Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

--- marathon:about [2020/10/12 10:20]
letsko
+++ marathon:about [2021/06/17 17:02] (текущий)
letsko [Текущие задачи]
@@ Строка 8: / Строка 8: @@
 ----
+**Завершен XXVII конкурс вамках Математического марафона**
+**Мои поздравления победителю конкурса, Мерабу Левиашвили, призерам, Анатолию Казмерчуку и Олегу Полубасову, а также всем тем, кто составил им достойную конкуренцию**
-Продолжается **XXVI конкурс в рамках Математического марафона!**
 Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания, выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными, а другие - не очень. На вкус и на цвет...
-Но если любите поломать голову над нестандартными задачами, участвуйте, не стесняйтесь.
+Но если вы любите поломать голову над нестандартными задачами, участвуйте, не стесняйтесь.
 Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас.
@@ Строка 21: / Строка 23: @@
  Ведущий Марафона
 --- //[[val-etc@yandex.ru|Vladimir letsko]]//
+[[Afterword XXVII |Послесловие к XXVII конкурсу]]
 ----
 ====== Текущие задачи ======
+----
+**На данный момент отсутствуют.**
 ----
-===== ММ257 =====
- **Конкурсная задача ММ257** (9 баллов)
+====== Разбор задач ======
+----
+=====
+Вектором граней выпуклого многогранника P назовем набор [f<sub>3</sub>, f<sub>4</sub>, …, f<sub>s</sub>], где f<sub>i</sub> – количество i-угольных граней P, а s - наибольшее число сторон грани. Будем говорить, что P относится к классу m, если max(f<sub>i</sub>) = m.
-Решения принимаются до __18.10.2020__
+----
-Задача ММ257 сюжетно связана с ММ237
-Студент математического факультета Вася Пупкин пропустил (по уважительной причине) занятие по дискретной математике. Однокурсники рассказали, что на занятии рассматривался некий граф. Но ни один из них не зафиксировал этот граф ни с помощью гаджетов, ни на бумагу. Впрочем, Васины однокурсники, утверждают, что это не страшно, поскольку они и так помнят этот граф. В подтверждение своих слов они наперебой кинулись вспоминать характеристики графа:\\
+**Конкурсная задача ММ270** (16 баллов)
-Аня: В графе было ровно 3 связных компоненты.\\
+Найти наибольшее возможное количество граней многогранника класса m.
-Ваня: Причем во всех связных компонентах графа имелись циклы.\\
-Даня: А еще среди связных  компонент не было изоморфных.\\
-Маня: Число ребер в одной из компонент было равно половине общего числа ребер.\\
-Саня: При этом число ребер было равно сумме количеств вершин и связных компонент.\\
-Таня: В графе была всего одна вершина степени 3.\\
-Зина: А всего в графе было не более 13 вершин.\\
-Лина: И при этом не было висячих вершин. \\
-Нина: А степень одной из вершин не менее чем на 2 превосходила степень каждой из остальных вершин.\\
-Фаина: Зина, Лина и Нина правы.\\
-Услышавший эти реплики преподаватель сказал, что память подвела ровно одного человека.\\
+**Решение**
-Сможет ли Вася (умница и отличник) однозначно восстановить граф?\\
-===== ММ258 =====
+Привожу решения призеров конкурса, {{:marathon:mm_270_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}} и {{:marathon:kazmerchuk_mm_270.pdf|Анатолия Казмерчука}}, а также обобщение задачи победителя конкурса {{:marathon:обобщение-мм270.docx|Мераба Левиашвили}} .
- **Конкурсная задача ММ258** (7 баллов)
+**Обсуждение**
-Решения принимаются до __24.10.2020__
+В отличие от ММ269, где вопрос задачи был сформулирован для частных значений m, а обобщали его сами конкурсанты, в ММ270 сразу же был сформулирован общий вопрос. Объясняется это просто. В ММ269 ответа на общий вопрос ведущий на момент опубликования задачи не знал (и даже склонялся, но, к счастью не "доказал" неверный ответ). А для ММ270 у меня был верный обоснованный ответ.
-Сколько элементов содержит множество сумм квадратов цифр квадратов чисел, в десятичной записи которых присутствуют по одному разу ровно три ненулевых цифры: 1, 4, 9? (Нулей может быть сколько угодно).
+Эта ситуация выбила почву из под ног большинства любителей обобщений. Да, практически все, решившие ММ270, нашли заодно и наибольшие количества вершин и ребер m-многогранников. Но ответы на эти вопросы становятся очевидны при успешном решении основной задачи. Единственным, кто изыскал возможности пообобщать стал Мераб Левиашвили. Он перешел от рассмотрения многогранников к рассмотрению простых (каждая вершина имеет степень n) политопов размерностей, больших 3. У таких политопов существуют грани разных размерностей. Соответственно можно рассматривать разные аналоги m-многогранников. Мераб остановился на случае двумерных граней. На основании известных соотношений Дена-Соммервиля он получил наименьшие значения m, для которых существуют n-мерные политопы класса m и верхние оценки для числа граней таких политопов для n \in {4, 5}, а также некоторые оценки для n \in {6, 7, 8}. Я привожу только обобщение задачи (присланное Мерабом отдельным документом), в том числе, и по причине слишком большого веса основного решения.
-===== ММ259 =====
+Во всех присланных решениях имеется содержится ответ 7m-4 для больших значений m. Разнятся эти решения степенью гипотетичности и обоснованности данного ответа, а также количеством частных значений m, подтверждающих данную гипотезу (это касается решений, где 7m-4 именно гипотеза).
- **Конкурсная задача ММ259** (8 баллов)
-Решения принимаются до __31.10.2020__
-Может ли треугольник с вершинами в центроиде и центрах вписанной и описанной окружностей некоторого треугольника быть\\
-a) равновелик;\\
-б) подобен;\\
-в) равен \\
-исходному?
-===== ММ260 =====
- **Конкурсная задача ММ260** (12 баллов)
-Решения принимаются до __14.11.2020__
+**Награды**
-Задача ММ260 обобщает и развивает ММ231
+За решение задачи ММ270 участники Марафона получают следующие призовые баллы:\\
+Мераб Левиашвили - 18;\\
+Олег Полубасов - 16;\\
+Анатолий Казмерчук - 16;\\
+Александр Романов - 16;\\
+Константин Шамсутдинов - 10;\\
+Виктор Филимоненков - 10;\\
+Денис Овчинников - 8.\\
-Пусть ABC – некоторый треугольник, точки K, L, M лежат соответственно на прямых AB, AC и BC, а s – некоторое действительное число, отличное от 0 и 1. Треугольник KLM будем называть подобно-вписанным в ∆ABC, если
+Эстетическая оценка задачи - 4.8 балла
-AK=sAB, BL=sBC, CM=sCA;
-треугольник KLM подобен треугольнику ABC.
-Сколько подобно вписанных треугольников может быть у произвольного треугольника?
 ----
-====== Разбор задач ======
-===== ММ256 =====
-**Конкурсная задача ММ256** (8 баллов)
-При каком наименьшем натуральном n уравнение n{x}<sup>2</sup> +{x}=[x] имеет не менее 1000000 решений в рациональных числах?
+===== ММ269 =====
-__Примечание: {x} – дробная часть числа x, [x]  – целая часть (пол) числа x.__
+ **Конкурсная задача ММ269** (11 баллов)
+Какова максимальная возможная степень вершины выпуклого многогранника\\
+a) класса 3;\\
+b) класса 4?
 **Решение**
-Привожу решения {{:marathon:mm256_dendr81.pdf|Дениса Овчинникова}} и {{:marathon:kazmerchuk_mm_256.pdf|Анатолия Казмерчука}}. С решением **vpb** можно познакомиться в разборе ММ256 на [[https://dxdy.ru/post1486803.html#p1486803 | dxdy.ru]]
+Привожу решения {{:marathon:mm269_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}}, {{:marathon:kazmerchuk_mm_269.pdf|Анатолия Казмерчука}} и {{:marathon:shamsutdinov_mm269.docx|Константина Шамсутдинова}}.
 **Обсуждение**
-В Марафоне неоднократно встречались задачи про функции [x] и {x} (ММ79, ММ176, ММ202, ММ263...)\\
+Согласно традициям Марафона последние задачи каждого конкурса имеют повышенную сложность. Эта традиция сохранилась и в данном конкурсе.
-Маскируется под них и ММ256. Но прозорливые конкурсанты верно разглядели в ней задачку по арифметике (теории чисел). И уверенно справились.
+Результатом этого усложнения чаще всего был отток значительной части конкурсантов. А эта традиция неожиданно была нарушена! Из тех, кто регулярно участвовал в нынешнем конкурсе, не прислали решения ММ269 всего два человека. А остальные порадовали, но не пощадили ведущего :-) Впрочем, после моей мольбы, все же сжалились, сократив самое длинное из решений на 40(!) страниц.
-А вот попыток изучить аналоги и обобщения было меньше обычного. Единственным, кто преуспел в этом оказался (и это не стало неожиданностью для ведущего) Анатолий Казмерчук.
-На этот раз конкурсанты были довольно единодушны при оценивании задачи. Соглашусь с ними и я :-)
+Разумеется, основные страсти кипели вокруг обобщения задачи, очевидного по постановке вопроса. Но только по постановке. Да-да, ответ 3m-3 не годится!
+В какой-то момент у меня имелось три решения, в которых приводилась и обосновывалась точная формула для максимальной возможной степени вершины m-многогранника. Точнее, три разных формулы, дающих разные ответы :-)\\
+Понимая, что ситуация, когда "Вася и Петя оба правы", маловероятна, ведущий был вынужден углубиться в многостраничные трактаты, воспользовавшись удачно подвернувшейся просьбой продлить срок приема решений. Дополнительное время не пропало даром. И ведущий и конкурсанты обнаружили некоторые ошибки и неточности в решениях. Во всех, кроме одного, в котором ошибок найти не удалось (или, все же, пока не удалось?). Желающие могут попробовать определить это решение из приводимого ниже списка начисленных призовых баллов (а также попытаться найти ошибки и в этом решении).
 **Награды**
-За решение задачи ММ256 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\
+За решение задачи ММ269 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\
-Анатолий Казмерчук - 10\\
+Олег Полубасов - 18;\\
-Константин Шамсутдинов - 8\\
+Мераб Левиашвили - 16;\\
-Олег Полубасов - 8\\
+Анатолий Казмерчук - 13;\\
-Владислав Франк - 8\\
+Константин Шамсутдинов - 13;\\
-Денис Овчинников - 8\\
+Василий Дзюбенко - 11;\\
-Виктор Филимоненков - 8\\
+Александр Романов - 11;\\
-vpb - 8.
+Виктор Филимоненков - 11;\\
+Денис Овчинников - 7.
-**Эстетическая оценка задачи - 4.7 балла **
+**Эстетическая оценка задачи - 4.7 балла**
 ----
-===== ММ255 =====
+===== ММ268 =====
-**Конкурсная задача ММ255** (7 баллов)
-Найти наименьшее натуральное число, имеющее ровно 7 представлений в виде произведения наибольшего возможного количества попарно различных натуральных сомножителей.
+**Конкурсная задача ММ268** (9 баллов)
-**Решение**
+Назовем натуральное число m допустимым, если существует такое n, что из чисел 1,2,…,n можно составить сумму произведений, в которой каждое число встречается ровно один раз, равную m. Сколько существует недопустимых чисел?
-Привожу решения {{:marathon:fiviol_мм255.docx|Виктора Филимоненкова}}, {{:marathon:mm255_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}} и {{:marathon:mm255_shamsutdinov.docx|Константина Шамсутдинова}}.
+Примечание: в суммах произведений допускаются одиночные слагаемые. Например, число 148 допустимо, поскольку 148=1·3 + 2·5·8 + 4 + 6·9 + 7.
-**Обсуждение**
+[[problem 268|Решение задачи ММ268]]
-Несложное обоснование существования чисел, имеющих в точности k представлений в виде произведения наибольшего возможного количества попарно различных сомножителей, оценивалось в один дополнительный балл. Еще 1 или два балла начислялись за нахождение наименьших чисел для других значений k.
+----
-ММ255 еще раз продемонстрировала полярность вкусов и предпочтений конкурсантов. Впрочем, из усредненной эстетической оценки видно, что тех, кому задача понравилась - большинство. В любом случае еще раз призываю конкурсантов не забывать присылать свои оценки задач. И использовать шкалу оценок по полной. Оценка по однобалльной шкале не позволит ведущему учесть ваши предпочтения при составлении новых задач (хотя предпочтеyия ведущего, по-видимому, в любом случае будут иметь приоритет).
-**Награды**
-За решение задачи ММ255 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\
+===== ММ267 =====
-Константин Шамсутдинов - 10\\
-Олег Полубасов - 9\\
-Анатолий Казмерчук - 8\\
-Владислав Франк - 8\\
-Денис Овчинников - 8\\
-Виктор Филимоненков - 7\\
-Владимир Дорофеев - 4.
-**Эстетическая оценка задачи - 4.4 балла **
+**Конкурсная задача ММ267** (7 баллов)
-----
+Вася и Петя поспорили. Вася уверен, что среди представлений натурального числа n в виде суммы натуральных слагаемых чаще встречаются те, у которых каждое слагаемое присутствует не более двух раз, чем те, у которых все слагаемые не кратны 3. Петя уверен в обратном. Кто из них прав?
+[[problem 267|Решение задачи ММ267]]
-===== ММ254 =====
+----
-**Конкурсная задача ММ254** (6 баллов)
+===== ММ266 =====
-Вася вписал круг в треугольник со сторонами 3, 4, 5. И вписывает новые круги так, что каждый последующий касается двух сторон треугольника и одного из предыдущих кругов. Может ли суммарная площадь кругов превысить 80% от площади треугольника и на каком шаге (круге) может случиться это событие?
+**Конкурсная задача ММ266** (7 баллов)
-**Решение**
+Вася Пупкин выписал дни рождения семерых своих однокурсников, родившихся в январе одного и того же года, что и Вася, и, поэкспериментировав с выписанными числами, заметил два факта:\\
+) τ(n<sup>3</sup> )=τ(n)<sup>2</sup>, где n – произведение всех выписанных чисел;\\
+) сумма кубов составных чисел больше суммы кубов остальных\\.
+Найдите дни рождения Васиных товарищей, если известно, что все они младше Васи.
-Привожу решения {{:marathon:мм254_fiviol.docx|Виктора Филимоненкова}}, {{:marathon:mm254_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}} и {{:marathon:kazmerchuk_mm_254.pdf|Анатолия Казмерчука}}.
+Примечание: при сравнении возрастов учитываются дни, но не часы рождения.
-**Обсуждение**
+[[problem 266|Решение задачи ММ266]]
-В отличие от прошлой задачи, при решении ММ254 избежали технических ошибок (хотя ошибиться было где). Но неожиданно вернулись проблемы с пониманием условия и вопроса задачи.
+----
-И если для ММ251 такие проблемы были вполне ожидаемы (я уже объяснял, почему сознательно не стал доскональнее прописывать условие той задачи), то ММ254 представлялась мне сформулированной ясно и однозначно.
-Единственный нюанс - учитывать ли первый круг. Для придания однозначности я продублировал слово "шагов", словом "кругов", поясняя, что первый круг тоже следует считать. Тем не менее, сосчитали его не все. Но я заранее решил, что не буду считать это за ошибку.
-Я не снижал баллы и за отсутствие явного указания на то, что Вася может и не добраться до 80% даже при бесконечном числе шагов (ведь в задаче спрашивалось "может ли площадь кругов превысить 80%", а не "превысит ли").
-Теперь о замечаниях, за которые баллы снимались.
-Валентин Пивоваров почему-то решил, что за один шаг обязательно вписывается сразу по 3 круга (в каждый из углов треугольника). Перечитав условие я убедился, что в нем нет намеков на такое толкование. Тем не менее, я счел возможным поставить Валентину достаточно высокий балл, поскольку параметры трех геометрических прогрессий были определены верно, то есть, было сделано практически все, что нужно для решения.
-Еще два участника почему-то ограничились нахождением наименьшего количества кругов, покрывающих более 80% площади треугольника. Проанализировав условие, я пришел к выводу, что вина за такую трактовку лежит исключительно на этих участниках :-)
-Наконец, в одном из решений превышение 80% на любом круге, начиная с 6-го, отмечается, но отдельно не обосновывается. Хотя легко подобрать начальные данные так, что правильным ответом будет, например, такой "требуемый процент будет превышен на 3-м, 4-м или 5-м шаге".
-Анатолий Казмерчук нашел диапазон, в котором может изменяться отношение площади треугольника к предельной сумме площадей кругов в зависимости от формы треугольника.
+===== ММ265 =====
-Олег Полубасов показал, как приближаться к границам этого диапазона, но не обосновал непреодолимость этих границ.
-Владислав Франк получил нижнюю границу.
-Отдельно отмечу замечательное наблюдение Олега Полубасова - поразительную близость отношения площади египетского треугольника к сумме площадей вписанного круга и трех кругов, вписанных в углы треугольника, к π/2.
+**Конкурсная задача ММ265** (5 баллов)
-Участники поставили передо мной непростую задачу: зачастую те решения, которые содержали обобщения задачи, одновременно имели перечисленные выше недостатки. Во что вылилось добавление дополнительных баллов при одновременном вычитании основных см. ниже.
+Разрезать правильный треугольник на наименьшее возможное количество прямоугольных треугольников так, чтобы никакие два из возникших треугольников не были подобны.
-**Награды**
+[[problem 265|Решение задачи ММ265]]
-За решение задачи ММ254 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\
-Анатолий Казмерчук - 7\\
-Владислав Франк - 7\\
-Олег Полубасов - 7\\
-Константин Шамсутдинов - 6\\
-Виктор Филимоненков - 6\\
-Денис Овчинников - 5\\
-Валентин Пивоваров - 4.
-**Эстетическая оценка задачи - 4.4 балла **
 ----
-===== ММ253 =====
+===== ММ264 =====
-**Конкурсная задача ММ253** (5 баллов)
+**Конкурсная задача ММ264** (4 балла)
-Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA<sub>1</sub>B<sub>1</sub>C<sub>1</sub> равна 2. Сечение призмы, проходящее через середину отрезка AB<sub>1</sub> перпендикулярно ему имеет площадь 28sqrt(39)/81. Найти объем призмы?
+Назовем пару натуральных чисел a и b аддитивной, если τ(a+b)=τ(a)+τ(b),σ(a+b)=σ(a)+σ(b)  и φ(a+b)=φ(a)+φ(b).
+Доказать, что существует бесконечно много аддитивных пар.\\
-**Решение**
+(τ(n), σ(n), φ(n) - количество натуральных делителей, сумма натуральных делителей и функция Эйлера соответственно.)
-Привожу решения {{:marathon:mm253_shamsutdinov.docx|Константина Шамсутдинова}} (замечательное своей краткостью), {{:marathon:mm253_dziubenko.pdf|Василия Дзюбенко}} (замечательное своей основательностью), и {{:marathon:kazmerchuk_mm_253.pdf|Анатолия Казмерчука}} (как всегда, замечательное во всех отношениях).
+[[problem 264|Решение задачи ММ264]]
-**Обсуждение**
+----
-Предлагая эту задачу, я изначально был уверен, что участники не попадутся в небольшую ловушку - наличие двух случаев. Но некоторые ответы на ММ251 эту уверенность поколебали.
+===== ММ263 =====
-Как выяснилось, зря. Все присланные решения содержат по два ответа. Правда, в некоторых из решений по одному (разному) ответу оказались неверны из-за вычислительных ошибок.
+ **Конкурсная задача ММ263** (4 балла)
-Составляя задачу, я долго бился над тем, чтобы оба ответа были "приличными". Если под приличностью понимать отсутствие многоэтажных радикалов, то задуманное осуществить удалось.
+Сколько решений может иметь уравнение [3x]{x} – [x]{3x} = c, в зависимости от значения параметра c?\\
-Но сделать оба ответа совсем компактными я так и не смог. Остановился на варианте, когда более сложный случай пятиугольного сечения приводит к более простому ответу.
-Анатолий Казмерчук исследовал вопрос о количестве решений задачи в зависимости от соотношения между стороной основания призмы и площадью сечения.
+([x] и {x} означают соответственно целую часть (пол) и дробную часть числа x.)
-**Награды**
+[[problem 263|Решение задачи ММ263]]
-За решение задачи ММ253 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\
-Анатолий Казмерчук - 6\\
-Денис Овчинников - 5\\
-Василий Дзюбенко - 5\\
-Владислав Франк - 5\\
-Константин Шамсутдинов - 5\\
-Валентин Пивоваров - 5\\
-Олег Полубасов - 4\\
-Виктор Филимоненков - 4.
-**Эстетическая оценка задачи - 4.1 балла **
 ----
-----
+===== ММ262 =====
-===== ММ252 =====
-**Конкурсная задача ММ252** (3 балла)
+**Конкурсная задача ММ262** (3 балла)
-Для числа 90 существуют две пары представлений в виде произведения трех сомножителей таких, что суммы сомножителей внутри каждой пары одинаковы:
+Разносторонний треугольник назовем прогрессивным, если длины его сторон образуют арифметическую прогрессию.
-=1⋅9⋅10=2⋅3⋅15,  1+9+10=2+3+15;\\
+Доказать, что треугольник прогрессивен тогда и только тогда, когда прямая, проходящая через точку Нагеля и центр Шпикера, параллельна средней стороне.
-=2⋅5⋅9=3⋅3⋅10,  2+5+9=3+3+10.\\
-Доказать, что существует бесконечно много натуральных чисел вида p<sup>k</sup>q (p, q – простые, k – натуральное), обладающих таким свойством.
-**Решение**
+Примечание: тривиальное решение (недаром цена задачи всего 3 балла) на ЕГЭ бы не приняли, но у нас, слава Богу, не ЕГЭ :-)
-Привожу решения {{:marathon:mm252_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}}, {{:marathon:kazmerchuk_mm_252.pdf|Анатолия Казмерчука}} и {{:marathon:mm252_ovcvinnikov.pdf|Дениса Овчинникова}}.
+[[problem 262|Решение задачи ММ262]]
-**Обсуждение**
-На задачу ММ252 поступило существенно меньше решений, чем на ММ251 :-( \\
-И это вопреки тому, что добавилось два новых участника: один относительно новый (в рамках текущего конкурса), а другой - новый участник Марафона в целом.\\
-Некоторые из "пропавших" (надеюсь, все же, отлучившихся) конкурсантов признались, что они не справились с ММ252. При том, что задача, на мой взгляд, весьма проста. Ведь бесконечная серия подходящих чисел строится из одного подходящего числа тривиально. По-видимому, проблема в нахождении одного подходящего примера.\\
-В этой связи еще раз подчеркну (в первую очередь, для тех, кто присоединился к Марафону недавно) принципиальное отличие Марафона от олимпиады, проводимой "здесь и сейчас". Решение марафонских задач предполагает использование любых источников. Использование вычислительной мощи компьютера тоже не считается зазорным.
-Анатолий Казмерчук доказал, что среди степеней простых чисел нет чисел с рассматриваемым свойством.\\
-Денис Овчинников предпринял попытку доказать, что таковых нет и среди чисел p<sup>k</sup>q, при p > 2. Правда, в его рассуждении (это признает и сам Денис) есть "темное пятно". Но, возможно, доказательство можно довести до ума.
-Олегу Полубасову удалось построить более одной серии рассматриваемых чисел. Для этого Олег подловил ведущего на неаккуратной формулировке (ох уж эти формулировки!). В самом деле, в условии сказано, что исходное число - натуральное. Но про натуральность сомножителей (которую имел в виду ведущий и почти все конкурсанты) ничего не говорится.
-Интересно, является ли найденная серия единственной если, все же, рассматривать разложения на натуральные сомножители.
- Полагаю, что для всех подходящих серий p = 2, но при этом допускаю, что серий может быть много. Впрочем, это только мои предположения.
-**Награды**
-За решение задачи ММ252 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\
-Анатолий Казмерчук - 5\\
-Олег Полубасов - 5\\
-Денис Овчинников - 5\\
-Виктор Филимоненков - 4\\
-Василий Дзюбенко - 4\\
-Владислав Франк - 4\\
-Константин Шамсутдинов - 4\\
-Валентин Пивоваров - 1.
-**Эстетическая оценка задачи - 3.9 балла **
 ----
+===== ММ261 =====
-===== ММ251 =====
-**Конкурсная задача ММ251** (3 балла)
+**Конкурсная задача ММ261** (4 балла)
-Из книги вырвано несколько страниц. Сумма номеров оставшихся страниц 5001. Пусть n – наименьшее возможное число страниц, которое могло быть в этой книге изначально. Найдите наибольший возможный номер отсутствующей страницы, при условии, что в книге было n страниц.
+Натуральные числа 1, 2, 3, ..., 100 разбили на 10 групп по 10 чисел. Найти наибольшую возможную сумму НОД этих десяток.
-**Решение**
+[[problem 261|Решение задачи ММ261]]
-Привожу решения {{:marathon:kazmerchuk_mm_251.pdf|Анатолия Казмерчука}} и {{:marathon:mm251_fomina.docx|Елены Фоминой}} (новичка Марафона).
-**Обсуждение**
-Совершенно неожиданно задача ММ251, которую я считал легкой и поместил в конкурс "для разогрева", вызвала затруднения у значительного числа конкурсантов, в том числе у признанных асов.
-Кроме неверных решений я получил также некоторые упреки за неоднозначность формулировки:\\
-Из книги нельзя вырвать страницы - только листы;\\
-Не уточнено, подходит ли одна страница под формулировку "несколько страниц";\\
-Не указано, на какой стороне разворота книги находится первая страница;\\
-не указано, является ли печать (и соответственно нумерация) двусторонней...
-Я исходил из того, что на каждом листе расположены две страницы, причем меньший из номеров нечетен. Я ни разу не встречал книги, где на правом развороте были бы страницы с четными номерами (и сомневаюсь в существовании таких диковин). Переплетенные документы с односторонней печатью, я, конечно, встречал, но это были отчеты, дипломные работы, диссертации... и ни разу не книги. (Правда, мне указали, что самиздатовская книга может иметь одностороннюю печать.)\\
-Что касается толкования слова "несколько", на мой взгляд, одна страница вполне подошла бы под это понятие. Но, поскольку я имел в виду обычную книгу с двусторонней печатью, этот момент не важен. Каждый вырванный лист - это пара вырванных страниц.\\
-Я не оговорил эти моменты вполне сознательно, полагая, что без этих нюансов задача станет совсем уж тривиальной. Впрочем, я был уверен, что и эти моменты не вызовут затруднений для подавляющего большинства участников. Но ошибся. Наверное, часть конкурсантов расслабились за лето и еще не вошли в форму.\\
-Каждый из перечисленных моментов, стал для кого-то камнем преткновения. Еще двое конкурсантов споткнулись о домысленное условие, что страницы вырывались подряд.
-Даже некоторые из тех, кто пришел к верному ответу, рассуждали, на мой взгляд, не вполне строго. Например, вывод, что в книге было 100 страниц, сделанный на основании того, что 5050 наименьшее треугольное число, превышающее 5001. Ведь 5050 превышает и, скажем, 5037. Но, если бы сумма оставшихся страниц была 5037, в книге изначально должно было быть больше 100 страниц.
-Другим неаккуратным шагом стало отбрасывание варианта с одной страницей не на основании того, что на одном листе находятся две страницы, а из-за того, что "один" - это не "несколько".
-Я не стал придираться к этим моментам.
-Самым предусмотрительным оказался Виктор Филимоненков, рассмотревший как классические книжки, так и их альтернативные разновидности.\\
-А единственным конкурсантам, рассмотревшим обобщение задачи стал Анатолий Казмерчук. Он выяснил, какие числа могут быть суммами номеров вырванных страниц.
-**Награды**
-За решение задачи ММ251 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\
-Анатолий Казмерчук - 4\\
-Виктор Филимоненков - 3\\
-Олег Полубасов - 3\\
-Елена Фомина - 3\\
-Владимир Дорофеев - 3\\
-Владислав Франк - 3\\
-Константин Шамсутдинов - 3\\
-Константин Кноп - 1\\
-Александр Домашенко - 1\\
-Валентин Пивоваров - 1\\
-Анна Букина - 1\\
-cubaca - 1.
-**Эстетическая оценка задачи - 4 балла **
 ----
 ~~NOTOC~~