|
||||||||||||||||||
|
СодержаниеММ36Конкурсная задача ММ36 (5 баллов)
Функция f сопоставляет каждому натуральному числу n сумму остатков от деления n на все натуральные числа, меньшие n. Решение
1) Ясно, что если k превышает половину n, то n mod k = n - k.
2) Обозначим s =2k. Разобьем натуральные числа, не превосходящие 2k - 1 на группы, каждая из которых начинается числом 2t и заканчивается числом 2t+1 -1 (для t = 0,1,…,k-1). Обсуждение Некоторые дополнительные сведения о последовательности, описанной в данной задаче, (как и о многих других » марафонских» последовательностях) можно почерпнуть в онлайн-энциклопедии целочисленных последовательностей. Наша последовательность представлена там за номером A004125.
Гипотеза, что за исключением случая, описанного во втором пункте ММ36, значения f(n) не повторяются, не подтвердилась.
Вот несколько контрпримеров, найденных Юрием Макарычевым: Награды За правильное решение этой задачи Влад Франк, Мигель Митрофанов и Иван Козначеев получают по 5 призовых баллов. Антон Филиппов получает 2 призовых балла за правильное решение первого пункта.
|
|||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||
|