|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Содержание№101Баллы, полученные за решение данной задачи учитываются дважды: в основном Марафоне и в тематическом конкурсе. А сама задача является прямым продолжением задачи ММ57. Конкурсная задача №101 (КГ-1) (8 баллов) Назовем многоугольник ординарным (термин «регулярный», использованный в задаче №57, явно неудачен), если он выпуклый и никакие 3 его диагонали не пересекаются в одной точке внутри многоугольника. Пусть n - число сторон ординарного многоугольника. Ординарный многоугольник разбивается своими диагоналями на многоугольники, которые мы будем называть элементарными. Начиная с какого n, число элементарных четырехугольников может превысить число элементарных треугольников? Решение При n = 9 требуемым многоугольником будет, например, девятиугольник с вершинами A(0;0), B(1;0), C(50;49),D(50;53), E(3;99), F(1;100), G(-2;100), H(-50;51), I(-50;47). В его разбиении участвуют 67 треугольников, 69 четырехугольников и 18 пятиугольников.
Остается показать, что при n < 9 в разбиении ординарнрого (да и любого выпуклого)
n-угольника треугольников больше, чем четырехугольников.
Для n < 8 это очевидно. Зафиксируем одну вершину исходного восьмиугольника вместе со смежными ей сторонами и диагоналями. Остальные вершины, стороны и дагонали образуют ординарный семиугольник. Среди элементарных многоугольников этого семиугольника 28 треугольников, имеющих общую вершину с исходным семиугольником. Возможные количества углов остальных 22 элементарных многоугольников представлены в приведенной ниже таблице (обоснование этой таблицы см. в разборе решения задачи ММ104):
Диагонали, проведенные из зафиксированной нами восьмой вершины, разрежут некоторые
из частей разбиения. Однако, при разрезании треугольной части обязательно вновь возникнет
треугольник, а разрезании пяти(или более)угольной части возникнет хотя один элементарный
многоугольник, имеющий не менее 5 сторон.
Поэтому среди 51 части в разбиении восьмиугольника, возникающего на пересечении
коротких (соединящих вершины через одну) диагоналей исходного, будет не менее 3
треугольников и не менее 6 элементарных многоугольников, имеющих боле четырех
сторон. Обсуждение Оценки (не менее 43 треугольников и не менее 6 элементарных многоульников с числом сторон более четырех), вполне достаточны для решения данной задачи, но, скорее всего, занижены. Участники конкурса привели еще несколько примеров девятиугольников, у которых среди частей разбиения больше четырехугольников, чем треугольников. Анатолий Казмерчук нашел девятиугольник, в разбиении которого участвуют 66 треугольников и 71 четырехугольник, а Андрей Халявин обнаружил девятиугольник, у которого всего 64 элементарных треугольника и целых 75 элементарных четырехугольников. В преамбуле к задаче я рекомендовал, приступая к ее решению, познакомитья с разбором задачи ММ57. Но сам же пренебрег этим советом. Мне казалось, что в ММ57 обоснованы все возможные варианты разбиения ординарнрго семиугольника. Знание этих вариантов значительно упрощает решение ММ101. Поэтому первоначально данная задача была оценена всего в 5 баллов. Награды За правильное решение задачи №101 Андрей Халявин получает 9 призовых баллов (1 балл добавлен за оперативность реакции), а Анатолий Казмерчук - 8 баллов. Кирилл Введенский получает 2 призовых балла, а Николай Дерюгин - 1. Эстетическая оценка задачи - 5 баллов
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|