Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Содержание

№124

Конкурсная задача ММ124 (4 балла)

Пусть Sn = 2 + 3 + 5 + 7 +…+ pn - сумма n первых простых чисел. Доказать, что Sn является простым тогда и только тогда, когда существует такое простое число q, что Sn + q кратно 2, 3, 5, …, pn.

Решение

Приведу решение Виктора Филимоненкова.

1. Пусть такое число q для Sn существует. Тогда Sn не делится ни на одно из чисел 2, 3, …, pn. Действительно, если Sn = p*b, где p - одно из первых n простых, и Sn + q кратно p, то и q кратно p, а поскольку q простое, то q = p. Тогда Sn + q = p*(b+1) - делится на 2*3*…*pn, в то время как pb = 2+3+…+pn. То есть сумма n чисел, не меньших 2, лишь на одно слагаемое меньше их произведения, что для суммы первых простых чисел, очевидно, не верно начиная с S3 (для S1 и S2 утверждение доказывается непосредственно).

Но раз Sn не делится на 2, 3, …, pn, то оно простое. Действительно, Sn < n*pn, а поскольку n < pn, то Sn не делится на все простые, меньшие квадратного корня из Sn, то есть простое.

2. Пусть, наоборот, Sn простое. Покажем, что простое q существует. Рассмотрим арифметическую прогрессию с первым членом -Sn и разностью 2*3*…*pn. Поскольку Sn простое, то оно взаимно просто с 2*3*…*pn, и значит в этой прогрессии, по теореме Дирихле, есть бесконечное количество простых чисел. Любое из них годится в качестве q.

Обсуждение

Для меня было неожиданностью, что ряд опытных, искушенных марафонцев испытывали некоторые затруднения при решении этой, на мой взгляд, простой задачи. (Конечно, теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии - утверждение нетривиальное. Но зато широко известное :)). При желании, я мог придраться к большему числу решений. Читая утверждения типа «составное число, меньшее p2, не может иметь делителей, больших p», я был близок к «кровопролитию». Но сдержался :)

В OEIS последовательность простых Sn представлена под номером A013918.

Интересно, конечно ли множество n, для которых Sn просто. Интуиция подсказывает, что:
1) бесконечно;
2) доказательство первого пункта нетривиально :)

Награды

За правильное решение этой задачи Виктор Филимоненков, Эдвард Туркевич, Анатолий Казмерчук, Алексей Волошин и Mathusic получают по 4 призовых балла. Сергей Половинкин, Николай Дерюгин и Евгений Машеров получают по 2 призовых балла.

Эстетическая оценка задачи 4.3


 

 


Страница: [[marathon:problem_124]]

marathon/problem_124.txt · Последние изменения: 2018/09/30 22:39 — letsko
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006