Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Легко показать, что для каждого натурального k найдется M(k) - длина максимальной цепочки последовательных натуральных чисел, имеющих в точности по k натуральных делителей. Для нечетных k M(k) всегда равно 1. С четными все гораздо интереснее. На сегодняшний день известно несколько сотен k, для которых найдено точное значение M(k). Но во всех этих случаях, кроме одного, M(k) ≤ 7.

Единственное строго доказанное точное значение M(7), большее 7 это M(12)=15 (цепочка из 15 последовательных чисел, имеющих по 12 делителей была найдена 6.04.22 Дмитрием Петуховым).

Но поиск M(k) для других k продолжается. Здесь будут обновляться таблицы, связанные с задачей отыскания M(k) для четных k

Цепочки, для которых M(k)>7, возможны только для k, кратных 12.

На данный момент такие цепочки известны для следующих значений k:12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132, 144, 156, 168, 180, 192, 204, 216, 228, 240, 252, 264, 288, 300, 312, 324, 336, 360, 384, 396, 408, 420, 432, 456, 480, 504, 528, 540, 576, 600, 624, 648, 720, 768, 792, 816, 840, 864, 936, 1008, 1080, 1176, 1200, 1296, 1320, 1584, 1680, 1800, 1872, 2160, 2520, 3600, 5040.
[url=https://dxdy.ru/post1552034.html#p1552034]12[/url], [url=https://dxdy.ru/post1556221.html#p1556221]24[/url], [url=https://dxdy.ru/post1553399.html#p1553399]36[/url], [url=https://dxdy.ru/post1555879.html#p1555879]48[/url], [url=https://dxdy.ru/post1554431.html#p1554431]60[/url], [url=https://dxdy.ru/post1560959.html#p1560959]72[/url], [url=https://dxdy.ru/post1557223.html#p1557223]84[/url], [url=https://dxdy.ru/post1565577.html#p1565577]96[/url], [url=https://dxdy.ru/post1564821.html#p1564821]108[/url], [url=https://dxdy.ru/post1561324.html#p1561324]120[/url], [url=https://dxdy.ru/post1559909.html#p1559909]132[/url], [url=https://dxdy.ru/post1567237.html#p1567237]144[/url], [url=https://dxdy.ru/post1559882.html#p1559882]156[/url], [url=https://dxdy.ru/post1568692.html#p1568692]168[/url], [url=https://dxdy.ru/post1562310.html#p1562310]180[/url], [url=https://dxdy.ru/post1561514.html#p1561514]192[/url], [url=https://dxdy.ru/post1563204.html#p1563204]204[/url], [url=https://dxdy.ru/post1568398.html#p1568398]216[/url], [url=https://dxdy.ru/post1566175.html#p1566175]228[/url], [url=https://dxdy.ru/post1563772.html#p1563772]240[/url], [url=https://dxdy.ru/post1564360.html#p1564360]252[/url], [url=https://dxdy.ru/post1563066.html#p1563066]264[/url], [url=https://dxdy.ru/post1559807.html#p1559807]288[/url], [url=https://dxdy.ru/post1564793.html#p1564793]300[/url], [url=https://dxdy.ru/post1563888.html#p1563888]312[/url], [url=https://dxdy.ru/post1562702.html#p1562702]324[/url], [url=https://dxdy.ru/post1568858.html#p1568858]336[/url], [url=https://dxdy.ru/post1563743.html#p1563743]360[/url], [url=https://dxdy.ru/post1563743.html#p1563743]384[/url], [url=https://dxdy.ru/post1564390.html#p1564390]396[/url], [url=https://dxdy.ru/post1563242.html#p1563242]408[/url], [url=https://dxdy.ru/post1562763.html#p1562763]420[/url], [url=https://dxdy.ru/post1561324.html#p1561324]432[/url], [url=https://dxdy.ru/post1566119.html#p1566119]456[/url], [url=https://dxdy.ru/post1561120.html#p1561120]480[/url], [url=https://dxdy.ru/post1562573.html#p1562573]504[/url], [url=https://dxdy.ru/post1565499.html#p1565499]528[/url], [url=https://dxdy.ru/post1563030.html#p1563030]540[/url], [url=https://dxdy.ru/post1566032.html#p1566032]576[/url], [url=https://dxdy.ru/post1562831.html#p1562831]600[/url], [url=https://dxdy.ru/post1566175.html#p1566175]624[/url], [url=https://dxdy.ru/post1562744.html#p1562744]648[/url], [url=https://dxdy.ru/post1562523.html#p1562523]720[/url], [url=https://dxdy.ru/post1559614.html#p1559614]768[/url], [url=https://dxdy.ru/post1565932.html#p1565932]792[/url], [url=https://dxdy.ru/post1569992.html#p1569992]816[/url], [url=https://dxdy.ru/post1562802.html#p1562802]840[/url], [url=https://dxdy.ru/post1565063.html#p1565063]864[/url], [url=https://dxdy.ru/post1566175.html#p1566175]936[/url], [url=https://dxdy.ru/post1565886.html#p1565886]1008[/url], [url=https://dxdy.ru/post1569360.html#p1569360]1080[/url], [url=https://dxdy.ru/post1566175.html#p1566175]1176[/url], [url=https://dxdy.ru/post1565932.html#p1565932]1200[/url], [url=https://dxdy.ru/post1569316.html#p1569316]1296[/url], [url=https://dxdy.ru/post1566032.html#p1566032]1320[/url], [url=https://dxdy.ru/post1566175.html#p1566175]1584[/url], [url=https://dxdy.ru/post1566119.html#p1566119]1680[/url], [url=https://dxdy.ru/post1570059.html#p1570059]1800[/url], [url=https://dxdy.ru/post1568739.html#p1568739]1872[/url], [url=https://dxdy.ru/post1569841.html#p1569841]2160[/url], [url=https://dxdy.ru/post1569841.html#p1569841]2520[/url], [url=https://dxdy.ru/post1569900.html#p1569900]3600[/url], [url=https://dxdy.ru/post1571374.html#p1571374]5040[/url].

При этом максимальная длина известной на сегодняшний день цепочки равна 8 для следующих значений k:
156, 204, 228, 396, 408, 420, 456, 540, 624, 816, 840, 864, 936, 1008, 1176, 1200, 1320, 1584, 1680, 1800, 1872, 2520, 3600, 5040
Цепочки длиной 9 известны для следующих k:
132, 180, 252, 264, 300, 312, 324, 480, 504, 528, 600, 648, 720, 768, 792, 1080, 1296, 2160
Приведенная ниже таблица содержит сведения о самых длинных цепочках для тех k, для которых M(k) > 9.

L(k) - длина самой длинной известной на сегодняшний день цепочки для данного k (Lower bound);
U(k) - доказанная оценка сверху для максимальной длины цепочки для данного k (Upper bound).
Таким образом L(k) ≤ M(k) ≤ U(k)
Цепочки, найденные Евгением Жилицким и Артёмом Заржецким (и Дмитрием Петуховым :-)), получены с помощью программ Дмитрия Петухова. Приводимые ниже (не только в таблице, но и после нее) оценки M(k) сверху получили и улучшили Ivo Düntsch, Roger B. Eggleton, Hugo van der Sanden, Василий Дзюбенко, Владимир Лецко, Евгений Жилицкий и Денис Шатров.

k L(k) U(k) Found Date Comment
12 15 15 Дмитрий Петухов Apr 22 Complete
24 18 31 Владимир Лецко Jun 22
36 13 15 Евгений Жилицкий Apr 22
48 20 31 Владимир Лецко May 22 Current WR of length
60 11 23 Артём Заржецкий May 22
72 14 31 Евгений Жилицкий Jul 22
84 10 15 Евгений Жилицкий Jun 22
96 17 31 Владимир Лецко Sep 22
108 10 15 Владимир Лецко Sep 22
120 12 107 Владимир Лецко Jul 22
144 14 31 Владимир Лецко Oct 22
168 11 31 Владимир Лецко Nov 22
192 14 31 Владимир Лецко Jul 22
216 12 31 Владимир Лецко Oct 22
240 12 123 Владимир Лецко Aug 22
288 11 31 Владимир Лецко Jul 22
336 10 31 Владимир Лецко Nov 22
360 11 119 Владимир Лецко Aug 22
384 12 31 Владимир Лецко Aug 22
432 10 31 Владимир Лецко Jul 22
576 10 31 Владимир Лецко Oct 22

Если k равно 12t+4 или 12t+8, то M(k) ≤ 7. Ниже перечислены все k указанного вида, для которых известны цепочки длины 7:
8, 16, 20, 28, 32, 40, 44, 52, 56 , 64, 68, 76, 80, 88, 92, 100, 104, 112, 116, 124, 128, 136, 140, 148, 152, 160, 164, 172*, 176, 184, 188*, 196, 200, 208, 220, 224, 232, 248, 256, 260, 272, 280, 296, 308, 320, 340, 352, 364, 380, 392, 400, 416, 440, 448, 474, 500, 512, 560, 640, 700, 704, 784, 800, 896, 1000, 1024, 1120, 1280, 1600, 1792, 2048, 2560, 4096.

Денис Шатров доказал, что, для всех k вида 12t+6 справедлива оценка M(k) ≤ 5.
Вот список значений k, для которых известны цепочки длины 5:
6, 18, 30, 42, 54, 66, 78, 90, 102, 114, 126, 138, 150, 162, 174, 186, 198, 210, 222, 234, 246, 258, 270, 282, 294, 306, 318, 330, 342, 354, 366, 378, 390, 414, 426, 438, 450, 462, 486, 498, 510, 522, 546, 558, 570, 594, 630, 666, 690, 702, 714, 726, 750, 798, 810, 858, 870, 882, 930, 966, 1014, 1050, 1122, 1134, 1170, 1218, 1254, 1326, 1350, 1386, 1458, 1470, 1482, 1518, 1554, 1650, 1734, 1782, 1794, 1890, 1914, 1938, 2046, 2166, 2250, 2310, 2430, 3150, 3402, 4374, 5670, 6750, 7290, 9450, 10206, 12150, 13122, 17010, 20250, 21870.

Скорее всего, для всех k, сравнимых с 2 и 10 по модулю 12 (за исключением k = 2) M(k) = 3. Оценку M(k) ≤ 3 для таких k удалось строго доказать для следующих случаев:
M(2p) ≤ 3, где p - простое число, большее 3;
M(2pq) ≤ 3, где p,q - простые числа, большие 3 (не обязательно различные);
M(2P) ≤ 3, где P - произведение простых чисел p<sub>i<sub>, для которых НОД чисел p<sub>i<sub>-1 больше 2.
Последнее условие позволяет искать подходящие тройки даже для очень больших k. Например, для k=1017050412482 (это больше триллиона!) поиск соответствующей тройки занял несколько минут.
Первое число тройки
8768084606974501209459545235293911228269137704472155212939223228542466713173596383111813237728963782260561681274238361760383491520610701946715481933724349537124587237234402145299136743128667454676912909509161037945391070292377
1479891329733997609838626789002551340438947832584581164930233363691991792223665733093236658252503327974509110805742491619018561967017221799707149976714056116484623700139453426651257551564573949904246488063907672664467945316809
6257632857676552956165348365446887911457786393454547735035561254405057394709904121092348401414273011267206346471697383332400333729137077860750035128532026101426294175648627308559140586324468444425107045767948511344144450055213
363494122221840230896109004106619977392256259918212890623
Надеюсь, этот пример убедительно показывает, почему здесь не приводятся конкретные k и соответствующие тройки для случая M(k)=3.

В прилагаемой таблице представлены числа, открывающие цепочки последовательных чисел, имеющих по M(k) делителей, для всех таких k (кроме помеченных звездочкой: они попадут в обновленную версию), для которых такие цепочки известны и M(k)>3.

 

 


Страница: [[marathon:mm_77_appendix]]

marathon/mm_77_appendix.txt · Последние изменения: 2024/03/21 21:24 — letsko
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006