|
||||||||||||||||||
|
Содержание№108Задачка с антресолей. Конкурсная задача ММ108 (4 балла) Однородную пирамиду разрезали на слои равной толщины плоскостями, параллельными основанию. При каком наименьшем количестве частей их можно будет разложить на разные чаши равноплечных весов без гирь так, чтобы весы уравновесились? Решение Приведу решение Алексея Волошина.
Пусть вес самой верхней части (самой маленькой) равен 1. Тогда, из соображений подобия вес первых k частей равен k3, а вес k-го слоя равен k3-(k-1)3. Обсуждение
Задача ММ108 имеет интересное обобщение. Порежем n-мерную пирамиду гиперплоскостями,
параллельными гиперплоскости основания на 2n слоев равной толщины. Тогда
т-мерные объемы слоев будут относиться как разности соседних n-x степеней.
Оказывается, при любом n можно разбить полученные слои на два класса по
2n-1
кусков в каждом, так что суммарные n-мерные объемы кусков в классах будут равны. Я надеялся, что участники Марафона выйдут на вышеописанное обобщение и уже изготовился щедро раздавать дополнительные призовые баллы. Однако дождался лишь намека на обобщение от Тимофея Игнатьева. Полагаю, эстетическая оценка задачи была бы выше, если бы учаастники Марафона оценивали задачу с учетом обобщения на произвольное n. Для n ≤ 3 2n - наименьшее число слоев, удовлетворяющее условию. Будет ли оно таковым для бОльших n мне неизвестно. Награды За правильное решение задачи ММ108 Тимофей Игнатьев получает 5 призовых баллов, а Виктор Филимоненков, Кирилл Веденский, Алексей Волошин, Николай Дерюгин и Анатолий Казмерчук - по 4 призовых балла. Эстетическая оценка задачи - 3.8 балла
|
|||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||
|