Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Содержание

ММ231

Конкурсная задача ММ231 (4 балла)

На сторонах AB, BC и AC египетского треугольника ABC выбрали точки C1, A1 и B1 соответственно. Оказалось, что треугольники AB1C1, BC1A1 и CA1B1 равновелики. Какую часть площади ABC составляет площадь треугольника A1B1C1 при условии, что последний - прямоугольный?

Решение

Привожу решения Евгения Гужавина и Анатолия Казмерчука. А также набросок авторского решения.

Пусть AC = 3, BC = 4, AB = 5.

Введем обозначения как на рис. 1

Из равновеликости треугольников AB1C1, BC1A1 и CA1B1 следует, что 5x(3-z)=3y(4-x)=4z(5-y). Отсюда, x=4z/3, y=5z/3 или 12/(3-z), y=5(3-z)/z. Второе решение не подходит, т.к. при всех допустимых z (0<z<3) дает недопустимые x.
Таким образом, равенство площадей треугольников AB1C1, BC1A1 и CA1B1 равносильно тому, что точки A1, B1 и C1 делят стороны исходного треугольника в одном и том же отношениии.
Пусть теперь угол C1 - прямой. Приравнивая к 0 скалярное произведение векторов A1C1 и B1C1, получим z=3/2 или z=48/25. Первое значение соответствует тривиальному случаю треугольника из средних линий и приводит к отношению площадей 1/4. Второй случай (именно он приведен на рис.1) приводит к отношению 193/625.
Если вершиной прямого угла является B1, то z=0 или z=21/23. Первое значение не подходит, а второе приводит к отношению площадей 193/529.
Наконец, если вершиной прямого угла является A1, то оба значения z=3 и z=27/2 не входят в область допустимых значений.

Обсуждение

Первая задача XXIV Марафонского конкурса не вызвала особых затруднений у участников (по крайней мере, у тех из них, кто прислал решения). Правда, у одного из участников возникли сомнения в том, что указанными тремя случаями исчерпываются все решения. Полагаю, разбор приведенных решений рассеет эти сомнения (ну или увеличит число сомневающихся).
Любопытно, что некоторые участники, даже решив задачу, не заметили (или не отметили?), что равновеликость треугольников AB1C1, BC1A1 и CA1B1 равносильна тому, что точки A1, B1 и C1 делят стороны исходного треугольника в одном и том же отношении. Другим «незаметным фактом», стало подобие исходного треугольника и прямоугольного треугольника A1B1C1. Как верно отмечено в приведенных решениях, оба этих свойства справедливы для любых прямоугольных треугольников (прочие треугольники никто не исследовал).

Награды

За решение задачи ММ231 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
Евгений Гужавин - 6;
Анатолий Казмерчук - 6;
Владислав Франк - 4;
Юрий Варламов - 4;
Владимир Чубанов - 4;
Валентина Колыбасова - 4;
Виктор Филимоненков - 3;

Эстетическая оценка задачи - 4.1 балла


 

 


Страница: [[marathon:problem_231]]

marathon/problem_231.txt · Последние изменения: 2018/09/23 19:06 — letsko
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006