|
||||||||||||||||||
|
СодержаниеММ14Конкурсная задача ММ14 (4 балла) Какой наименьший порядок может иметь подгруппа группы аффинных преобразований плоскости, содержащая хотя бы одно преобразование, отличное от движения?
Примечание Решение
Ясно, искомая подгруппа должна содержать более одного элемента, поскольку тождественное преобразование (нейтральный элемент группы) является движением. Обсуждение Данную задачу просто решить, отвлекшись от ее геометрического содержания. Ясно, что исходная задача равносильна такой: Существуют ли матрицы, отличные от ортогональных (ортогональные матрицы соответствуют движениям), квадрат которых равен единичной матрице? Матрицы описанных выше преобразований будут удовлетворять матричному уравнению X2 = E (X и Е - квадратные 2х2 матрицы). Это уравнение имеет и другие нетривиальные (несоответствующие движениям) решения. Например, годится растяжение вдоль оси абсцисс с одновременным сжатием во столько же раз вдоль оси ординат, с поворотом на 90 градусов и осевой симметрией. Награды На эту задачу был получен единственный отклик. К сожалению, его автор (Борис Бух) перенес известный аффинный инвариант (коэффициент изменения площади) с площадей на расстояния, что и привело его к неверному выводу о бесконечности всякой подгруппы аффинной группы, содержащей преобразования, отличные от движений. Борис Бух получает один призовой балл.
|
|||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||
|