Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

marathon:about [2020/10/12 10:20]
letsko
marathon:about [2020/11/15 22:43] (текущий)
letsko [ММ260]
Строка 9: Строка 9:
 ---- ----
  
-Продолжается ​**XXVI конкурс в рамках Математического марафона!**+Завершен ​**XXVI конкурс в рамках Математического марафона!** 
 + 
 +Его лауреатом стал **Анатолий Казмерчук**! Мои поздравления победителю и его достойным конкурентам!
  
 Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания,​ выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными,​ а другие - не очень. На вкус и на цвет... Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания,​ выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными,​ а другие - не очень. На вкус и на цвет...
Строка 27: Строка 29:
  
 ====== Текущие задачи ====== ====== Текущие задачи ======
 +----
 +Будут!
 ---- ----
  
-===== ММ257 ​=====+====== Разбор задач ======
  
- **Конкурсная задача ММ257** (баллов)+===== ММ260 ===== 
 + **Конкурсная задача ММ260** (12 баллов)
  
-Решения принимаются до __18.10.2020__+__Задача ММ260 обобщает и развивает ММ231__
  
-Задача ММ257 ​сюжетно связана с ММ237+Пусть ABC - некоторый треугольник,​ точки K, L, M лежат соответственно на прямых AB, BC и AC, а s - некоторое действительное число, отличное от 0 и 1. Треугольник KLM будем называть подобно-вписанным в ?ABC, если\\ 
 +AK=sAB, BL=sBC, CM=sCA;\\ 
 +треугольник KLM подобен треугольнику ABC.\\ 
 +Сколько подобно вписанных треугольников может быть у произвольного треугольника?​
  
-Студент математического факультета Вася Пупкин пропустил (по уважительной причине) занятие по дискретной математике. Однокурсники рассказали,​ что на занятии рассматривался некий граф. Но ни один из них не зафиксировал этот граф ни с помощью гаджетов,​ ни на бумагу. Впрочем,​ Васины однокурсники,​ утверждают,​ что это не страшно, поскольку они и так помнят этот граф. В подтверждение ​своих слов они наперебой кинулись вспоминать характеристики графа:​\\+**Решение**
  
-Аня: В графе было ровно 3 связных компоненты.\\ +Привожу решения {{:​marathon:​mm260_dendr81.pdf|Дениса Овчинникова}}, {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_260.pdf|Анатолия ​Казмерчука}} и {{:marathon:​mm260_val.pdf|авторское}}.
-Ваня: ​Причем ​во всех связных компонентах графа ​имелись циклы.\\ +
-Даня: А еще среди связных ​ компонент не было ​изоморфных.\\ +
-Маня: Число ребер в одной из компонент было равно половине общего числа ребер.\\ +
-Саня: При этом число ребер было равно сумме количеств вершин и связных компонент.\\ +
-Таня: В графе была всего одна вершина степени 3.\\ +
-ЗинаА всего в графе было не более 13 вершин.\\ +
-Лина: И при этом не было ​висячих вершин. \\ +
-Нина: А степень ​одной из вершин не менее чем на 2 превосходила степень ​каждой из остальных вершин.\\ +
-Фаина: Зина, Лина и Нина правы.\\+
  
-Услышавший эти реплики преподаватель сказал,​ что память подвела ровно одного человека.\\  +**Обсуждение** 
-Сможет ли Вася (умница и отличник) однозначно восстановить граф?\\+
  
-===== ММ258 =====+ММ260 - плод присущего ведущему духу противоречия. Это ответ на реакцию ряда марафонцев на ММ231, не усмотревших у этой задачи интересных обобщений.\\ 
 +Судя по тому, что ММ260 конкурсантам понравилась,​ "​месть"​ удалась.
  
- **Конкурсная задача ​ММ258** (7 баллов)+Некоторые затруднения,​ возникшие ​у участников, оказались связаны с исследованием ​частного случая,​ когда исходный треугольник равнобедренный,​ но не равносторонний.  
 +Все марафонцы заметили, что количество подобно-вписанных треугольников для таких треугольников меньше,​ чем для разносторонних,​ не все правильно выяснили на сколько меньше.
  
-Решения принимаются до __24.10.2020__+В то же время, никто не прошел мимо класса автомедианных (см. авторское решение) треугольников. Я столкнулся с этим классом треугольников именно ​при ​решении данной задачи. То, что они называются ​автомедианными я узнал позже, от АД. Блинкова (хотя сразу обнаружил,​ что эти треугольники подобны треугольникам из своих медиан). 
 +Кроме того, мне сразу бросилась в глаза масса замечательных свойств этих треугольников. Часть этих свойств приведена в авторском решении. Позже мы с Ярославом Сысосевым обнаружили еще море свойств (большинство из которых оказались нигде ранее не описаны).  
 +Возможно,​ они пригодятся для новых марафонских задач. Поэтому я не буду приводить их здесь.
  
-Сколько элементов содержит множество сумм квадратов цифр квадратов чисел, в десятичной записи которых присутствуют по одному разу ровно три ненулевых цифры: 1, 4, 9? (Нулей может быть сколько угодно).+**Награды**
  
-===== ММ259 =====+За решение задачи ​ММ260 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ 
 +Анатолий Казмерчук - 13\\ 
 +Денис Овчинников - 13\\ 
 +Константин Шамсутдинов - 12\\ 
 +Виктор Филимоненков - 11\\ 
 +Владислав Франк - 10\\
  
- **Конкурсная задача ММ259** (8 баллов)+**Эстетическая ​оценка задачи - 5 баллов ​** 
 +---- 
 + 
 + 
 +===== ММ259 =====
  
-Решения принимаются до __31.10.2020__+**Конкурсная ​задача ММ259** (8 баллов)
  
 Может ли треугольник с вершинами в центроиде и центрах вписанной и описанной окружностей некоторого треугольника быть\\ ​ Может ли треугольник с вершинами в центроиде и центрах вписанной и описанной окружностей некоторого треугольника быть\\ ​
Строка 73: Строка 84:
 исходному?​ исходному?​
  
-===== ММ260 =====+**Решение**
  
- **Конкурсная задача ММ260** (12 баллов)+Привожу решения {{:​marathon:​mm259_dendr81.pdf|Дениса Овчинникова}} и {{:​marathon:​frank_mm259.pdf|Владислава Франка}}. С рншением Анатолия Казмерчука можно ознакомиться [[https://​dxdy.ru/​post1490274.html#​p1490274]|тут]].
  
-Решения принимаются до __14.11.2020__+**Обсуждение** 
  
 +Как обычно,​ к концу соревнования (или очередного этапа, кому как нравится) марафонцы начали потихоньку уставать и сходить с дистанции.
 +Зато оставшиеся участники порадовали разнообразием подходов.
 +Например,​ Влад Франк прибегнул к комплексной параметризации. Аналогичный прием, примененный при решении ММ157 (см. разбор),​ привел к короткому изящному решению. Удалось ли добиться такого же эффекта для ММ259, судите сами.
  
-Задача ММ260 ​обобщает и развивает ​ММ231+Некоторое расхождение в оценках связано со строгостью ​обоснования последнего пункта. 
 +За одним исключением. У Виктора Филимоненкова все ​обосновано строго. Но он почему-то рассмотрел треугольник с вершинами в центрах вписанной и описанной окружностей ​и в ортоцентре (а не центориде, как было в условии). 
 +Такой треугольник не может быть не только равен, но и подобен исходному.
  
-Пусть ABC – некоторый треугольник,​ точки KLлежат соответственно на прямых AB, AC и BC, а s – некоторое действительное числоотличное ​от и 1Треугольник ​KLM будем называть подобно-вписанным в ∆ABC, если +Для полноты картины замечу, что треугольник с вершинами в центроиде, инцентре и ортоцентре,​ так же как и треугольник ​из условияможет быть равновелик и подобенно не равен исходному. 
-AK=sAB, BL=sBC, CM=sCA; +В параметризации A(-1;0)B(1;0), C(x;y), где 0≤x<1, (x+1)<​sup>​2</​sup>​+y<​sup>​2</​sup>​ ≤4, единственному треугольнику с вершинами в центроиде, инцентре и ортоцентре,​ подобному исходному ​соответствует С(0.6367873395...;​ 0.5201582408...).  
-треугольник ​KLM подобен треугольнику ​ABC. +Наконец, треугольника с вершинами в центроидеортоцентре и центре описанной окружности ​не существует, поскольку эти точки лежат на прямой Эйлера. 
-Сколько подобно вписанных ​треугольников ​может быть у произвольного треугольника?+ 
 +Любопытно, что, если в указанной параметризации взять C(0.3246129395...,​ 0.4677703801...),​ треугольник ​с вершинами в ортоцентре и двух точках Аполлония (изодинамических центрах) ​подобен исходному с коэффициентов подобия довольно близким к 1. 
 + 
 +Я полагаю,​ что никакой ​треугольник ​не может ​быть равен треугольнику ​с вершинами в каких-то трех своих замечательных точках. Но пока проверил не все сочетания замечательных точек ​из ETC (а там порядка 40000 центров) по три :-)  
 + 
 +**Награды** 
 + 
 +За решение задачи ММ259 участники Марафона получают следующие ​призовые баллы: \\ 
 +Анатолий Казмерчук - 9\\ 
 +Владислав Франк - 8\\ 
 +Денис Овчинников - 8\\ 
 +Константин Шамсутдинов - 7\\ 
 +Виктор Филимоненков - 5\\ 
 + 
 +**Эстетическая оценка задачи - 4.8  балла **
  
 ---- ----
  
-====== Разбор задач ======+ 
 +===== ММ258 ​===== 
 + ​**Конкурсная задача ММ258** (7 баллов) 
 + 
 +Сколько элементов содержит множество сумм квадратов цифр квадратов чисел, в десятичной записи которых присутствуют по одному разу ровно три ненулевых цифры: 1, 4, 9? (Нулей может быть сколько угодно). 
 + 
 +**Решение** 
 + 
 +Привожу решения {{:​marathon:​мм258_fiviol.docx|Виктора Филимоненкова}},​ {{:​marathon:​mm258_dendr81.pdf|Дениса Овчинникова}} и {{:​marathon:​bukina_mm258.pdf|Анны Букиной}}. 
 + 
 +**Обсуждение**  
 + 
 +ММ258 не вызвала затруднений ни у кого из тех, кто прислал решения. Интересно,​ что в большинстве присланных решений перебор минимизирован настолько,​ что его вполне можно осуществить вручную. 
 + 
 +Естественные обобщения ​задачи рассмотрели Олег Полубасов и Анатолий Казмерчук. Процитирую Олега:​ 
 + 
 +"​Если рассмотреть всевозможные тройки {a, b, c} от {1, 1, 1} до {9, 9, 9}, то окажется,​ что размеры множеств сумм могут принимать следующие значения:​ 
 +2-38, 40, 42-49, 52, 56, 57, 60.  
 +Двухэлементное множество сумм даёт тройка {1, 1, 1}, а 60-элементное – тройка {7, 8, 9}.  
 +Чаще всего (13 раз) встречается размер 24. Размер 25 встречается 7 раз."​ 
 + 
 +Эта техническая и достаточно рутинная задача возникла как побочный продукт из попытки решить более содержательную задачу.\\ 
 +Легко понять,​ что суммы квадратов цифр натурального числа может быть любым натуральным числом (достаточно ограничиться рассмотрением репьюнитов).\\ 
 +Немногим сложнее обосновывается,​ что сумма цифр квадрата натурального числа может быть любым натуральным числом,​ сравнимым с 0, 1, 4, 7 (квадратами) по модулю 9.\\ 
 +А вот с суммами квадратов цифр квадратов натуральных чисел дело обстоит интереснее.  
 +По-видимому,​ они могут принимать любые значения за исключением 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 20.\\ 
 +При попытке обосновать это утверждение и возникла данная задача. Почему именно 1, 4, 9?\\ 
 +Во-первых,​ сумма число 149 приводит 13, а 1049 - к 19 (эти числа наряду с 15, 17 и 18 входят в список небольших чисел, имеющих нетривиальные требуемые представления). 
 +А во-вторых,​ 1, 4, 9 (фигурирующие в условии) - это все ненулевые цифры, являющиеся квадратами,​ а 25 (фигурирующее в ответе) тоже квадрат. Мне показалось,​ что это будет уместно в задаче про сумму **квадратов** цифр **квадратов** чисел. 
 + 
 +Сама же попытка обоснования приведенного предположения утонула в переборе переборов и к задаче не привела. 
 + 
 +**Награды** 
 + 
 +За решение задачи ММ258 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ 
 +Анатолий Казмерчук - 8\\ 
 +Олег Полубасов - 8\\ 
 +Владислав Франк - 8\\ 
 +Константин Шамсутдинов - 7\\ 
 +Денис Овчинников - 7\\ 
 +Виктор Филимоненков - 7\\ 
 +Анна Букина - 7. 
 + 
 +**Эстетическая оценка задачи - 4 балла ** 
 +---- 
 +PS: Владислав Франк прислал мне строгое доказательство того, что каждое натуральное число, большее 20, есть сумма квадратов цифр некоторого квадрата. 
 +---- 
 + 
 + 
 +===== ММ257 ​===== 
 + ​**Конкурсная задача ММ257** (9 баллов) 
 + 
 +__Задача ММ257 сюжетно связана с ММ237__ 
 + 
 +Студент математического факультета Вася Пупкин пропустил (по уважительной причине) занятие по дискретной математике. Однокурсники рассказали,​ что на занятии рассматривался некий граф. Но ни один из них не зафиксировал этот граф ни с помощью гаджетов,​ ни на бумагу. Впрочем,​ Васины однокурсники,​ утверждают,​ что это не страшно,​ поскольку они и так помнят этот граф. В подтверждение своих слов они наперебой кинулись вспоминать характеристики графа:​\\ 
 +Аня: В графе было ровно 3 связных компоненты.\\ 
 +Ваня: Причем во всех связных компонентах графа имелись циклы.\\ 
 +Даня: А еще среди связных ​ компонент не было изоморфных.\\ 
 +Маня: Число ребер в одной из компонент было равно половине общего числа ребер.\\ 
 +Саня: При этом число ребер было равно сумме количеств вершин и связных компонент.\\ 
 +Таня: В графе была всего одна вершина степени 3.\\ 
 +Зина: А всего в графе было не более 13 вершин.\\ 
 +Лина: И при этом не было висячих вершин. \\ 
 +Нина: А степень одной из вершин не менее чем на 2 превосходила степень каждой из остальных вершин.\\ 
 +Фаина: Зина, Лина и Нина правы.\\ 
 +Услышавший эти реплики преподаватель сказал,​ что память подвела ровно одного человека.\\  
 +Сможет ли Вася (умница и отличник) однозначно восстановить граф?​\\ 
 + 
 +**Решение** 
 + 
 +Привожу решения {{:​marathon:​fiviol_mm257.docx|Виктора Филимоненкова}} и {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_257.pdf|Анатолия Казмерчука}}. 
 + 
 +**Обсуждение**  
 + 
 +Сразу несколько участников покритиковали ведущего за то, что он не уточнил,​ что имеет в виду под "​графом"​.  
 +Сначала меня удивила такая реакция:​ ведь в предудыщих марафонских турнирах графы фигурировали десятки раз и подобных вопросов не возникало. 
 +Задумавшись я понял, что в большинстве предыдущих задач структура графа, возникающего на том или ином множестве,​ вводилась прямо в условии. 
 +Впрочем,​ в ряде задач (ММ105, ММ116, ММ146, ММ153, ММ156) так же как и в ММ257 рассматривались абстрактные графы, но к неоднозначности это не приводило. А меожет,​ и приводило... Давно это было, 100 задач назад. 
 +В общем, на будущее:​ под графом я всегда имею в виду классический граф: непустое (обычно конечное) множество вершин и множество ребер, каждое из которых есть двухэлементое множество вершин. 
 +Это не значит,​ что я зарекаюсь использовать будущих задачах,​ орграфы,​ мультиграфы,​ гиперграфы,​ бинарные отношения и даже матроиды. Но когда я буду использовать такие структуры,​ я отдельно заострю на этом внимание. 
 + 
 +Составляя задачу,​ я вдохновлялся ММ237. И начал с того, что продублировал реплику Фаины. Дальнейшие реплики подбирались так, чтобы, с одной стороны,​ не было лишних,​ а с другой - граф определялся однозначно. 
 +Вроде, удалось. Хотя задача понравилась далеко не всем. Но мне понравилась. Поэтому я, все же, намерен в одном из грядущих конкурсов заставить Васю и его друзей обсудить новый математический объект. 
 + 
 +У тех, кто отозвался,​ задача затруднений не вызвала. Единственный балл изъят за излишнее увлечение сестрой таланта. ​   
 + 
 +**Награды** 
 + 
 +За решение задачи ММ257 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ 
 +Анатолий Казмерчук - 10\\ 
 +Константин Шамсутдинов - 9\\ 
 +Владислав Франк - 9\\ 
 +Денис Овчинников - 9\\ 
 +Виктор Филимоненков - 9\\ 
 +Олег Полубасов - 8. 
 + 
 +**Эстетическая оценка задачи - 4.3 балла ** 
 +---- 
  
 ===== ММ256 ===== ===== ММ256 =====
 

 


Страница: [[marathon:about]]

marathon/about.1602487249.txt · Последние изменения: 2020/10/12 10:20 — letsko
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006