Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Содержание

№118

Задача о задаче (нестареющая классика на новый лад).

Конкурсная задача ММ118 (7 баллов)

Ведущий Математического марафона придумал задачу. Но, прежде чем помещать ее в Марафон, он решил протестировать задачу и рассказал ее своему коллеге:

- Бывшие одноклассники Петр и Николай встретились на мероприятии, посвященном 40-ю выпуска из школы, и разговорились.
П: Да-а… разбросала нас жизнь, 40 лет тебя не видел и ничего о тебе не слышал. А ведь раньше не разлей вода были, за одной партой сидели. Ну и как ты? Семьей обзавелся?
Н: А как же! У меня три красавца сына!
П: Ну ты даешь! И сколько же им лет?
Н: Надеюсь, ты по-прежнему любишь головоломки? Тогда догадайся сам. Сумма их возрастов равна номеру квартиры, в которой ты жил в школьные годы, а произведение возрастов равно…

… И ведущий Марафона для удобства коллеги написал нужное число на бумажке и продолжил:

- Петр достал ручку и на несколько минут погрузился в вычисления…
П: Ты знаешь, этих данных мне мало.
Н: Ах, да! Забыл добавить, что среднего я назвал в твою честь.
П: Спасибо! Теперь информации достаточно.
Сколько лет сыновьям Николая?

Коллега ведущего погрузился в вычисления (более продолжительные, чем Петр из задачи). Но его комментарий, не отличался от комментария Петра:
- Ты знаешь, этих данных мне мало - сказал он ведущему Марафона. - Ах, да! - осознал ошибку ведущий - Тогда пусть Петром зовут не среднего, а старшего сына Николая. - К сожалению, это не спасет задачу. А вот если Николай назовет Петром своего младшего сына, тогда задача будет иметь единственное решение!

Что за число написал ведущий?

Решение

Из реплики Петра следует, что искомое число (n) может быть представлено в виде произведения трех сомножителей, не превосходящих 40, с известной Петру, суммой. Причем таких представлений более одного, но только в одном из них имеется среднее по величине число. На основании комментария коллеги ведущего заключаем, что для искомого произведения таких сумм более одной. Вот подходящие числа и соответствующие представления:
n = 720 (6 + 6 + 20 = 4 + 10 + 18 = 32, 6 + 8 + 15 = 5 + 12 + 12 = 29);
n = 1008 (6 + 6 + 28 = 3 + 16 + 21 = 40, 8 + 9 + 14 = 7 + 12 + 12 = 31);
n = 2800 (8 + 14 + 25 = 7 + 20 + 20 = 47, 10 + 10 + 28 = 7 + 16 + 25 = 48);
n = 2880 (6 + 15 + 32 = 5 + 24 + 24 = 53, 12 + 12 + 20 = 10 + 16 + 18 = 44);
n = 3600 (10 + 10 + 36 = 6 + 20 + 30 = 56, 10 + 15 + 24 = 9 + 20 + 20 = 12 + 12 + 25 = 49);
n = 5760 (12 + 12 + 40 = 8 + 20 + 36 = 64, 12 + 16 + 30 = 10 + 24 + 24 = 58);
n = 7200 (10 + 18 + 40 = 8 + 30 + 30 = 68, 15 + 15 + 32 = 12 + 20 + 30 = 62).
В шести из семи перечисленных случаев корректировка условия, предложенная ведущим, спасает задачу:
При n = 720 информация о наличии старшего позволяет Петру однозначно определить возрасты (6, 8, 15), только если номер квартиры был 29. Аналогично при n = 1008 ответ - 8, 9, 14;
при n = 2800 - 8, 14, 25;
при n = 2880 - 6, 15, 32;
при n = 5760 - 12, 16, 30;
при n = 7200 - 10, 18, 40.
И лишь в случае, когда n = 3600, информация о наличии старшего не позволит Петру выбрать единственный вариант. В то же время, если среди сыновей будет младший, то только при 56-м номере квартиры Петр (а вслед за ним и коллега ведущего) смогут однозначно определить возрасты - 6, 20 и 30.

Ответ: 3600

Обсуждение

Составляя эту задачу, я то ли слишком вжился в роль путаника-ведущего, то ли просто «накаркал». Но даже количества корректив, внесенных в условие по сюжету задачи и в реальности, совпали :( :) В любом случае, я благодарен марафонцам, оперативно обратившим внимание на проколы в условии. Первая нестыковка произошла из-за прокола в программке, перебиравшей варианты, а вторая из-за той спешки, с которой я ринулся (не сразу, а лишь обнаружив дырку в программе) исправлять условие. Полагаю, что итоговый вариант получился красивее (а не только корректнее) предыдущих. Теперь задачка перекликается не только с классической задачей про номер трамвая, но и с чем-то фольклорным (или ершовским).

Выбор числа 40 в качестве верхней границы возрастов сыновей Николая - довольно естественное (его выбрали практически все участники), но, все же, условное ограничение. Увеличение этой границы до до сколько-нибудь разумных пределов (вдруг Николай по два года в одном классе сидел) добавляет еще один вариант (n = 6300 (10 + 15 + 42 = 7 = 30 + 30 = 67, 15 + 15 + 28 = 12 + 21 + 25 = 58)). но не нарушает однозначности решения. И только допущение совсем уж фантастических возрастов сыновей (не менее 50 лет) приводит к дуалям.

По мнению ряда марафонцев недостатком задачи является необходимость перебора. Можно по-разному организовать перебор (перебирать тройки чисел, возможные произведения, допустимые суммы), но обойтись совсем без перебора нельзя. Не думаю, что в нашу компьютерную эпоху этот недостаток существенен.

И еще об одномм нюансе: Сергей Половинкин полагает, что, кроме приведенного, задачка имеет вырожденное, нулевое решение. Аргументация Сергея: Допустим, что Петр знает произведение 0 и сумму 3 или 4. В каждом из этих случаев он сначала не может выбрать из вариантов ( (0,1,2) и (0,0,3) для тройки) и ( (0,1,3), (0,2,2) и (0,0,4) для четверки), а после получения информации о наличии среднего сына выбирает единственный подходящий вариант. Соответственно, коллега ведущего не в состянии выбрать между вариантами (0,1,2) и (0,1,3). «Замена среднего сына старшим» не дает однозначности, а наличие младшего приводит к единственному варианту (0,1,2). Я не рассматривал вариант с нулевым произведением, полагая, что достаточной защитой от этого побочного варианта являются следующие моменты в условии: «ведущий Марафона для удобства коллеги написал нужное число на бумажке», «Петр достал ручку и на несколько минут погрузился в вычисления». А Алексей Волошин рассмотрел. И забраковал на основании последней реплики коллеги ведущего. Действительно, если произведение возрастов сыновей Николая равно 0, то в случае, когда Петром зовут младшего сына, коллега ведущего получит два подходящих варианта: (0,1,1) и (0,1,2), т.е. решение будет не единственно.

Награды

За решение задачи ММ118 участникам начислены следующие призовые баллы: Алексей Волошин - 8 призовых баллов;
Александр Ларин, Сергей Половинкин, Дмитрий Пашуткин, Эдвард Туркевич и Анатолий Казмерчук - по 7 баллов;
Николай Дерюгин - 6 баллов.
В этих оценкеах учтены, как поощрительные баллы за «своевременные сигналы», так и вычеты за некоторые шероховатости в решении.

Эстетическая оценка задачи - 4.3 балла


 

 


Страница: [[marathon:problem_118]]

marathon/problem_118.txt · Последние изменения: 2012/12/07 11:21 (внешнее изменение)
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006