marathon:mm_77_appendix

Легко показать, что для каждого натурального k найдется M(k) - длина максимальной цепочки последовательных натуральных чисел, имеющих в точности по k натуральных делителей. Для нечетных k M(k) всегда равно 1. С четными все гораздо интереснее. На сегодняшний день известно несколько сотен k, для которых найдено точное значение M(k). Но во всех этих случаях, кроме одного, M(k) ≤ 7.

Единственное строго доказанное точное значение M(7), большее 7 это M(12)=15 (цепочка из 15 последовательных чисел, имеющих по 12 делителей была найдена 6.04.22 Дмитрием Петуховым).

Но поиск M(k) для других k продолжается. Здесь будут обновляться таблицы, связанные с задачей отыскания M(k) для четных k

Цепочки, для которых M(k)>7, возможны только для k, кратных 12.

При этом максимальная длина известной на сегодняшний день цепочки равна 8 для следующих значений k:
156, 204, 228, 396, 408, 420, 456, 540, 624, 816, 840, 864, 936, 1008, 1176, 1200, 1320, 1584, 1680, 1800, 1872, 2520, 3600, 5040
Цепочки длиной 9 известны для следующих k:
132, 180, 252, 264, 300, 312, 324, 480, 504, 528, 600, 648, 720, 768, 792, 1080, 1296, 2160
Приведенная ниже таблица содержит сведения о самых длинных цепочках для тех k, для которых M(k) > 9.

L(k) - длина самой длинной известной на сегодняшний день цепочки для данного k (Lower bound);
U(k) - доказанная оценка сверху для максимальной длины цепочки для данного k (Upper bound).
Таким образом L(k) ≤ M(k) ≤ U(k)
Цепочки, найденные Евгением Жилицким и Артёмом Заржецким (и Дмитрием Петуховым ), получены с помощью программ Дмитрия Петухова. Приводимые ниже (не только в таблице, но и после нее) оценки M(k) сверху получили и улучшили Ivo Düntsch, Roger B. Eggleton, Hugo van der Sanden, Василий Дзюбенко, Владимир Лецко, Евгений Жилицкий и Денис Шатров.

k	L(k)	U(k)	Found	Date	Comment
12	15	15	Дмитрий Петухов	Apr 22	Complete
24	18	31	Владимир Лецко	Jun 22
36	13	15	Евгений Жилицкий	Apr 22
48	20	31	Владимир Лецко	May 22	Current WR of length
60	11	23	Артём Заржецкий	May 22
72	14	31	Евгений Жилицкий	Jul 22
84	10	15	Евгений Жилицкий	Jun 22
96	17	31	Владимир Лецко	Sep 22
108	10	15	Владимир Лецко	Sep 22
120	12	107	Владимир Лецко	Jul 22
144	14	31	Владимир Лецко	Oct 22
168	11	31	Владимир Лецко	Nov 22
192	14	31	Владимир Лецко	Jul 22
216	12	31	Владимир Лецко	Oct 22
240	12	123	Владимир Лецко	Aug 22
288	11	31	Владимир Лецко	Jul 22
336	10	31	Владимир Лецко	Nov 22
360	11	119	Владимир Лецко	Aug 22
384	12	31	Владимир Лецко	Aug 22
432	10	31	Владимир Лецко	Jul 22
576	10	31	Владимир Лецко	Oct 22

Если k равно 12t+4 или 12t+8, то M(k) ≤ 7. Ниже перечислены все k указанного вида, для которых известны цепочки длины 7:
8, 16, 20, 28, 32, 40, 44, 52, 56 , 64, 68, 76, 80, 88, 92, 100, 104, 112, 116, 124, 128, 136, 140, 148, 152, 160, 164, 172, 176, 184, 188, 196, 200, 208, 220, 224, 232, 248, 256, 260, 272, 280, 296, 308, 320, 340, 352, 364, 380, 392, 400, 416, 440, 448, 474, 500, 512, 560, 640, 700, 704, 784, 800, 896, 1000, 1024, 1120, 1280, 1600, 1792, 2048, 2560, 4096.

Денис Шатров доказал, что, для всех k вида 12t+6 справедлива оценка M(k) ≤ 5.
Вот список значений k, для которых известны цепочки длины 5:
6, 18, 30, 42, 54, 66, 78, 90, 102, 114, 126, 138, 150, 162, 174, 186, 198, 210, 222, 234, 246, 258, 270, 282, 294, 306, 318, 330, 342, 354, 366, 378, 390, 414, 426, 438, 450, 462, 486, 498, 510, 522, 546, 558, 570, 594, 630, 666, 690, 702, 714, 726, 750, 798, 810, 858, 870, 882, 918, 930, 966, 990, 1014, 1050, 1122, 1134, 1170, 1218, 1242*, 1254, 1326, 1350, 1386, 1458, 1470, 1482, 1518, 1530*,1554, 1638*, 1650, 1734, 1782, 1794, 1890, 1914, 1938, 2046, 2166, 2250, 2310, 2430, 3150, 3402, 4374, 5670, 6750, 7290, 9450, 10206, 12150, 13122, 17010, 20250, 21870.

Скорее всего, для всех k, сравнимых с 2 и 10 по модулю 12 (за исключением k = 2) M(k) = 3. Оценку M(k) ≤ 3 для таких k удалось строго доказать для следующих случаев:
M(2p) ≤ 3, где p - простое число, большее 3;
M(2pq) ≤ 3, где p,q - простые числа, большие 3 (не обязательно различные);
M(2P) ≤ 3, где P - произведение простых чисел p<sub>i<sub>, для которых НОД чисел p<sub>i<sub>-1 больше 2.
Последнее условие позволяет искать подходящие тройки даже для очень больших k. Например, для k=1017050412482 (это больше триллиона!) поиск соответствующей тройки занял несколько минут.
Первое число тройки
876808460697450120945954523529391122826913770447215521293922322854246671317359638311181323772896378226056168127423836176038349152061070194671548193372434953712458723723440214529913674312866745467691290950916103794539 107029237714798913297339976098386267890025513404389478325845811649302333636919917922236657330932366582525033279745091108057424916190185619670172217997071499767140561164846237001394534266512575515645739499042464880639 076726644679453168096257632857676552956165348365446887911457786393454547735035561254405057394709904121092348401414273011267206346471697383332400333729137077860750035128532026101426294175648627308559140586324468444425 107045767948511344144450055213363494122221840230896109004106619977392256259918212890623
Надеюсь, этот пример убедительно показывает, почему здесь не приводятся конкретные k и соответствующие тройки для случая M(k)=3.

В прилагаемой таблице представлены числа, открывающие цепочки последовательных чисел, имеющих по M(k) делителей, для всех таких k (числа k, помеченные звездочкой попадут в следующую редакцию таблицы), для которых такие цепочки известны и M(k)>3.

Полезную информацию можно найти здесь.