Конкурсная задача ММ170 (8 баллов)

Прямоугольный параллелепипед склеили из единичных некрашеных кубиков. После этого три грани параллелепипеда покрасили в красный цвет. Остальные три грани покрасили в синий, желтый и зеленый цвета (по одной в каждый цвет). Оказалось, что некрашеных кубиков в два раза больше, чем кубиков, имеющих, по крайней мере, одну красную грань. Количества кубиков, имеющих хотя бы одну синюю (желтую, зеленую) грань также являются делителями количества некрашеных кубиков. Найти объем параллелепипеда.

Решение

Решение Анатолия Казмерчука Решение Сергея Половинкина Решение Олега Полубасова Решение Алексея Волошина

Обсуждение

Все предложенные решения (включая ошибочное ) основаны на составлении диофантовых уравнений, соответствующих различным способам расположения красных граней, обосновании конечности числа возможных случаев и их переборе. Я не стал ставить количество призовых баллов за задачи в зависимость от степени «грубости» оценок,ограничивающих перебор, поскольку даже наименее аккуратные оценки приводят к небольшому (для компьютера) перебору.

Теперь о том, почему условию удовлетворяют два разных ответа. При составлении задачи я выявил оба подходящих параллелепипеда, но ухитрился так посчитать объемы, что они оказались равными (помню, что я не перемножал длины сторон, а находил канонические разложения произведений). Мне подумалось, что наличие двух разных параллелепипедов, приводящих к единственному ответу - изюминка задачи. Будь ответ и в самом деле единственным, наверное так бы и было.

Награды

За правильное решение задачи ММ170 Олег Полубасов, Алексей Волошин, Анатолий Казмерчук и Сергей Половинкин получают по 8 призовых баллов. Виктор Филимоненков получает 5 призовых баллов.

Эстетическая оценка задачи - 4.6 балла