|
||||||||||||||||||
|
СодержаниеММ1Конкурсная задача ММ1 (5 баллов) Фишка находится на расстоянии n клеток от заветной. Бросаем игральную кость (кубик) и, в зависимости от выпавшей суммы очков (от 1 до 6), перемещаем фишку к заветной клетке. В общем, все как в детской игре. Если мы еще не достигли заветной клетки, продолжаем этот процесс. Если мы после очередного хода оказались (ура!) в заветной клетке, мы выиграли. Если же мы проскочили (увы) заветную клетку, мы проиграли. При каком n вероятность выигрыша максимальна? Решение Приведу решение, предложенное В.Пономаревым
Пусть А(i) - вероятность удачного исхода, где i - расстояние до финишной клетки. Очевидно, что в этом случае вероятность выиграть меньше максимального из первых шести (поскольку среднее арифметическое различных чисел меньше максимального из них). А из первых шести максимальное для i=6. Обсуждение От себя добавлю, что для первых шести n A(n)=7n-1/6n. Замечу также, что можно получить начальные значения A(n) проще, если положить A(-5)=A(-4)=A(-3)=A(-2)=A(-1)=0 (мы уже проскочили заветную клетку) и A(0)=1 (мы уже попали в заветную клетку). Тогда значения для любого натурального аргумента (включая первые шесть натуральных чисел) вычисляются по приведенной выше рекуррентной формуле.
И еще одно любопытное замечание: Задача ММ1 была опубликована в Задачнике «Кванта» под номером М2111, №6-2008 (разбор №3-2009) Награды На данную задачу, к сожалению, получено всего одно решение. (Точнее, получено целых три решения, но от одного и того же человека.) За полное и правильное решение 1-й конкурсной задачи В.Пономарев получает 5 призовых баллов
|
|||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||
|