММ268 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ |
| Мераб Левиашвили - 12;\\ |
| Анатолий Казмерчук - 11;\\ |
| Владислав Франк - 10;\\ |
| Василий Дзюбенко - 9;\\ |
| Денис Овчинников - 9;\\ |
| Александр Романов - 9;\\ |
| Константин Шамсутдинов - 9;\\ |
| Виктор Филимоненков - 9;\\ |
| Олег Полубасов - 9;\\ |
| Владимир Дорофеев - 9;\\ |
| Михаил Ватник - 9. |
| |
| **Эстетическая оценка задачи - 4 балла** |
| ---- |
| |