Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Содержание

ММ32

Конкурсная задача ММ32 (3 балла)

Рассмотрим векторы, координаты которых в некотором ортонормированном базисе n-мерного пространства представляют собой перестановки множества {1, 2,.., n}. Каким может быть максимальный угол между такими векторами?

Решение

Ясно, что надо минимизировать косинус угла между векторами. Произведение модулей векторов постоянно и равно 1+4+…+n2. Минимум же скалярного произведения достигается, например, когда один из векторов - (1, 2,.., n), а другой - (n, n-1,.., 1). Для доказательства рассмотрим выражение 1*a1+2*a2+…+ n*an, где (a1, a2,…, an) - некоторая перестановка чисел 1, 2,…, n. Пусть для некоторых i и j выполняются соотношения i<j и ai>aj. Тогда, поменяв местами ai и aj мы уменьшим скалярное произведение на (j-i)*(ai-aj).
Учитывая, что 1+4+…+n2 = n*(n+1)*(2n+1)/6, а 1*n + 2*(n-1) +…+ (n-1)*2+n*1 = n*(n+1)*(n*2)/6, окончательно получим, что наибольший угол между векторами будет равен arccos(n+2)/(2n+1). Любопытно, что с ростом n этот угол асимптотически приближается к pi/3.

Награды

Зп правильное решение этой задачки Влад Франк, Макс Алексеев и Вячеслав Пономарев получают по 3 призовых балла.


 

 


Страница: [[marathon:problem_32]]

marathon/problem_32.txt · Последние изменения: 2018/09/16 22:02 — letsko
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006