|
||||||||||||||||||
|
СодержаниеММ172Конкурсная задача ММ172 (А-2) (5 баллов) Доказать, что существует бесконечно много хитовых abc-троек, таких что c является степенью пятерки.
Примечание:
Тройка натуральных чисел a,b,c называется хитовой abc-тройкой, если a+b = c, GCD(a,b) = 1 и c > rad(abc). Решение
Построим требуемые хитовые тройки с помощью пифагоровых. Обсуждение
Достаточно легко получить и другие бесконечные множества хитовых троек, которых c является степенью пятерки:
(a=1, b=54k/sup>-1), c=5<sup>4k/sup>; Многие марафонцы отметили, что пятерка не является уникальным числом: присланные ими решения позволяют строить аналогичные множества хитовых троек и для степеней других чисел. Приведенное выше решение также допускает подобное обобщение. Например, положив a0=3, b0=2, можно получить бесконечно много хитовых троек, у которых c будет степенью числа 13. Награды За правильное решение задачи ММ172 Сергей Половинкин, Алексей Волошин, Виктор Филимоненков, Олег Полубасов, Анатолий Казмерчук, Кирилл Веденский и Алексей Извалов получают по 5 призовых баллов. Николай Дерюгин получает 4 призовых балла. Эстетическая оценка задачи - 4.6 балла
|
|||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||
|