Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Содержание

ММ16

Конкурсная задача ММ16 (8 баллов)

Эта задача перекликается с задачей ММ15
Вновь рассматриваются перестановки множества {1,2,…n}.
Назовем перестановку правильной, если она не оставляет на месте ни одного элемента множества {1,2,…n}. Сколько существует правильных перестановок для n=20?

Решение

Рассмотрим количество правильных перестановок n-элементного множества R(n) для небольших значений n:
R(1) = 0
R(2) = 1
R(3) = 2
R(4) = 9
R(5) = 44
R(6) = 265.

Легко увидеть следующую рекуррентную формулу для r(n):
R(n) = nR(n-1) + (-1)n (1)

Однако доказать эту формулу не так просто. Поэтому мы применим несколько иной подход к вычислению R(n).
Введем в рассмотрение еще одну функцию - r(n,i), определяемую как количество перестановок n-элементного множества, переставляющих ровно i элементов.
Ясно, что r(n,i) = C(n,i)R(i).

Суммируя по всем i, получим: n! = sum{i=0}{n-1}{C(n,i)R(i)} (2)

Отсюда R(n) = n! - sum{i=0}{n-1}{C(n,i)R(i)}

И мы нашли приемлемую формулу для R(n).

Применив ее к n=20, получим R(20) = 895014631192902121.

Обсуждение

Обращая формулу (2), можно получить следующее выражение для R(n):

R(n) = n! sum{i=0}{n-1}(-1){i}/{i!} (3)

Подставляя выражения для R из (3), в формулу (1) не трудно убедиться в ее справедливости.
Видно, что с ростом n второй сомножитель в (3) стремится к 1/e. Оценивая хвост ряда, не участвующий в (3), можно показать, что R(n) есть n!/e, округленное до ближайшего целого.

перестановки, которые в условии ММ16 называются «правильными», обычно называют «беспорядками». Подробнее про них можно почитать в книжке: Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник «Конкретная математика».

Награды

За правильное решение (узнавание) этой задачи Борис Бух получает 8 призовых баллов.


 

 


Страница: [[marathon:problem_16]]

marathon/problem_16.txt · Последние изменения: 2015/10/05 20:27 — letsko
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006