|
||||||||||||||||||
|
Содержание№110Конкурсная задача ММ110 (КГ-5) (6 баллов) Квадрат со стороной n (n - натуральное, большее 1) разрезали на 4 прямоугольника с целочисленными сторонами. Сколько различных значений может принимать сумма периметров полученных прямоугольников при всех таких разрезаниях? Решение Приведу решение Виктора Филимоненкова (единственного из марафонцев, обошедшегося без чертежа):
Ответ: 1 при n = 2, 3 при n = 3, 2n-2 при n > 3. Сумма периметров полученных прямоугольников равна 4n (суммы длин сторон квадрата) + 2k (удвоенная сумма длин трех внутренних отрезков). Значит, число различных периметров зависит от числа значений, которые может принимать число k.
При n = 2 k принимает одно значение (4), что очевидно. Пусть n > 4. Поскольку один из трех внутренних отрезков равен n, то k ≥ n+2 (когда остальные два внутренних отрезка равны 1). Поскольку каждый из внутренних отрезков не длиннее n, k ≤ 3*n. При этом невозможно, чтобы k = 3n-1. Действительно, это означало бы, что проведены 2 внутренних отрезка длиной n, и один длиной n-1. Но тогда отрезки длиной n были бы параллельны, а отрезок длиной n-1 им перпендикулярен. Но 2 отрезка длиной n разрезают квадрат на 3 полосы, ширина каждой из которых не меньше 1, поэтому самая длинная не шире, чем n-2, значит, отрезок длиной n-1 провести будет невозможно. Все остальные 2n-2 значения числа k из интервала n+2 ≤ k ≤ 3*n возможны. Действительно, проведем линию длиной n, отрезав полосу шириной m, потом в этой полосе проведем линию длиной m, отрезав полосочку шириной 1. При m = 1 проведем еще линию длиной 1, параллельную второй, получим k = n+2. При m > 1 в полоске m·1 проведем отрезок длиной 1, получим k = n+m+1 для всех возможных m < n. Чтобы получить k > 2n, проведем две параллельные линии длиной n каждая на ширине l друг от друга, и разделим эту полоску линией длины l на 2 прямоугольника (1 ≤ l ≤ n-2). Наконец, при n > 4 можно провести 3 параллельные друг другу линии длиной n, что дает значение k = 3n. Награды За правильное решение задачи ММ110 Алексей Волошин, Виктор Филимоненков, Анатолий Казмерчук и Кирилл Веденский получают по 6 призовых баллов. Николай Дерюгин (он неверно сосчитал суммарные периметры при одном из способов разрезания) получает 4 призовых балла. Анна Ширяева (она прошла мимо одного из возможных способов разрезания) получает 3 призвых балла. Эстетическая оценка задачи - 3.7 балла
|
|||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||
|