Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Содержание

ММ195

Конкурсная задача ММ195 (7 баллов)

Доказать, что для любого натурального числа n, найдется натуральное m, такое что существует не менее n треугольников с целочисленными сторонами и медианой m.

Решение

Приведу решения Дмитрия Пашуткина (наиболее типичное), Константина Хадаева (тоже очень короткое) и Олега Полубасова (с оценками зависимости между n и m).

Решение Константина Хадаева:
Рассмотрим прямоугольный пифагоров треугольник со сторонами 2ab, a2-b2, a2+b2, медиана равна (a2+b2)/2. Поэтому достаточно, чтобы 2m представлялось в виде суммы квадратов достаточно большим числом способов. Известно, что если N=2p1…pk, где pi == 1 mod 4, то количество представлений равно 2k-1, что можно сделать сколь угодно большим, поскольку простых вида 4t+1 бесконечно много.

Обсуждение

Почему эта достаточно простая задача оценена в 7 баллов? Дело в том, что изначально я планировал указать в формулировке, что треугольники должны быть разносторонними. Но (как со мной это нередко бывает) забыл. Я хотел было уточнить условие, но тут поступило решение Константина Хадаева, которое, с было весьма простым, но не опиралось на равнобедренные треугольники (хотя, по сути, решение Константина, как большинство присланных решений опирается на рассмотрение пифагоровых троек). После этого менять условие не имело смысла. Любопытно, что большинство участников для получения требуемого результата обошлись не просто пифагоровыми тройками, а тройками, в которых один из катетов - степень двойки. В решении Антона Никонова по сути рассмотрены случаи d=2 и d=4 из решения Олега Полубасова.

Последовательность из решения Олега Полубасова безусловно должна попасть в OEIS. Предлагаю Олегу добавить ее туда. В противном случае сделаю это сам.

Награды

За углубленное решение задачи ММ195 Олег Полубасов получает 10 призовых баллов, Антон Никонов - 9 призовых баллов. За правильное решение задачи Константин Хадаев, Виктор Филимоненков, Ариадна, Дмитрий Пашуткин, Анатолий Казмерчук и Сергей Половинкин - получают по 7 призовых баллов.

Эстетическая оценка задачи - 4.5 балла


 

 


Страница: [[marathon:problem_195]]

marathon/problem_195.txt · Последние изменения: 2014/10/11 16:49 — letsko
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006