Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Содержание

№110

Конкурсная задача ММ110 (КГ-5) (6 баллов)

Квадрат со стороной n (n - натуральное, большее 1) разрезали на 4 прямоугольника с целочисленными сторонами. Сколько различных значений может принимать сумма периметров полученных прямоугольников при всех таких разрезаниях?

Решение

Приведу решение Виктора Филимоненкова (единственного из марафонцев, обошедшегося без чертежа):

Ответ: 1 при n = 2, 3 при n = 3, 2n-2 при n > 3.
Решение: любое разрезание квадрата n·n на 4 прямоугольника можно провести так: провести линию длины n параллельно одной из сторон, потом провести линию, разрезающую один из полученных прямоугольников на 2, и, наконец, провести третью линию, разрезающую один из полученных прямоугольника на 2.

Сумма периметров полученных прямоугольников равна 4n (суммы длин сторон квадрата) + 2k (удвоенная сумма длин трех внутренних отрезков). Значит, число различных периметров зависит от числа значений, которые может принимать число k.

При n = 2 k принимает одно значение (4), что очевидно.
При n = 3 k принимает 3 значения (5, 6 и 7), что легко проверить простым перебором.

Пусть n > 4. Поскольку один из трех внутренних отрезков равен n, то k ≥ n+2 (когда остальные два внутренних отрезка равны 1). Поскольку каждый из внутренних отрезков не длиннее n, k ≤ 3*n. При этом невозможно, чтобы k = 3n-1. Действительно, это означало бы, что проведены 2 внутренних отрезка длиной n, и один длиной n-1. Но тогда отрезки длиной n были бы параллельны, а отрезок длиной n-1 им перпендикулярен. Но 2 отрезка длиной n разрезают квадрат на 3 полосы, ширина каждой из которых не меньше 1, поэтому самая длинная не шире, чем n-2, значит, отрезок длиной n-1 провести будет невозможно.

Все остальные 2n-2 значения числа k из интервала n+2 ≤ k ≤ 3*n возможны. Действительно, проведем линию длиной n, отрезав полосу шириной m, потом в этой полосе проведем линию длиной m, отрезав полосочку шириной 1. При m = 1 проведем еще линию длиной 1, параллельную второй, получим k = n+2. При m > 1 в полоске m·1 проведем отрезок длиной 1, получим k = n+m+1 для всех возможных m < n. Чтобы получить k > 2n, проведем две параллельные линии длиной n каждая на ширине l друг от друга, и разделим эту полоску линией длины l на 2 прямоугольника (1 ≤ l ≤ n-2). Наконец, при n > 4 можно провести 3 параллельные друг другу линии длиной n, что дает значение k = 3n.

Награды

За правильное решение задачи ММ110 Алексей Волошин, Виктор Филимоненков, Анатолий Казмерчук и Кирилл Веденский получают по 6 призовых баллов. Николай Дерюгин (он неверно сосчитал суммарные периметры при одном из способов разрезания) получает 4 призовых балла. Анна Ширяева (она прошла мимо одного из возможных способов разрезания) получает 3 призвых балла.

Эстетическая оценка задачи - 3.7 балла


 

 


Страница: [[marathon:problem_110]]

marathon/problem_110.txt · Последние изменения: 2013/09/27 11:17 (внешнее изменение)
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006