Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Содержание

ММ35

Конкурсная задача ММ35 (5 баллов)

Васе и Пете задали задачку:
«В прямоугольном треугольнике с катетами a и b провели биссектрису прямого угла. В получившиеся при этом два треугольника вписали по окружности. Найти их радиусы.»
Васе и Пете были известны конкретные числовые значения a и b.
У Васи получились ответы 3 и sqrt 3, а у Пети - 2 и sqrt 2. Кто из них ошибся?

Решение

Зафиксируем меньший катет BC треугольника ABC, взяв его равным 1, а длину большего катета AB обозначим через x.
Тогда отношение площади треугольника ACD к площади треугольника BCD будет равно x (поскольку биссектриса делит противолежащую сторону в отношении прилежащих, а высота, опущенная из C, у них общая).

Обозначим через r_1, p_1, S_1 и r_2, p_2, S_2 радиус вписанной окружности, полупериметр и площадь треугольников BCD и ACD соответственно.
Тогда S_1 = r_1p_1 и S_2 = r_2p_2, откуда
r2/r1 = {S_2p_1}/{S_1p_2} = x{p_1/p_2} (1)
Легко видеть, что BD = sqrt{1 + x^2}/{1 + x},
AD = xBD и CD = {x sqrt{2}}/{1 + x}.
Подставляя эти значения в выражение (1), получим
{r_2}/{r_1} = {1 + x + x sqrt 2 + sqrt{1+x^2}}/{1 + x + sqrt 2 + sqrt{1+x^2}} (2)

Не трудно проверить, что с ростом x от 1 до бесконечности (2) монотонно возрастает от 1 до 1 + {sqrt 2}/2. Учитывая, что отношение радиусов sqrt 3, которое получилось у Васи, не входит в указанный диапазон, делаем вывод, что он ошибся.

Обсуждение

Разумеется, ответ Пети тоже не обязан быть верным.
Более того, учитывая, что его ответ получается при
b = 6 + 5 sqrt 2 + sqrt{38 + 28 sqrt 2}, a = {5 + 2 sqrt 2 + sqrt{19 + 14 sqrt 2}(sqrt 2 - 1)}/2, можно с уверенностью предположить, что Петя тоже ошибся (или что учитель, задавший мальчикам эту задачу, - садист) ;-)

Награды

За решение этой задачи Иван Козначеев получает 7 призовых баллов (два балла добавлены за нахождение значений a и b, при которых получается Петин ответ), Мигель Митрофанов - 5 призовых баллов, а Влад Франк - 3 призовых балла.


 

 


Страница: [[marathon:problem_35]]

marathon/problem_35.txt · Последние изменения: 2015/10/13 11:57 — letsko
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006