Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Содержание

ММ1

Конкурсная задача ММ1 (5 баллов)

Фишка находится на расстоянии n клеток от заветной. Бросаем игральную кость (кубик) и, в зависимости от выпавшей суммы очков (от 1 до 6), перемещаем фишку к заветной клетке. В общем, все как в детской игре. Если мы еще не достигли заветной клетки, продолжаем этот процесс. Если мы после очередного хода оказались (ура!) в заветной клетке, мы выиграли. Если же мы проскочили (увы) заветную клетку, мы проиграли. При каком n вероятность выигрыша максимальна?

Решение

Приведу решение, предложенное В.Пономаревым

Пусть А(i) - вероятность удачного исхода, где i - расстояние до финишной клетки.
А(1)=1/6
А(2)=1/6+1/6*А(1)
А(3)=1/6+1/6*А(1)+1/6*А(2)
А(4)=1/6+1/6*А(1)+1/6*А(2)+1/6*А(3)
А(5)=1/6+1/6*А(1)+1/6*А(2)+1/6*А(3)+1/6*А(4)
А(6)=1/6+1/6*А(1)+1/6*А(2)+1/6*А(3)+1/6*А(4)+1/6*А(5)
Для остальных i:
А(i)=1/6*(А(i-1)+А(i-2)+А(i-3)+А(i-4)+А(i-5)+А(i-6))

Очевидно, что в этом случае вероятность выиграть меньше максимального из первых шести (поскольку среднее арифметическое различных чисел меньше максимального из них). А из первых шести максимальное для i=6.

Обсуждение

От себя добавлю, что для первых шести n A(n)=7n-1/6n.

Замечу также, что можно получить начальные значения A(n) проще, если положить A(-5)=A(-4)=A(-3)=A(-2)=A(-1)=0 (мы уже проскочили заветную клетку) и A(0)=1 (мы уже попали в заветную клетку). Тогда значения для любого натурального аргумента (включая первые шесть натуральных чисел) вычисляются по приведенной выше рекуррентной формуле.

И еще одно любопытное замечание:
Можно заметить, что с ростом n колебания функции A(n) сглаживаются и значение ее стремится к 2/7. Это вполне понятно, поскольку 2/7 есть величина обратная средней длине хода.

Задача ММ1 была опубликована в Задачнике «Кванта» под номером М2111, №6-2008 (разбор №3-2009)

Награды

На данную задачу, к сожалению, получено всего одно решение. (Точнее, получено целых три решения, но от одного и того же человека.) За полное и правильное решение 1-й конкурсной задачи В.Пономарев получает 5 призовых баллов

 

 


Страница: [[marathon:problem_1]]

marathon/problem_1.txt · Последние изменения: 2015/10/03 14:00 — letsko
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006