Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Содержание

ММ19

Конкурсная задача ММ19 (6 баллов)

Функция f(x) задана кусочно по правилу:
f(x) = 4x+4 при x ≤ -1;
f(x) = 0 при -1 < x ≤ 1;
f(x) = x-1 при 1 < x ≤ 2;
f(x) = 3-x при x > 2.

Задать f(x) с помощью одного выражения, используя только знаки арифметических действий и абсолютной величины (разумеется значок 'x' и числовые коэффициенты тоже можно использовать).

Решение

Будем искать ответ в виде:
f(x) = a|x+1| + b|x-1| + c|x-2| + dx + e

Снимая знаки абсолютной величины на каждом из четырех промежутков, на которые делят числовую ось точки -1, 1 и 2, получим систему:
-a - b - c + d = 4
-a + b + 2c + e = 4
a - b - c + d = 0
a + b + 2c + e = 0
a + b - c + d = 1
a - b + 2c + e = -1
a + b + c + d = -1
a - b - 2c + d = 3

Несмотря на переопределенность (8 уравнений и всего 5 неизвестных) система имеет решение:
a = -2, b = 0.5, c = -1, d = 1.5, c = 3.5

Таким образом, у функции f(x) = -2|x+1| + 0.5|x-1| - |x-2| + 1.5x + 3.5 требуемый график.

Обсуждение

Может показаться, что задача имеет решение описанного вида, благодаря специальному подбору графика (ведь переопределенные системы чаще всего неразрешимы).
Однако это не так.
Для всякой n-звенной ломаной без вертикальных участков будет существовать функция вида:
f(x) = a1|x-x1| + … + an-1|x-xn-1| + anx+ an+1.
То есть, соответствующая система от n+1 неизвестных из 2n уравнений будет разрешима.

Дело в том, что мы задаем именно ломаную, а не n отдельных отрезков. Поэтому можно найти и угловой коэффициент и свободный член, например, только для первого участка, а для остальных ограничиться находением угловых коэффициентов. Иными словами, из 2n уравнений можно оставить всего n+1, например, все уравнения с нечетными номерами (они соответствуют угловым коэффициентам участков ломаной) и второе уравнение. Остальные уравнения будут следствиями указанных.

Разумеется, задача имеет не только приведенное выше решение, но и бесконечное множество других.
Например, f(x) = x + 4 - |x-2| - |1,5x + 2.5 - 0.5|x-1||.

Еще более накрученное решение придумал Андрей Бежан:
f(x) = (2x + 2.5 - 2|x+1| + 0.5|x-1| - 0.5|x-2|)(2 - 0.5x - 0.5|x-2|)
Как ни странно, эта формально квадратичная функция имеет графиком нужную ломаную.

Награды

За правильное решение этой задачи Дмитрий Максимов, Макс Алексеев, Андрей Бежан и Владимир Трушков получают по 6 призовых баллов.


 

 


Страница: [[marathon:problem_19]]

marathon/problem_19.txt · Последние изменения: 2015/10/07 12:09 — letsko
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006