Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Содержание

№101

Баллы, полученные за решение данной задачи учитываются дважды: в основном Марафоне и в тематическом конкурсе. А сама задача является прямым продолжением задачи ММ57.

Конкурсная задача №101 (КГ-1) (8 баллов)

Назовем многоугольник ординарным (термин «регулярный», использованный в задаче №57, явно неудачен), если он выпуклый и никакие 3 его диагонали не пересекаются в одной точке внутри многоугольника. Пусть n - число сторон ординарного многоугольника. Ординарный многоугольник разбивается своими диагоналями на многоугольники, которые мы будем называть элементарными. Начиная с какого n, число элементарных четырехугольников может превысить число элементарных треугольников?

Решение

При n = 9 требуемым многоугольником будет, например, девятиугольник с вершинами A(0;0), B(1;0), C(50;49),D(50;53), E(3;99), F(1;100), G(-2;100), H(-50;51), I(-50;47). В его разбиении участвуют 67 треугольников, 69 четырехугольников и 18 пятиугольников.

Остается показать, что при n < 9 в разбиении ординарнрого (да и любого выпуклого) n-угольника треугольников больше, чем четырехугольников. Для n < 8 это очевидно.
Пусть n = 8.
Своими диагоналями ординарный восьмиугольник разбивается на 91 часть (обоснование можно посмотреть в разборе задачи ММ57). 40 элементарных многоугольников, имеющих общую вершину с исходным многоугольником, являются треугольниками. На остальные 51 элентарных многоугольников приходится 208 углов, что пока не исключает возможности превышения четырехугольников над треугольниками.

Зафиксируем одну вершину исходного восьмиугольника вместе со смежными ей сторонами и диагоналями. Остальные вершины, стороны и дагонали образуют ординарный семиугольник. Среди элементарных многоугольников этого семиугольника 28 треугольников, имеющих общую вершину с исходным семиугольником. Возможные количества углов остальных 22 элементарных многоугольников представлены в приведенной ниже таблице (обоснование этой таблицы см. в разборе решения задачи ММ104):

Число углов
3 4 5 6 7
1. 3 13 6 - -
2. 4 11 7 - -
3. 5 10 6 1 -
4. 7 7 7 - 1

Диагонали, проведенные из зафиксированной нами восьмой вершины, разрежут некоторые из частей разбиения. Однако, при разрезании треугольной части обязательно вновь возникнет треугольник, а разрезании пяти(или более)угольной части возникнет хотя один элементарный многоугольник, имеющий не менее 5 сторон. Поэтому среди 51 части в разбиении восьмиугольника, возникающего на пересечении коротких (соединящих вершины через одну) диагоналей исходного, будет не менее 3 треугольников и не менее 6 элементарных многоугольников, имеющих боле четырех сторон.
Окончательно получаем, что в разбиении ординарного восьмиугольника участвует не менее 43 треугольников. Из 48 оставшихся многоугольников не менее 6 имеют более четырех сторон.

Обсуждение

Оценки (не менее 43 треугольников и не менее 6 элементарных многоульников с числом сторон более четырех), вполне достаточны для решения данной задачи, но, скорее всего, занижены.

Участники конкурса привели еще несколько примеров девятиугольников, у которых среди частей разбиения больше четырехугольников, чем треугольников. Анатолий Казмерчук нашел девятиугольник, в разбиении которого участвуют 66 треугольников и 71 четырехугольник, а Андрей Халявин обнаружил девятиугольник, у которого всего 64 элементарных треугольника и целых 75 элементарных четырехугольников.

В преамбуле к задаче я рекомендовал, приступая к ее решению, познакомитья с разбором задачи ММ57. Но сам же пренебрег этим советом. Мне казалось, что в ММ57 обоснованы все возможные варианты разбиения ординарнрго семиугольника. Знание этих вариантов значительно упрощает решение ММ101. Поэтому первоначально данная задача была оценена всего в 5 баллов.

Награды

За правильное решение задачи №101 Андрей Халявин получает 9 призовых баллов (1 балл добавлен за оперативность реакции), а Анатолий Казмерчук - 8 баллов. Кирилл Введенский получает 2 призовых балла, а Николай Дерюгин - 1.

Эстетическая оценка задачи - 5 баллов


 

 


Страница: [[marathon:problem_101]]

marathon/problem_101.txt · Последние изменения: 2019/03/22 11:58 — letsko
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006