Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Содержание

MM162

Конкурсная задача ММ162 (РК-2)[/color] (4 балла)

По мотивам задачи ММ94

Пару различных натуральных чисел a и b назовем похожими, если φ(a)=φ(b), σ(a)=σ(b), τ(a)=τ(b), где φ(n), σ(n) и τ(n), соответственно функция Эйлера, сумма и число натуральных делителей числа n (см. разбор ММ94). Существуют ли похожие числа a и b такие, что τ(a)=τ(b)=4?

Решение

Значение функции τ(n) может равняться 4 в двух случаях: когда n - есть произведение двух различных простых чисел; когда n - куб простого числа. Ясно, что два различных похожих числа не могут одновременно быть кубами простых чисел. Пусть a и b - похожие числа и a=pq, b=rs, где p,q,r,s - различные простые числа. Тогда σ(a)=σ(b) ⇒ pq+p+q=rs+r+s и φ(a)=φ(b) ⇒ pq-p-q=rs-r-s. Следовательно, pq=rs и p+q=r+s. Т.е. пары чисел p,q и r,s должны быть корнями одного и того же квадратного уравнеия, откуда следует, что a и b совпадают. Наиболее содержателен случай, когда a=pq, b=r3. Имеем: pq+p+q=r3+r2+r и pq-p-q=r3-r2-1. Остюда 4pq=4r3+2r-2, 2(p+q)=2r2+r+1, то есть 2p и 2q должны быть корнями уравнения x2-(2r2+r+1)x+4r3+2r-2=0. Дискриминант этого уравнения D=4r4-12r3+5r2-6r+9 должен быть полным квадратом. Но при r>4 имеем (2r2-3r-2)2<D<(2r2-3r-1)2 и не может быть полным квадратом. Остается проверить случаи r=2, r=3. В первом случае уравнение не имеет натуральных корней. Во втором в качестве пары (p, q) получаем пару (4,7). которая, естественно, тоже не подходит, поскольку одно из чисел не простое.

Таким образом, подходящих пар похожих чисел нет.

Обсуждение

Задача казалась мне достаточно простой. Большинство присланных решений (в целом совпадающих с приведенным выше) вроде бы подтверждают этот вывод. Но… Парочка решений оказались менее прозрачными. А еще два участника, отозвавшихся на первую задачу тура, не прислали решений вовсе. Так что. с ММ162, по-видимому не все так просто.

Награды

За правильное решение задачи ММ162 Алексей Волошин, Виктор Филимоненков, Олег Полубасов, Сергей Половинкин, Евгений Гужавин и Анатолий Казмерчук получают по 4 призовых балла.

Эстетическая оценка задачи - 4.5 балла


 

 


Страница: [[marathon:problem_162]]

marathon/problem_162.txt · Последние изменения: 2012/09/23 20:10 (внешнее изменение)
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006