Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Содержание

ММ14

Конкурсная задача ММ14 (4 балла)

Какой наименьший порядок может иметь подгруппа группы аффинных преобразований плоскости, содержащая хотя бы одно преобразование, отличное от движения?

Примечание
Напомню, что движением плоскости называется ее преобразование (т.е. биективное отображение на себя), сохраняющее расстояние. Иными словами, расстояние между любыми двумя точками плоскости равно расстоянию между образами этих точек. Аффинным называется преобразование плоскости, сохраняющее прямолинейность. Иными словами, при аффинном преобразовании образы трех точек, лежащих на одной прямой, снова лежат на одной прямой.

Решение

Ясно, искомая подгруппа должна содержать более одного элемента, поскольку тождественное преобразование (нейтральный элемент группы) является движением.
Оказывается, что двух элементов уже хватает. Иными словами, существуют инволютивные (обратные к себе) аффинные преобразования плоскости, отличные от движений. Таковыми являются композиции осевой симметрии и сдвига вдоль оси симметрии. При подходящем выборе системы координат такие преобразования задаются формулами:
x' = x + ay
y' = -y
В том, что такое преобразование в совокупности с тождественным образует группу, легко убедиться непосредственной проверкой.

Обсуждение

Данную задачу просто решить, отвлекшись от ее геометрического содержания. Ясно, что исходная задача равносильна такой: Существуют ли матрицы, отличные от ортогональных (ортогональные матрицы соответствуют движениям), квадрат которых равен единичной матрице? Матрицы описанных выше преобразований будут удовлетворять матричному уравнению X2 = E (X и Е - квадратные 2х2 матрицы). Это уравнение имеет и другие нетривиальные (несоответствующие движениям) решения. Например, годится растяжение вдоль оси абсцисс с одновременным сжатием во столько же раз вдоль оси ординат, с поворотом на 90 градусов и осевой симметрией.

Награды

На эту задачу был получен единственный отклик. К сожалению, его автор (Борис Бух) перенес известный аффинный инвариант (коэффициент изменения площади) с площадей на расстояния, что и привело его к неверному выводу о бесконечности всякой подгруппы аффинной группы, содержащей преобразования, отличные от движений. Борис Бух получает один призовой балл.


 

 


Страница: [[marathon:problem_14]]

marathon/problem_14.txt · Последние изменения: 2018/11/22 23:35 — letsko
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006