Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Содержание

ММ25

Конкурсная задача ММ25 (4 баллов)

Единичный квадрат перегнули по прямой, проходящей через его центр. Какова наибольшая возможная площадь получившейся фигуры?

Решение

Пусть ABCD - исходный квадрат, а прямая MN (M лежит на AB ближе к A, N - на CD) проходит через центр квадрата, точку O. Пусть, далее, B1 и C1 - точки, симметричные соответственно точкам B и C относительно прямой MN, P - точка пересечения прямых AD и MB1, Q - точка пересечения прямых AD и B1C1 и R - точка пересечения прямых CD и B1C1.

Рис. 1

Очевидно, что площадь фигуры, полученной перегибанием квадрата по MN, равна сумме половины площади квадрата и площадей треугольников PQB1 и RNC1.
Докажем, что четыре прямоугольных треугольника PMA, PQB1, RQD и RNC1 равны. Во-первых, очевидно подобие этих треугольников. Для доказательства их равенства докажем равенство соответствующих катетов. Пусть AM = a. Ясно, что C1N = CN = a. Пусть X - точка на BC такая, что BX = a. Тогда Q - образ X одновременно при центральной симметрии относительно O и осевой симметрии относительно MN. Поэтому DQ = B1Q = BX = a и равенство треугольников доказано.

MB1 = MB = 1-a. Но PB1 = PA. Поэтому MA+AP+MP = 1. Из всех прямоугольных треугольников с периметром 1 наибольшую площадь будет иметь тот, у которого будет наибольшим радиус вписанной окружности - r (площадь равна r/2). Ясно, что наибольшим r будет обладать равнобедренный треугольник. Значит, (2+sqrt{2})a = 1. Отсюда a = 1-sqrt{2}/2, а искомая площадь равна 1/2 + (1-sqrt{2}/2)^2 = 7/2 - 2sqrt{2}.

Обсуждение

Предлагая данную задачу, я не заметил изопериметричности возникающих треугольников. Поэтому мне не удавалось найти элементарного обоснования того интуитивно ясного факта, что максимум площади достигается, когда треугольники будут равнобедренными. Мое решение было таким:

Обозначим угол ABB1 через a. Тогда интересующая нас площадь будет выражаться формулой
(sin(a) - 2cos(a) + 2cos2(a))/(2cos(a) cos2(a))
Исследуя эту функцию на экстремум получим, что максимум достигается при a = p/8, откуда следует равнобедренность возникающих прямоугольных треугольников.

Награды

За правильное (более изящное, чем авторское) решение задачи Андрей Бежан получает 5 призовых баллов.


 

 


Страница: [[marathon:problem_25]]

marathon/problem_25.txt · Последние изменения: 2019/09/30 18:34 — letsko
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006