 |
|
 |
 |
 | Карта сайта |
 | Недавние изменения |
 | Поиск |
 | Вы посетили |
 | История страницы |
 | Вход |
Различия
Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.
|
marathon:mm_77_appendix [2017/09/12 11:24] letsko |
marathon:mm_77_appendix [2024/03/21 21:24] (текущий) letsko |
||
|---|---|---|---|
| Строка 1: | Строка 1: | ||
| - | Обозначим через M(k) наибольшее возможное количество последовательных натуральных чисел, имеющих ровно по k делителей.\\ | + | Легко показать, что для каждого натурального k найдется M(k) - длина максимальной цепочки последовательных натуральных чисел, имеющих в точности по k натуральных делителей. Для нечетных k M(k) всегда равно 1. С четными все гораздо интереснее. На сегодняшний день известно несколько сотен k, для которых найдено точное значение M(k). Но во всех этих случаях, кроме одного, M(k) ≤ 7. |
| - | В прилагаемой {{:marathon:consec_table_27-06-17.pdf|таблице}} для всех четных k, для которых известно точное значение M(k), приведены числа, открывающие наборы последовательных чисел, имеющих по k делителей. | + | |
| - | M(k) может принимать значения большие 7 только для k, кратных 12. | + | Единственное строго доказанное точное значение M(7), большее 7 это M(12)=15 (цепочка из 15 последовательных чисел, имеющих по 12 делителей была найдена 6.04.22 Дмитрием Петуховым). |
| - | Так, 11 ≤ M(36) ≤ 15.\\ Цепочка из 11 последовательных чисел, имеющих по 36 делителей начинается с числа 12821655678011960184516598560606241547734025340946441558430971. | + | Но поиск M(k) для других k продолжается. |
| + | Здесь будут обновляться таблицы, связанные с задачей отыскания M(k) для четных k | ||
| - | Число 99949636937406199604777509122843 открывает ряд из 13 последовательных чисел, имеющих по 12 делителей. Поэтому 13 ≤ M(12) ≤ 15. | + | Цепочки, для которых M(k)>7, возможны только для k, кратных 12. |
| - | С числа 455860979682184378628059023549801721816 начинается цепочка из 15 последовательных чисел, имеющих по 48 делителей. Поэтому 15 ≤ M(48) ≤ 31. | + | На данный момент такие цепочки известны для следующих значений k:12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132, 144, 156, 168, 180, 192, 204, 216, 228, 240, 252, 264, 288, 300, 312, 324, 336, 360, 384, 396, 408, 420, 432, 456, 480, 504, 528, 540, 576, 600, 624, 648, 720, 768, 792, 816, 840, 864, 936, 1008, 1080, 1176, 1200, 1296, 1320, 1584, 1680, 1800, 1872, 2160, 2520, 3600, 5040.\\ |
| + | [url=https://dxdy.ru/post1552034.html#p1552034]12[/url], [url=https://dxdy.ru/post1556221.html#p1556221]24[/url], [url=https://dxdy.ru/post1553399.html#p1553399]36[/url], [url=https://dxdy.ru/post1555879.html#p1555879]48[/url], [url=https://dxdy.ru/post1554431.html#p1554431]60[/url], [url=https://dxdy.ru/post1560959.html#p1560959]72[/url], [url=https://dxdy.ru/post1557223.html#p1557223]84[/url], [url=https://dxdy.ru/post1565577.html#p1565577]96[/url], [url=https://dxdy.ru/post1564821.html#p1564821]108[/url], [url=https://dxdy.ru/post1561324.html#p1561324]120[/url], [url=https://dxdy.ru/post1559909.html#p1559909]132[/url], [url=https://dxdy.ru/post1567237.html#p1567237]144[/url], [url=https://dxdy.ru/post1559882.html#p1559882]156[/url], [url=https://dxdy.ru/post1568692.html#p1568692]168[/url], [url=https://dxdy.ru/post1562310.html#p1562310]180[/url], [url=https://dxdy.ru/post1561514.html#p1561514]192[/url], [url=https://dxdy.ru/post1563204.html#p1563204]204[/url], [url=https://dxdy.ru/post1568398.html#p1568398]216[/url], [url=https://dxdy.ru/post1566175.html#p1566175]228[/url], [url=https://dxdy.ru/post1563772.html#p1563772]240[/url], [url=https://dxdy.ru/post1564360.html#p1564360]252[/url], [url=https://dxdy.ru/post1563066.html#p1563066]264[/url], [url=https://dxdy.ru/post1559807.html#p1559807]288[/url], [url=https://dxdy.ru/post1564793.html#p1564793]300[/url], [url=https://dxdy.ru/post1563888.html#p1563888]312[/url], [url=https://dxdy.ru/post1562702.html#p1562702]324[/url], [url=https://dxdy.ru/post1568858.html#p1568858]336[/url], [url=https://dxdy.ru/post1563743.html#p1563743]360[/url], [url=https://dxdy.ru/post1563743.html#p1563743]384[/url], [url=https://dxdy.ru/post1564390.html#p1564390]396[/url], [url=https://dxdy.ru/post1563242.html#p1563242]408[/url], [url=https://dxdy.ru/post1562763.html#p1562763]420[/url], [url=https://dxdy.ru/post1561324.html#p1561324]432[/url], [url=https://dxdy.ru/post1566119.html#p1566119]456[/url], [url=https://dxdy.ru/post1561120.html#p1561120]480[/url], [url=https://dxdy.ru/post1562573.html#p1562573]504[/url], [url=https://dxdy.ru/post1565499.html#p1565499]528[/url], [url=https://dxdy.ru/post1563030.html#p1563030]540[/url], [url=https://dxdy.ru/post1566032.html#p1566032]576[/url], [url=https://dxdy.ru/post1562831.html#p1562831]600[/url], [url=https://dxdy.ru/post1566175.html#p1566175]624[/url], [url=https://dxdy.ru/post1562744.html#p1562744]648[/url], [url=https://dxdy.ru/post1562523.html#p1562523]720[/url], [url=https://dxdy.ru/post1559614.html#p1559614]768[/url], [url=https://dxdy.ru/post1565932.html#p1565932]792[/url], [url=https://dxdy.ru/post1569992.html#p1569992]816[/url], [url=https://dxdy.ru/post1562802.html#p1562802]840[/url], [url=https://dxdy.ru/post1565063.html#p1565063]864[/url], [url=https://dxdy.ru/post1566175.html#p1566175]936[/url], [url=https://dxdy.ru/post1565886.html#p1565886]1008[/url], [url=https://dxdy.ru/post1569360.html#p1569360]1080[/url], [url=https://dxdy.ru/post1566175.html#p1566175]1176[/url], [url=https://dxdy.ru/post1565932.html#p1565932]1200[/url], [url=https://dxdy.ru/post1569316.html#p1569316]1296[/url], [url=https://dxdy.ru/post1566032.html#p1566032]1320[/url], [url=https://dxdy.ru/post1566175.html#p1566175]1584[/url], [url=https://dxdy.ru/post1566119.html#p1566119]1680[/url], [url=https://dxdy.ru/post1570059.html#p1570059]1800[/url], [url=https://dxdy.ru/post1568739.html#p1568739]1872[/url], [url=https://dxdy.ru/post1569841.html#p1569841]2160[/url], [url=https://dxdy.ru/post1569841.html#p1569841]2520[/url], [url=https://dxdy.ru/post1569900.html#p1569900]3600[/url], [url=https://dxdy.ru/post1571374.html#p1571374]5040[/url]. | ||
| + | |||
| + | При этом максимальная длина известной на сегодняшний день цепочки равна 8 для следующих значений k:\\ | ||
| + | 156, 204, 228, 396, 408, 420, 456, 540, 624, 816, 840, 864, 936, 1008, 1176, 1200, 1320, 1584, 1680, 1800, 1872, 2520, 3600, 5040\\ | ||
| + | Цепочки длиной 9 известны для следующих k:\\ | ||
| + | 132, 180, 252, 264, 300, 312, 324, 480, 504, 528, 600, 648, 720, 768, 792, 1080, 1296, 2160\\ | ||
| + | Приведенная ниже таблица содержит сведения о самых длинных цепочках для тех k, для которых M(k) > 9. | ||
| + | |||
| + | L(k) - длина самой длинной известной на сегодняшний день цепочки для данного k (Lower bound);\\ | ||
| + | U(k) - доказанная оценка сверху для максимальной длины цепочки для данного k (Upper bound).\\ | ||
| + | Таким образом L(k) ≤ M(k) ≤ U(k)\\ | ||
| + | Цепочки, найденные Евгением Жилицким и Артёмом Заржецким (и Дмитрием Петуховым :-)), получены с помощью программ Дмитрия Петухова. | ||
| + | Приводимые ниже (не только в таблице, но и после нее) оценки M(k) сверху получили и улучшили Ivo Düntsch, Roger B. Eggleton, Hugo van der Sanden, Василий Дзюбенко, Владимир Лецко, Евгений Жилицкий и Денис Шатров. | ||
| + | |||
| + | ^ k ^ L(k) ^ U(k) ^ Found ^ Date ^ Comment ^ | ||
| + | | 12 | 15 | 15 | Дмитрий Петухов | Apr 22 | Complete | | ||
| + | | 24 | 18 | 31 | Владимир Лецко | Jun 22 | | | ||
| + | | 36 | 13 | 15 | Евгений Жилицкий | Apr 22 | | | ||
| + | | 48 | 20 | 31 | Владимир Лецко | May 22 | Current WR of length | | ||
| + | | 60 | 11 | 23 | Артём Заржецкий | May 22 | | | ||
| + | | 72 | 14 | 31 | Евгений Жилицкий | Jul 22 | | | ||
| + | | 84 | 10 | 15 | Евгений Жилицкий | Jun 22 | | | ||
| + | | 96 | 17 | 31 | Владимир Лецко | Sep 22 | | | ||
| + | | 108 | 10 | 15 | Владимир Лецко | Sep 22 | | | ||
| + | | 120 | 12 | 107 | Владимир Лецко | Jul 22 | | | ||
| + | | 144 | 14 | 31 | Владимир Лецко | Oct 22 | | | ||
| + | | 168 | 11 | 31 | Владимир Лецко | Nov 22 | | | ||
| + | | 192 | 14 | 31 | Владимир Лецко | Jul 22 | | | ||
| + | | 216 | 12 | 31 | Владимир Лецко | Oct 22 | | | ||
| + | | 240 | 12 | 123 | Владимир Лецко | Aug 22 | | | ||
| + | | 288 | 11 | 31 | Владимир Лецко | Jul 22 | | | ||
| + | | 336 | 10 | 31 | Владимир Лецко | Nov 22 | | | ||
| + | | 360 | 11 | 119 | Владимир Лецко | Aug 22 | | | ||
| + | | 384 | 12 | 31 | Владимир Лецко | Aug 22 | | | ||
| + | | 432 | 10 | 31 | Владимир Лецко | Jul 22 | | | ||
| + | | 576 | 10 | 31 | Владимир Лецко | Oct 22 | | | ||
| + | -- | ||
| + | |||
| + | Если k равно 12t+4 или 12t+8, то M(k) ≤ 7. Ниже перечислены все k указанного вида, для которых известны цепочки длины 7:\\ | ||
| + | 8, 16, 20, 28, 32, 40, 44, 52, 56 , 64, 68, 76, 80, 88, 92, 100, 104, 112, 116, 124, 128, 136, 140, 148, 152, 160, 164, 172*, | ||
| + | 176, 184, 188*, 196, 200, 208, 220, 224, 232, 248, 256, 260, 272, 280, 296, 308, 320, 340, 352, 364, 380, 392, 400, 416, 440, | ||
| + | 448, 474, 500, 512, 560, 640, 700, 704, 784, 800, 896, 1000, 1024, 1120, 1280, 1600, 1792, 2048, 2560, 4096. | ||
| + | |||
| + | Денис Шатров доказал, что, для всех k вида 12t+6 справедлива оценка M(k) ≤ 5. \\ | ||
| + | Вот список значений k, для которых известны цепочки длины 5:\\ | ||
| + | 6, 18, 30, 42, 54, 66, 78, 90, 102, 114, 126, 138, 150, 162, 174, 186, 198, 210, 222, 234, 246, 258, 270, 282, 294, 306, 318, | ||
| + | 330, 342, 354, 366, 378, 390, 414, 426, 438, 450, 462, 486, 498, 510, 522, 546, 558, 570, 594, 630, 666, 690, 702, 714, 726, 750, | ||
| + | 798, 810, 858, 870, 882, 930, 966, 1014, 1050, 1122, 1134, 1170, 1218, 1254, 1326, 1350, 1386, 1458, 1470, 1482, 1518, 1554, | ||
| + | 1650, 1734, 1782, 1794, 1890, 1914, 1938, 2046, 2166, 2250, 2310, 2430, 3150, 3402, 4374, 5670, 6750, 7290, 9450, 10206, | ||
| + | 12150, 13122, 17010, 20250, 21870. | ||
| + | |||
| + | Скорее всего, для всех k, сравнимых с 2 и 10 по модулю 12 (за исключением k = 2) M(k) = 3. | ||
| + | Оценку M(k) ≤ 3 для таких k удалось строго доказать для следующих случаев:\\ | ||
| + | M(2p) ≤ 3, где p - простое число, большее 3;\\ | ||
| + | M(2pq) ≤ 3, где p,q - простые числа, большие 3 (не обязательно различные);\\ | ||
| + | M(2P) ≤ 3, где P - произведение простых чисел p<sub>i<sub>, для которых НОД чисел p<sub>i<sub>-1 больше 2.\\ | ||
| + | Последнее условие позволяет искать подходящие тройки даже для очень больших k. | ||
| + | Например, для k=1017050412482 (это больше триллиона!) поиск соответствующей тройки занял несколько минут.\\ | ||
| + | Первое число тройки\\ | ||
| + | 8768084606974501209459545235293911228269137704472155212939223228542466713173596383111813237728963782260561681274238361760383491520610701946715481933724349537124587237234402145299136743128667454676912909509161037945391070292377\\ | ||
| + | 1479891329733997609838626789002551340438947832584581164930233363691991792223665733093236658252503327974509110805742491619018561967017221799707149976714056116484623700139453426651257551564573949904246488063907672664467945316809\\ | ||
| + | 6257632857676552956165348365446887911457786393454547735035561254405057394709904121092348401414273011267206346471697383332400333729137077860750035128532026101426294175648627308559140586324468444425107045767948511344144450055213\\ | ||
| + | 363494122221840230896109004106619977392256259918212890623 \\ | ||
| + | Надеюсь, этот пример убедительно показывает, почему здесь не приводятся конкретные k и соответствующие тройки для случая M(k)=3. | ||
| + | |||
| + | В прилагаемой таблице представлены числа, открывающие цепочки последовательных чисел, имеющих по M(k) делителей, для всех таких k (кроме помеченных звездочкой: они попадут в обновленную версию), для которых такие цепочки известны и M(k)>3. | ||
| - | Наиболее длинный из известных на сегодняшний день отрезок из последовательных натуральных чисел, имеющих поровну делителей, начинается с числа 768369049267672356024049141254832375543516. Это число и каждое из 16-ти последующих имеют по 24 делителя.\\ | ||
| - | Таким образом, 17 ≤ M(24) ≤ 31. | ||