Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+===== ММ231 =====
+**Конкурсная задача ММ231**  (4 балла)
+На сторонах AB, BC и AC египетского треугольника ABC выбрали точки C<sub>1</sub>, A<sub>1</sub> и B<sub>1</sub> соответственно. Оказалось, что треугольники AB<sub>1</sub>C<sub>1</sub>, BC<sub>1</sub>A<sub>1</sub> и CA<sub>1</sub>B<sub>1</sub> равновелики. Какую часть площади ABC составляет площадь треугольника A<sub>1</sub>B<sub>1</sub>C<sub>1</sub> при условии, что последний - прямоугольный?
+**Решение**
+Привожу решения {{:marathon:guzhavine_mm231.pdf|Евгения Гужавина}} и {{:marathon:kazmerchuk_mm_231.docx|Анатолия Казмерчука}}. А также набросок авторского решения.
+Пусть AC = 3, BC = 4, AB = 5.
+Введем обозначения как на рис. 1
+{{ :marathon:mm231.png |}}
+Из равновеликости треугольников AB<sub>1</sub>C<sub>1</sub>, BC<sub>1</sub>A<sub>1</sub> и CA<sub>1</sub>B<sub>1</sub> следует, что 5x(3-z)=3y(4-x)=4z(5-y). Отсюда, x=4z/3, y=5z/3 или 12/(3-z), y=5(3-z)/z. Второе решение не подходит, т.к. при всех допустимых z (0<z<3) дает недопустимые x.\\
+Таким образом, равенство площадей треугольников AB<sub>1</sub>C<sub>1</sub>, BC<sub>1</sub>A<sub>1</sub> и CA<sub>1</sub>B<sub>1</sub> равносильно тому, что точки A<sub>1</sub>, B<sub>1</sub> и C<sub>1</sub> делят стороны исходного треугольника в одном и том же отношениии.\\
+Пусть теперь угол C<sub>1</sub> - прямой. Приравнивая к 0 скалярное произведение векторов A<sub>1</sub>C<sub>1</sub> и B<sub>1</sub>C<sub>1</sub>, получим z=3/2 или z=48/25. Первое значение соответствует тривиальному случаю треугольника из средних линий и приводит к отношению площадей 1/4. Второй случай (именно он приведен на рис.1) приводит к отношению 193/625.\\
+Если вершиной прямого угла является B<sub>1</sub>, то z=0 или z=21/23. Первое значение не подходит, а второе приводит к отношению площадей 193/529.\\
+Наконец, если вершиной прямого угла является A<sub>1</sub>, то оба значения z=3 и z=27/2 не входят в область допустимых значений.
+**Обсуждение**
+Первая задача XXIV Марафонского конкурса не вызвала особых затруднений у участников (по крайней мере, у тех из них, кто прислал решения).
+Правда, у одного из участников возникли сомнения в том, что указанными тремя случаями исчерпываются все решения. Полагаю, разбор приведенных решений рассеет эти сомнения (ну или увеличит число сомневающихся).\\
+Любопытно, что некоторые участники, даже решив задачу, не заметили (или не отметили?), что равновеликость треугольников AB<sub>1</sub>C<sub>1</sub>, BC<sub>1</sub>A<sub>1</sub> и CA<sub>1</sub>B<sub>1</sub> равносильна тому, что точки A<sub>1</sub>, B<sub>1</sub> и C<sub>1</sub> делят стороны исходного треугольника в одном и том же отношении. Другим "незаметным фактом", стало подобие исходного треугольника и прямоугольного треугольника A<sub>1</sub>B<sub>1</sub>C<sub>1</sub>.
+Как верно отмечено в приведенных решениях, оба этих свойства справедливы для любых прямоугольных треугольников (прочие треугольники никто не исследовал).
+**Награды**
+За решение задачи ММ231 участники Марафона получают следующие призовые баллы:\\
+Евгений Гужавин - 6;\\
+Анатолий Казмерчук - 6;\\
+Владислав Франк  - 4;\\
+Юрий Варламов - 4;\\
+Владимир Чубанов - 4;\\
+Валентина Колыбасова - 4;\\
+Виктор Филимоненков - 3;
+**Эстетическая оценка задачи - 4.1 балла**
+----