Конкурсная задача ММ35 (5 баллов)

Васе и Пете задали задачку:
«В прямоугольном треугольнике с катетами a и b провели биссектрису прямого угла. В получившиеся при этом два треугольника вписали по окружности. Найти их радиусы.»
Васе и Пете были известны конкретные числовые значения a и b.
У Васи получились ответы 3 и , а у Пети - 2 и . Кто из них ошибся?

Решение

Зафиксируем меньший катет BC треугольника ABC, взяв его равным 1, а длину большего катета AB обозначим через x.
Тогда отношение площади треугольника ACD к площади треугольника BCD будет равно x (поскольку биссектриса делит противолежащую сторону в отношении прилежащих, а высота, опущенная из C, у них общая).

Обозначим через радиус вписанной окружности, полупериметр и площадь треугольников BCD и ACD соответственно.
Тогда и , откуда
(1)
Легко видеть, что ,
и .
Подставляя эти значения в выражение (1), получим
(2)

Не трудно проверить, что с ростом x от 1 до бесконечности (2) монотонно возрастает от 1 до . Учитывая, что отношение радиусов , которое получилось у Васи, не входит в указанный диапазон, делаем вывод, что он ошибся.

Обсуждение

Разумеется, ответ Пети тоже не обязан быть верным.
Более того, учитывая, что его ответ получается при
, можно с уверенностью предположить, что Петя тоже ошибся (или что учитель, задавший мальчикам эту задачу, - садист)

Награды

За решение этой задачи Иван Козначеев получает 7 призовых баллов (два балла добавлены за нахождение значений a и b, при которых получается Петин ответ), Мигель Митрофанов - 5 призовых баллов, а Влад Франк - 3 призовых балла.