Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Содержание

№109

Конкурсная задача ММ109 (6 баллов)

Тремя семействами параллельных линий плоскость разрезана на равные треугольники. Можно ли в каждый труегольник вписать одно из чисел 1, 2, 3 так, чтобы:
1) хотя бы в один треугольник была вписана тройка;
2) число в каждом треугольнике указывало, сколько различных чисел написано в трех треугольниках, имеющих общую сторону с данным?

Решение

Требуемое заполнение возможно. Например, замостив плоскоть параллелограммами, выделенными на рисунке Алексея Волошина, получим нужное заполнение.

:marathon:109-1.jpg

Обсуждение

Существуют принципиально разные способы требуемого заполнения. Так, в решениях большинства участников и ведущего частота единиц двоек и троек прямо пропорциональна номиналу этих цифр, т.е. двойки встречаются в 2, а торйки - в 3 раза чаще единиц. А в красивом орнаменте Николая Дерюгина (см. рисунок) единицы встречаются в 3 раза реже как двоек, так и троек.

:marathon:109-2.jpg

В задаче Н. Агаханова, послужившей прототипом для ММ109, речь шла о заполнении плоскости, разлинованной в клеточку, числами 1, 2, 3, 4. А решение заключалось в обосновании невозможности такого заполнения.

Награды

За правильное решение задачи ММ109 Алексей Волошин, Виктор Филимоненков, Николай Дерюгин и Анатолий Казмерчук получают по 6 призовых баллов.

Эстетическая оценка задачи - 4.3 балла —-

 

 


Страница: [[marathon:problem_109]]

marathon/problem_109.txt · Последние изменения: 2009/09/21 12:14 (внешнее изменение)
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006