— |
marathon:problem_259 [2021/03/10 21:56] (текущий) letsko создано |
| ===== ММ259 ===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ259** (8 баллов) |
| |
| Может ли треугольник с вершинами в центроиде и центрах вписанной и описанной окружностей некоторого треугольника быть\\ |
| a) равновелик;\\ |
| б) подобен;\\ |
| в) равен \\ |
| исходному? |
| |
| **Решение** |
| |
| Привожу решения {{:marathon:mm259_dendr81.pdf|Дениса Овчинникова}} и {{:marathon:frank_mm259.pdf|Владислава Франка}}. С рншением Анатолия Казмерчука можно ознакомиться [[https://dxdy.ru/post1490274.html#p1490274]|тут]]. |
| |
| **Обсуждение** |
| |
| Как обычно, к концу соревнования (или очередного этапа, кому как нравится) марафонцы начали потихоньку уставать и сходить с дистанции. |
| Зато оставшиеся участники порадовали разнообразием подходов. |
| Например, Влад Франк прибегнул к комплексной параметризации. Аналогичный прием, примененный при решении ММ157 (см. разбор), привел к короткому изящному решению. Удалось ли добиться такого же эффекта для ММ259, судите сами. |
| |
| Некоторое расхождение в оценках связано со строгостью обоснования последнего пункта. |
| За одним исключением. У Виктора Филимоненкова все обосновано строго. Но он почему-то рассмотрел треугольник с вершинами в центрах вписанной и описанной окружностей и в ортоцентре (а не центориде, как было в условии). |
| Такой треугольник не может быть не только равен, но и подобен исходному. |
| |
| Для полноты картины замечу, что треугольник с вершинами в центроиде, инцентре и ортоцентре, так же как и треугольник из условия, может быть равновелик и подобен, но не равен исходному. |
| В параметризации A(-1;0), B(1;0), C(x;y), где 0≤x<1, (x+1)<sup>2</sup>+y<sup>2</sup> ≤4, единственному треугольнику с вершинами в центроиде, инцентре и ортоцентре, подобному исходному соответствует С(0.6367873395...; 0.5201582408...). |
| Наконец, треугольника с вершинами в центроиде, ортоцентре и центре описанной окружности не существует, поскольку эти точки лежат на прямой Эйлера. |
| |
| Любопытно, что, если в указанной параметризации взять C(0.3246129395..., 0.4677703801...), треугольник с вершинами в ортоцентре и двух точках Аполлония (изодинамических центрах) подобен исходному с коэффициентов подобия довольно близким к 1. |
| |
| Я полагаю, что никакой треугольник не может быть равен треугольнику с вершинами в каких-то трех своих замечательных точках. Но пока проверил не все сочетания замечательных точек из ETC (а там порядка 40000 центров) по три :-) |
| |
| **Награды** |
| |
| За решение задачи ММ259 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ |
| Анатолий Казмерчук - 9\\ |
| Владислав Франк - 8\\ |
| Денис Овчинников - 8\\ |
| Константин Шамсутдинов - 7\\ |
| Виктор Филимоненков - 5\\ |
| |
| **Эстетическая оценка задачи - 4.8 балла ** |
| |
| ---- |
| |
| |