|
||||||||||||||||||
|
Содержание№118Задача о задаче (нестареющая классика на новый лад). Конкурсная задача ММ118 (7 баллов) Ведущий Математического марафона придумал задачу. Но, прежде чем помещать ее в Марафон, он решил протестировать задачу и рассказал ее своему коллеге:
- Бывшие одноклассники Петр и Николай встретились на мероприятии, посвященном 40-ю выпуска из школы, и разговорились. … И ведущий Марафона для удобства коллеги написал нужное число на бумажке и продолжил:
- Петр достал ручку и на несколько минут погрузился в вычисления…
Коллега ведущего погрузился в вычисления (более продолжительные, чем Петр из задачи). Но его комментарий, не отличался от комментария Петра: Что за число написал ведущий? Решение
Из реплики Петра следует, что искомое число (n) может быть представлено в виде произведения трех сомножителей, не превосходящих 40, с известной Петру, суммой.
Причем таких представлений более одного, но только в одном из них имеется среднее по величине число.
На основании комментария коллеги ведущего заключаем, что для искомого произведения таких сумм более одной.
Вот подходящие числа и соответствующие представления: Ответ: 3600 Обсуждение Составляя эту задачу, я то ли слишком вжился в роль путаника-ведущего, то ли просто «накаркал». Но даже количества корректив, внесенных в условие по сюжету задачи и в реальности, совпали :( :) В любом случае, я благодарен марафонцам, оперативно обратившим внимание на проколы в условии. Первая нестыковка произошла из-за прокола в программке, перебиравшей варианты, а вторая из-за той спешки, с которой я ринулся (не сразу, а лишь обнаружив дырку в программе) исправлять условие. Полагаю, что итоговый вариант получился красивее (а не только корректнее) предыдущих. Теперь задачка перекликается не только с классической задачей про номер трамвая, но и с чем-то фольклорным (или ершовским). Выбор числа 40 в качестве верхней границы возрастов сыновей Николая - довольно естественное (его выбрали практически все участники), но, все же, условное ограничение. Увеличение этой границы до до сколько-нибудь разумных пределов (вдруг Николай по два года в одном классе сидел) добавляет еще один вариант (n = 6300 (10 + 15 + 42 = 7 = 30 + 30 = 67, 15 + 15 + 28 = 12 + 21 + 25 = 58)). но не нарушает однозначности решения. И только допущение совсем уж фантастических возрастов сыновей (не менее 50 лет) приводит к дуалям. По мнению ряда марафонцев недостатком задачи является необходимость перебора. Можно по-разному организовать перебор (перебирать тройки чисел, возможные произведения, допустимые суммы), но обойтись совсем без перебора нельзя. Не думаю, что в нашу компьютерную эпоху этот недостаток существенен. И еще об одномм нюансе: Сергей Половинкин полагает, что, кроме приведенного, задачка имеет вырожденное, нулевое решение. Аргументация Сергея: Допустим, что Петр знает произведение 0 и сумму 3 или 4. В каждом из этих случаев он сначала не может выбрать из вариантов ( (0,1,2) и (0,0,3) для тройки) и ( (0,1,3), (0,2,2) и (0,0,4) для четверки), а после получения информации о наличии среднего сына выбирает единственный подходящий вариант. Соответственно, коллега ведущего не в состянии выбрать между вариантами (0,1,2) и (0,1,3). «Замена среднего сына старшим» не дает однозначности, а наличие младшего приводит к единственному варианту (0,1,2). Я не рассматривал вариант с нулевым произведением, полагая, что достаточной защитой от этого побочного варианта являются следующие моменты в условии: «ведущий Марафона для удобства коллеги написал нужное число на бумажке», «Петр достал ручку и на несколько минут погрузился в вычисления». А Алексей Волошин рассмотрел. И забраковал на основании последней реплики коллеги ведущего. Действительно, если произведение возрастов сыновей Николая равно 0, то в случае, когда Петром зовут младшего сына, коллега ведущего получит два подходящих варианта: (0,1,1) и (0,1,2), т.е. решение будет не единственно. Награды
За решение задачи ММ118 участникам начислены следующие призовые баллы:
Алексей Волошин - 8 призовых баллов; Эстетическая оценка задачи - 4.3 балла
|
|||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||
|