Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Содержание

ММ34

Конкурсная задача ММ34 (4 балла)

Последовательность задана рекуррентно:

f(0) = 0, f(n+1) = {3f(n) + sqrt{5f(n)^2 + 4}}/2

Доказать, что она целочисленная.

Решение

Уединяя корень и возводя обе части в квадрат, получим:
f(n+1)2 - 3f(n)f(n+1) + f(n)2 - 1 = 0
Подставив в это соотношение n-1 вместо n получим:
f(n-1)2 - 3f(n)f(n-1) + f(n)2 - 1 = 0
Таким образом, f(n+1) и f(n-1) являются корнями одного и того же квадратного уравнения (f(n+1) - больший из корней, поскольку последовательность, очевидно, возрастающая).
По формулам Виета имеем: f(n+1) = 3f(n) - f(n-1).
Поскольку f(0) и f(1) - целые, последнее соотношение гарантирует целочисленность всех членов последовательности.

Обсуждение

Отмечу, что наша последовательность представляет собой прореженный (через один) ряд Фибоначчи.

Разумеется. можно получить и другие аналогичные целочисленные последовательности, стартуя с соотношения
f(n+1) = kf(n) - f(n-1).
Можно отталкиваться и от соотношения
f(n+1)2 - kf(n)f(n+1) + f(n)2 - b = 0, подбирая k и b так, чтобы при целом f(0) и f(1) тоже было целым.

Так, при f(0) = 1, f(n+1) = {3f(n) + sqrt{5f(n)^2 - 4}}/2 получим вторую половину ряда Фибоначчи.

Задача ММ34 была опубликована в «Кванте» №1, 2008 в разделе «Конкурс имени А.П.Савина» под номером 19 (разбор в №4, 2008).

Награды

За правильное решение этой задачки Влад Франк, Мигель Митрофанов и Иван Козначеев получают по 4 призовых балла. Константин Владимиpов получает 2 призовых балла.


 

 


Страница: [[marathon:problem_34]]

marathon/problem_34.txt · Последние изменения: 2015/10/13 11:17 — letsko
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006