Конкурсная задача ММ32 (3 баллов)

Рассмотрим векторы, координаты которых в некотором ортонормированном базисе n-мерного пространства представляют собой перестановки множества {1, 2,.., n}. Каким может быть максимальный угол между такими векторами?

Решение

Ясно, что надо минимизировать косинус угла между векторами. Произведение модулей векторов постоянно и равно 1+4+…+n². Минимум же скалярного произведения достигается, например, когда один из векторов - (1, 2,.., n), а другой - (n, n-1,.., 1). Для доказательства рассмотрим выражение 1*a₁+2*a₂+…+ n*a_n, где (a₁, a₂,…, a_n) - некоторая перестановка чисел 1, 2,…, n. Пусть для некоторых i и j выполняются соотношения i<j и a_i>a_j. Тогда, поменяв местами a_i и a_j мы уменьшим скалярное произведение на (j-i)*(a_i-a_j).
Учитывая, что 1+4+…+n2 = n*(n+1)*(2n+1)/6, а 1*n + 2*(n-1) +…+ (n-1)*2+n*1 = n*(n+1)*(n*2)/6, окончательно получим, что наибольший угол между векторами будет равен arccos¹⁾. Любопытно, что с ростом n этот угол асимптотически приближается к .

Награды

Зп правильное решение этой задачки Влад Франк, Макс Алексеев и Вячеслав Пономарев получают по 3 призовых балла.