Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Содержание

163

Конкурсная задача ММ163 (РК-3) (5 баллов)

По мотивам задачи ММ94 (и ММ162)

Пару похожих чисел a и b назовем s-парой, если a = spq, b=s3r, где p, q, r, s - попарно различные простые числа. Проверить истинность каждого из следующих утверждений:
1. Для каждого простого s найдется хотя бы одна s-пара.
2. Для некоторых простых s существует более одной s-пары.
3. Для каждого простого s число s-пар конечно.

Решение

Из условий φ(a)=φ(b) и σ(a)=σ(b) получаем pq-p-q = s2(r-1)-1 и pq+p+q = (s2+1)r+s2. Откуда 2qp = (2s2+1)r-1 и 2(p+q) = r+2s2+1. Обозначим c=2s2+1. Тогда r=2(p+q)-c, а p=c+(c2-1)/2(q-c). Из последнего соотношения сразу следует конечность числа s-пар для фиксированного s. Кроме того, у нас получился эффективный способ нахождения всех s-пар для данного s. Достаточно рассмотреть разложения числа (c2-1)/2 на два четных множителя и проверить на простоту возникающие p,q,r. Легко убедиться, что при многих значениях s (наименьшее из них 11) не существует ни одной s-пары. В тоже время, при s=593 имеется сразу 2 s-пары (593⋅381187517⋅703949,5933⋅763079633) и (593⋅3911429⋅780389,5933⋅8680337).

Таким образом, первое из утверждений ложно, а остальные два истинны.

Обсуждение

При s=2 получаем s-пару (638,568). Эта пара (рассмотренная в ММ94) - наименьшая пара похожих чисел. Я нашел все s-пары, в которых s не превышает миллиона. Их оказалось 1381. Для 34-х значений s нашлось по две s-пары, а для s=853693 - целых три s-пары.

Из приведенной статистики видно, что для большинства проверенных простых s s-пар не существует. В тоже время, я полагаю, что существует бесконечно много s-пар. Я, собственно, и затевал рассмотрение s-пар в надежде доказать, что их бесконечно много и, тем самым, доказать бесконечность множества примитивных пар похожих чисел. Но пока вопрос о бесконечности числа примитивных пар остается открытым.

Отмечу, похожие числа - совсем не редкость. При обсуждении задачи ММ94 я писал, что мне не известно ни одной тройки похожих чисел. А затем радовался, найдя пару таких троек. На самом деле достаточно легко отыскать (или все же сконструировать?) не только тройки, но и четверки, пятерки etc похожих чисел. В прилагаемых файлах приведено :1096 и 4096 похожих чисел. Мне почему-то кажется, что и это не предел :-)

Награды

За правильное решение задачи ММ163 Алексей Волошин,Олег Полубасов и Анатолий Казмерчук получают по 5 призовых баллов. Виктор Филимоненков и Евгений Гужавин получают по 4 призовых балла, Сергей Половинкин - 3 призовых балла.

Эстетическая оценка задачи - 4.8 балла


 

 


Страница: [[marathon:problem_163]]

marathon/problem_163.txt · Последние изменения: 2020/02/27 11:07 — letsko
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006