|
||||||||||||||||||
|
СодержаниеММ19Конкурсная задача ММ19 (6 баллов)
Функция f(x) задана кусочно по правилу: Задать f(x) с помощью одного выражения, используя только знаки арифметических действий и абсолютной величины (разумеется значок 'x' и числовые коэффициенты тоже можно использовать). Решение
Будем искать ответ в виде:
Снимая знаки абсолютной величины на каждом из четырех промежутков, на которые делят числовую ось точки -1, 1 и 2, получим систему:
Несмотря на переопределенность (8 уравнений и всего 5 неизвестных) система имеет решение: Таким образом, у функции f(x) = -2|x+1| + 0.5|x-1| - |x-2| + 1.5x + 3.5 требуемый график. Обсуждение
Может показаться, что задача имеет решение описанного вида, благодаря специальному подбору графика (ведь переопределенные системы чаще всего неразрешимы). Дело в том, что мы задаем именно ломаную, а не n отдельных отрезков. Поэтому можно найти и угловой коэффициент и свободный член, например, только для первого участка, а для остальных ограничиться находением угловых коэффициентов. Иными словами, из 2n уравнений можно оставить всего n+1, например, все уравнения с нечетными номерами (они соответствуют угловым коэффициентам участков ломаной) и второе уравнение. Остальные уравнения будут следствиями указанных.
Разумеется, задача имеет не только приведенное выше решение, но и бесконечное множество других.
Еще более накрученное решение придумал Андрей Бежан: Награды За правильное решение этой задачи Дмитрий Максимов, Макс Алексеев, Андрей Бежан и Владимир Трушков получают по 6 призовых баллов.
|
|||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||
|