Конкурсная задача ММ10 (5 баллов)

Задать во множестве целых чисел Z две бинарные операции (+) и (*) так, чтобы относительно этих операций множество Z стало коммутативным кольцом с единицей, в котором число 1 было бы нейтральным элементом по сложению (т.е. в аддитивной группе кольца), а число 0 - нейтральным элементом по умножению.

Решение

Зададим на множестве Z новые операции (+) и (*) по правилу:
a (+) b = a + b - 1
a (*) b = a + b - ab
Непосредственная проверка показывает, что относительно введенных операций множество Z образует кольцо, удовлетворяющее всем условиям задачи.

Обсуждение

Построенное нами кольцо <Z, (+), (*)> изоморфно обычному кольцу целых чисел <Z, +, *>. Изоморфизм задается по правилу: f(x) = 1 - x.
Приведенное решение не является единственным. Например, если g:Z→Z - произвольная биекция множества Z на себя, меняющая местами элементы 0 и 1, то операции, заданные по правилу: a (+) b = g-1(g(a) + g(b)) a (*) b = g-1(g(a)g(b)) будут удовлетворять условию.

Награды

За правильное решение задачи Вячеслав Пономарев получает 5 призовых баллов, а Борис Бух и Павел Егоров - по 4 призовых балла.