Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Содержание

ММ216

Конкурсная задача ММ216 (10 баллов)

Назовем натуральное число n красивым, если наименьшее натуральное число, имеющее ровно n натуральных делителей, кратно n.
1. Доказать, что все праймориалы красивы.
2. Верно ли, что все факториалы красивы?
3. Сколько существует красивых чисел вида k7, где k - некоторое натуральное число?
4. Сколько существует красивых чисел вида 7k, где k - некоторое натуральное число?

Решение

Привожу решения Олега Полубасова и Владислава Франка.

Обсуждение

Ход 22-го марафонского турнира все более напоминает картину предыдущего: достаточно дружный старт, а к середине начинается выпадение участников. Остается надеяться, что на этот раз к заключительным задачам притормозившие марафонцы вернутся на дистанцию. Основание для таких надежд есть - ведь все последующие задачи опять про приглянувшиеся большинству марафонцев многогранники.

Так или иначе, на ММ216 получено всего 4 решения. А обоснованный ответ на все пункты задачи имеется и вовсе в двух из них. Соглашусь, что аккуратные обоснования немного (а если пойти длинным путем то и весьма) муторны. В то же время, для меня было удивительно, что даже бывалые, искушенные участники (не все, но и не один) не заметили, что в качестве 7-х степеней годятся 14-е, 21-е etc., тем самым, резко усложнив для себя 3-й пункт задачи.

Отмечу, что факториалы степеней двойки (и последующих чисел вплоть до первого простого) не являются красивыми, начиная 8!, даже если предшествующее степени двойки число является простым числом Мерсенна (как собственно и происходит для 8). Вообще, среди факториалов довольно много некрасивых (в первой тысяче, например, 345) и это совсем не обязательно числа из диапазона [2k..p<pm-1], где p<pm-1<2k<pm.

Красивых чисел не было в OEIS. Я восполнил этот пробел - A262981. (а Антон Никонов дополнил, то что я восполнил.) Назовем наименьшее натуральное число, имеющее ровно n делителей, родительским для n (буду благодарен тому, кто предложит более удачное название). Такие числа приведены в A005179.
Антон Никонов высказал два предположения:
1. Стартуя с произвольного натурального числа и переходя к родительскому, мы рано или поздно доберемся до красивого числа.
Например, 7 → 64 → 7560, и мы пришли к красивому числу.
2. Родительское число красивого числа само красиво.

Исходя из этих предположений Антон ввел примитивные красивые числа: 1,2,6,8,9,18,20,30,45,…

Формулируя ММ216, я надеялся, что получу не предположения 1 и 2, а доказанные утверждения 1 и 2. Увы… :-( Несмотря на отсутствие доказательства, 1-я гипотеза не вызывает у меня ни малейших сомнений, а вторая кажется весьма правдоподобной.

Еще одно предположение: произведение взаимно простых красивых чисел красиво.

Награды

За решение и обобщение задачи мм216 участникам начислены следующие призовые баллы:
Олег Полубасов - 13:
Владислав Франк - 11;
Антон Никонов - 9;
Анатолий Казмерчук - 6;

Эстетическая оценка задачи - 4.4 балла


 

 


Страница: [[marathon:problem_216]]

marathon/problem_216.txt · Последние изменения: 2016/12/11 11:50 — letsko
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006