|
||||||||||||||||||
|
Содержание157Kонкурсная задача ММ157 (6 баллов) В треугольнике ABC, отличном от прямоугольного, проведены высоты AE и CF, пересекающиеся в точке H. Через точки A и H проведены перпендикуляры к EF, пересекающие прямую BC в точках K и L. Найти KL, если радиус окружности, вписанной в треугольник ABC равен r, а BC = a. Решение Приведу решение Алексея Волошина:
Имеют место следующие равенства:
KL/KE = AH/AE (1) После этого ответ находится совсем просто: KE=KL·AH/AE = AH·KE/AE = AH·CF/AF = CF·AH/AF = CF·AB/AE = AE·BC/AE = BC = a. Обсуждение Автору задачи (т.е. мне) и большинству участников задача приглянулась тем, что искомая величина однозначно определена всего одним параметром, хотя, на первый взгляд, это совершенно не очевидно. Большинство конкурсантов привели решения, либо схожие с приведенным, либо средствами аналитической геометрии. На этом фоне выделяется решение, присланное сразу после опубликования задачи. Его автор - nnosipov Некоторые марафонцы задались вопросом (у наиболее проницательных вопросов не возникло): зачем в условии дан радиус вписанной окружности, от которого ответ никак не зависит (разве что r будет слишком велико по сравнению с a). Отвечаю: для запутывания «вероятного противника». Впрочем, вынужден признать, что затея провалилась. Что будет, если исходный треугольник прямоугольный? Если угол C прямой, то решение останется в силе. только станет значительно проще (KL совпадет с BC). Если угол B прямой, то точки E, F, H и B совпадают и отрезок KL не определен. Если же прямым будет угол A, точки A и H совпадают, а препендикуляр к EF не пересекается с BC. Награды За правильное решение задачи ММ157 Виктор Филимоненков, Олег Полубасов, Сергей Половинкин, Алексей Волошин, nnosipov, Дмитрий Пашуткин, Николай Дерюгин и Анатолий Казмерчук получают по 6 призовых баллов. Эстетическая оценка - 4.9 балла Разбор задачи ММ157 подготовил Владимир Лецко
|
|||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||
|