Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Содержание

147

Конкурсная задача ММ147 (КГ13) (6 баллов)

Какое наименьшее число внутренних диагоналей может иметь n-угольник, у которого ровно один угол больше развернутого?

Решение

Воспользуюсь чертежом Анатолия Казмерчука:

:marathon:mm_147.jpg

Размеcтив вершину An внутри треугольника, образованного стороной AsAs+1 и диагоналями As-1As+1, AsAs+2, добьемся максимального для данного s числа диагоналей, не являющихся внутренними. Ясно, что внутренними будут диагонали AsAn, As-1An, а также диагонали выпуклых многоугольников, A1A2…AsAn и As+1As+2…An-1An. Число диагоналей, не являющихся внутренними, будет наибольшим, когда количества вершин от A1 до As и от As+1 до An-1 будут равны или максимально близки между собой (произведение целых положительных сомножителей с постоянной суммой максимально, когда сомножители максимально близки между собой). При нечетных n и s = (n-1)/2 получим 2(s+1)(s-2)/2+2 = (n-1)(n-3)/4. При четных n и s = n/2 наименьшее число внутренних диагоналей будет (s+1)(s+3)/2+s(s-2)/2+2 = (n-2)2/4.

Обсуждение

Тот же ответ можно получить, вычитая из общего число диагоналей исходного многоугольника число диагоналей, не являющихся внутренними.

Замечу, что среди диагоналей, не являющихся внутренними, одна (на рисунке это A1An-1 обязательно является внешней. Но внешних диагоналей может быть и более одной. Впрочем, на ход решения и ответ это обстоятельство никак не влияет. Оба ответа можно объединить в один. Например, так: (n2-4n+3+(n+1) mod 2)/4.

Награды

За правильное решение задачи ММ147 Анатолий Казмерчук, Виктор Филимоненков, Алексей Волошин, Сергей Половинкин, Николай Дерюгин и Дмитрий Пашуткин получают по 6 призовых баллов. Александр Ларин получает 5, а Кирилл Веденский - 3 призовых балла.

Эстетическая оценка - 4.4 балла

Разбор задачи ММ147 подготовил Владимир Лецко


 

 


Страница: [[marathon:problem_147]]

marathon/problem_147.txt · Последние изменения: 2014/05/10 11:06 — letsko
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006